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数表現の万能ブロック 第30回日曜数学会 2024-06-29 岩淵夕希物智 (@butchi_y)

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自己紹介 ● 言語・記数法の研究者 ● 物智数の考案者 ● Wolfram言語 (数式処理言語) のエヴァンジェリスト https://blog.yu.butchi.jp/

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計算機で厳密値を表現するには？ Wolfram言語の場合 1 + Sqrt[2] // FullForm ⇒ Times[Rational[1, 2], Plus[1, Power[2, Rational[1, 2]]]] (これが 1 + √2 の厳密値表現)

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関数をひとつに Plus, Times, Powerなど関数をいくつか用意しなければならない → ひとつの関数（ブロック）でなんとかならないか？？

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ブロックの定義 f(a, b, c, d) = d + c ba = d + c * b ^ a a, b, c, dには整数(※)か入れ子でブロックが入る （※必ずしもすべての整数でなくてもよい） ブロックといっても実態はただの4変数関数 d c b a

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整数: 2をつくる 2 = 1 + 1 ⇒ 1 + 1 * 1 ^ 1

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有理数: 1/2をつくる 1/2 = 2 ^ -1 ⇒ 0 + 1 * 2 ^ -1

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代数的数: √2 をつくる √2 = 2 ^ (1/2) ⇒ 0 + 1 * 2 ^ (0 + 1 * 2 ^ -1)

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代数的数: 黄金比をつくる Φ = (1 + √5) / 2 = (1 + 5^(1/2)) * 2^(-1) ⇒ 0 + ((0 + 1 * 5 ^ (0 + 1 * 2 ^ -1)) + 1 * 1 ^ 1) * (0 + 1 * 2 ^ -1) ^ 1 複雑！！！

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頑張って読んでみる Φ = (1 + √5) / 2 = (1 + 5 ^ (2 ^ -1)) * 2 ^ -1 読める！読めるぞ！ ...？ 0 a b 1 0 1 a b a b 1 1 = a×b = ab = a+b

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原始的な関数 plus(x, y) = x + y * 1 ^ 1 or x + 1 * y ^ 1 times(x, y) = 0 + x * y ^ 1 power(x, y) = 0 + 1 * x ^ y これらを使って四則演算はなんでもできる

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iが使えれば -1をでき、原子となる数は0, 1, iだけで済ますこともできる 例) 1 / 2 = 0 + 1 * (1 + 1 * 1 ^ 1) ^ (0 + i * i ^ 1)

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eも使えれば 三角関数を定義できる（ついでにπも使えるとなおよし） cos(x) = (e^(- i x) + e^(i x)) / 2

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なんでも入れられるわけじゃない 0 + 0 * 0 ^ 0 ⇒ 0^0を含んでいるので不定値 0 + 0 * 0 ^ i (虚数乗) ⇒ 0^iを含んでいるので不定値 0 + 0 * 0 ^ -1 (負数乗) ⇒ 0除算

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課題 数の別表現が排除できない（一意性がない） もっと幅広く「関数」あるいは「特殊関数」を表せられるか（logとか） 頻出の数をより小さい組み合わせで作れるもっといいブロックを定義できるか

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まとめ 万能ブロックによって代数的数相当の任意の数を表現可能に 定義した万能ブロックで4変数関数を2x2配列で可視化 複雑な式はブロックも複雑になってしまうが、慣れれば読めそう

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ご静聴ありがとう ございました