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About  Spectral  Clustering Univ.  of  Tsukuba  MMA  Lab   Shunya  Ueta

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目次 1.  Spectral  Graph   1.  About   2.  Graph  Laplacian  Matrix   3.  応用例   2.  Spectral  Clustering   3.  実装   2

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About  Spectral  Graph   歴史:    1950年代~   目的:    グラフの特徴とグラフの固有値・固有ベクトル を結びつける   応用例:    Spectral  Clustering    画像領域分割   3

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Graph  Laplacian  matrix   4 定義:   4 2 3 5 1 [  0  1  0  1  0  ]   [  1  0  1  1  0  ] [  0  1  0  0  1  ] [  1  1  0  0  1  ] [  0  0  1  1  0  ] [  2  0  0  0  0  ]   [  0  3  0  0  0  ] [  0  0  2  0  0  ] [  0  0  0  3  0  ] [  0  0  0  0  2  ] AG DG G n頂点無向グラフ G = (V, E) : AG : DG : Gの近接行列 Gの次数行列 LG = DG AG ラプラシアン行列 [    2  -­‐1    0  -­‐1    0  ]   [  -­‐1    3  -­‐1  -­‐1    0  ] [    0  -­‐1    2    0  -­‐1  ] [  -­‐1  -­‐1    0    3  -­‐1  ] [    0    0  -­‐1  -­‐1    2  ] LG = =

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Spectral  Graphの応用例 画像領域分割  :  画素毎の類似画像 5

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Spectral  Graphの応用例 画像領域分割 6

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Spectral  Grapth  の応用例 Spectral  Clustering 7

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Spectral  Clustering   8 P次元 n   個 .   .   . 目的   p次元のデータn個を   kクラスタに分類したい グラフ表現   データをグラフで表す   Laplacian  matrix   グラフの行列表現   n n 対称行列 固有値集合(スペクトラム)を求める   固有ベクトルを小さいものから   k番目までを選定   k n  

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Graph  Laplacian  matrix   9 定義:   4 2 3 5 1 [  0  1  0  1  0  ]   [  1  0  1  1  0  ] [  0  1  0  0  1  ] [  1  1  0  0  1  ] [  0  0  1  1  0  ] [  2  0  0  0  0  ]   [  0  3  0  0  0  ] [  0  0  2  0  0  ] [  0  0  0  3  0  ] [  0  0  0  0  2  ] AG DG G n頂点無向グラフ G = (V, E) : AG : DG : Gの近接行列 Gの次数行列 LG = DG AG ラプラシアン行列 [    2  -­‐1    0  -­‐1    0  ]   [  -­‐1    3  -­‐1  -­‐1    0  ] [    0  -­‐1    2    0  -­‐1  ] [  -­‐1  -­‐1    0    3  -­‐1  ] [    0    0  -­‐1  -­‐1    2  ] LG = =

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ProperLes  of  Laplacian  matrix   10 1.  Lは部分対角優位行列なので全ての固有値は 0  以上   2.  L  の最小固有値は  0  であり、対応する固有ベクトルは全要素1の  n   次元ベクトル   3.  固有値0の個数はグラフの連結部の数     連結部A 連結部B Laplacian  matrix   グラフの行列表現   対称行列 A B 1   1   1   0   0   0 I   0   =   x   x   固有値 対角行列

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ProperLes  of  Laplacian  matrix   11 1.  Lは部分対角優位行列なので全ての固有値は 0  以上   2.  L  の最小固有値は  0  であり、対応する固有ベクトルは全要素1の  n   次元ベクトル   3.  固有値0の個数はグラフの連結部の数     連結部A 連結部B Laplacian  matrix   グラフの行列表現   対称行列 A B 0   0   0   1   1   1   I   0   =   x   x   固有値 対角行列

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Spectral  Clustering   12 理想的なグラフ状態   各行に対して各列の要素が   クラスタを示している   k n   1   1   0   0   0   0   0   1   0   0   i番目の行はあるデータX_i  が所属するクラスタを   示している   0   0   0   １   1