統計の基礎7 一元分散分析 2021/1/4 Ver. 1.0 

一元分散分析とは？ 3群以上の平均値の差の検定 • 3つ以上のグループにおける平均値の差を調べる • 差のあるグループを特定するわけではない ＊正確には対応のない分散分析についての説明、対応のある分散分析は別資料で説明 

分散分析: 分散比とF分布 分散分析では、分散比を計算する 群間の分散 群内の分散 この比がF分布を取る 

F分布 分散比の分布を指す F = 11 2 1 2 /(1−1) 22 2 2 2 /(2−1) • 2つの母集団における分散の比を指す • 自由度を2つ持つ n: 標本数、s: 標本標準偏差、: 母標準偏差、右下の数字は集団を指す 

F分布 分布の形 0～∞の範囲と2つの自由度を持つ 自由度15 自由度10 自由度5 

一元分散分析とは？ グループ分けが1種類だけの分散分析 1組 2組 3組 55 57 76 68 37 75 59 78 78 59 60 80 55 79 53 上記の表で、各組の間の差はあるかどうか？ 

組 1組 2組 3組 点数 55 57 76 68 37 75 59 78 78 59 60 80 55 79 53 偏差平方和 112.8 1198.8 485.2 全体の偏差平方和 2275.6 偏差平方和の計算 偏差平方和（分散×自由度）を用いる 各組の偏差平方和の和は1796.8 ＊112.8+1198.8+485.2=1796.8 

偏差平方和の分配 偏差平方和を群間・群内に分ける 全体の偏差平方和＝群間の偏差平方和＋群内の偏差平方和 2275.6 1796.8 478.8 = + 群内は全体から群間を引くことで計算する 

自由度 群間・群内の自由度をそれぞれ計算する 1組 2組 3組 55 57 76 68 37 75 59 78 78 59 60 80 55 79 53 群間の自由度は グループ数 － 1 群内の自由度は 各群内のデータ数 － 1の和 群間自由度は 群内自由度は 3グループ － 1 = 2 (5-1)+(5-1)+(5-1) = 12 になる 

分散分析表 群間・群内の偏差平方和・自由度をまとめたもの 偏差平方和 自由度 不偏分散 分散比 群内 478.8 2 239.4 1.599 群間 1796.8 12 149.7 全体 2275.6 不偏分散は 分散比は 偏差平方和/自由度 群内不偏分散/群間不偏分散 で計算する 

分散分析における仮説検証 平均値の差を検定する 帰無仮説 対立仮説 全グループの平均値は同じ 全グループの平均値は同じではない 分散比と2つの自由度を持つF分布から 全グループの平均値が同じである確率 を計算する 

分散比とp値 自由度が2と12、分散比が1.599となる確率がp値 これがp値 p値が0.05より大きいので、差があるとは言えない と結論づける ＊p値は自由度2と12のF分布から計算する 

どの間に差があるのか？ 分散分析では、どのグループ間に差があるかはわからない 1組 2組 3組 55 57 76 68 37 75 59 78 78 59 60 80 55 79 53 グループ間の差を調べるには、多重検定の方法を用いる ＊多重検定については別途解説 

なぜ平均値の差がわかるのか？ 分散分析では、全体と個々のばらつきを比較している 平均が近い場合 平均が離れている場合 平均が離れると、全体/個々のばらつきは大きくなる