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化学プロセスシステム工学 第２回 2018年10月4日 (木) 0 理工学部 応用化学科 データ化学工学研究室 専任講師 ⾦⼦ 弘昌

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前回の復習 1

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制御とは︖ JIS (日本工業規格) の定義 [Z 8116] • 「ある目的に適合するように、制御対象に所要の操作を加えること」 2 望みのとおりになりそうなモノを、 何かすることで、望みどおりにすること 望みのとおりにならなそうなモノを、 何かすることで、望みどおりにすること 望みのとおりになりそうなモノを、 何もしないで、望みどおりにすること ✕ ✕

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制御の種類 手動制御 • (古いタイプの) シャワー、⾞ 自動制御 • シーケンス制御 ⁃ あらかじめ決められた順番通りに、各段階を進めていく制御 • 洗濯機 • フィードバック制御 ⁃ 制御したいモノを目標とする値と比べて、 それらを一致させるように操作をする制御 • シャワー、(最近の) ⾞ • (フィードフォワード制御・・・これは後ほど) • (最近の) ⾞ 3

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化学工学・プロセスシステム・制御で大事なこと モデリング (モデル化) シミュレーション 最適化 4

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流体加熱プロセス 5 熱 水 お湯

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制御するためには、何が必要か︖ お湯の温度を、たとえば 40℃に、制御するために、 何が必要か考えてみよう︕ • ⾞の場合は︖ 6

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制御に必要なこと 敵を知る • どんなプロセスなのか︖ ⁃ どのくらい熱を与えると、どのくらい温度が変わるのか︖ ⁃ どのくらい⽔を⼊れると、どのくらい温度が変わるのか︖ • 応用化学実験４では、⼊れる⽔の量は一定 • 出⼒変数 (制御変数)︓お湯の温度 • ⼊⼒変数 (操作変数)︓加熱量 (正確には、ヒーターの電⼒量) 制御をするときに最初に考える大事なポイント • ① 何を制御するのか︖ → 出⼒変数 (制御変数) は何か︖ • ② 何で制御するのか︖ → ⼊⼒変数 (操作変数) は何か︖ • ③ 出⼒変数と⼊⼒変数との関係はどんなか︖ (どんなプロセスなのか︖ということ) ⁃ ⾞の運転では︖ 7

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出⼒変数と⼊⼒変数との関係 どうやったら出⼒変数と⼊⼒変数との関係を求めることができるか、 考えてみよう︕ • 応用化学実験４ではどのようにしていましたか︖ 出⼒変数と⼊⼒変数との関係を求める → 対象をモデル化 (モデリング) する、式で表す 8

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プロセスシステムで大事なこと モデリング (モデル化) シミュレーション 最適化 9

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出⼒変数と⼊⼒変数との関係 モデルを求める方法は、大きく分けて３つある • 理論的に攻める方法 ⁃ 物質収支 (マスバランス、マテリアルバランス) ⁃ 熱収支 (ヒートバランス) • メリット︓実験しなくても求まる • デメリット︓数式として表せないといけない • 実験データを使う経験的な方法 ⁃ モデルの概形を決めて、ステップ応答などの実験(運転)で 得られたデータから計算 • メリット︓数式で表せないものもモデル化できる • デメリット︓実験しないといけない • 理論的に攻めながら、データも使う方法 10

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流体加熱プロセス︓問題設定 11 Q T, V, ρ, cP Fi , Ti Fo , T Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の比熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output

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理論的に攻めてみよう 物質収支は︖ 12

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物質収支 13 (タンク流体体積の時間変化) = (⼊った流量) ー (出た流量)＋(⽣成速度) i o 0 dV F F dt = − + 0 dV dt = タンク内流体の体積変化は 0 なので、 よって、 i o F F F = = とする

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改めて、流体加熱プロセス︓問題設定 14 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の比熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量

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理論的に攻めてみよう 熱収支は︖ 15

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熱収支 16 (流体の熱量の時間変化) = (⼊⼝からの熱量) ー (出⼝への熱量)＋(加熱量) H [J]︓タンクの流体の熱量 FHi [J・s-1]︓⼊⼝からの熱量 FHo [J・s-1]︓出⼝への熱量 とすると︖ Q H FHi FHo

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熱収支 17 (流体の熱量の時間変化) = (⼊⼝からの熱量) ー (出⼝への熱量)＋(加熱量) Q H FHo Hi Ho dH F F Q dt = − + FHi

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熱収支 18 Hi Ho dH F F Q dt = − + H [J]︓タンクの流体の熱量 FHi [J・s-1]︓⼊⼝からの熱量 FHo [J・s-1]︓出⼝への熱量 を、 F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の比熱 で、表してみよう︕

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熱収支 熱量 19 P Hi P i Ho P H V c T F F c T F F c T ρ ρ ρ = = = Hi Ho dH F F Q dt = − + これらを、 に代⼊して、整理してみよう︕

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熱収支 式変形 20 ( ) ( ) ( ) P P i P P P i i P d V c T F c T F c T Q dt dT V c F c T T Q dt dT F Q T T dt V V c ρ ρ ρ ρ ρ ρ = − + = − + = − + 出⼒変数 (お湯の温度) と⼊⼒変数 (加熱量) との 間の関係を式で表せた︕モデリングできた︕

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モデル化できなかった現象 今回の流体加熱プロセスにおいて、モデル化できなかった現象は 何でしょうか︖ 「理論的に攻める方法」のデメリット • すべての現象をモデル化できるわけではない 21

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出⼒変数と⼊⼒変数との関係 モデリングの方法は、大きく分けて３つある • 理論的に攻める方法 ⁃ 物質収支 (マスバランス、マテリアルバランス) ⁃ 熱収支 (ヒートバランス) • メリット︓試しに実験(運転)しなくてよい • デメリット︓すべての現象を表現できるわけではない • 実験データを使う経験的な方法 ⁃ モデルの概形を決めて、ステップ応答などの実験(運転)で得られた データから計算 • メリット︓現象が複雑・不明だったとしても、 データさえあればモデル化できる • デメリット︓試しに実験(運転)する必要がある • 理論的に攻めながら、データも使う方法 22

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プロセスシステムで大事なこと モデリング (モデル化) シミュレーション 最適化 23

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モデリングできたら、シミュレーション︕ シミュレーションのための準備は︖ 微分方程式を解く︖ → No!! コンピュータを利用して数値シミュレーションをしてみよう︕ • 微分 → 差分 • 積分 → 積算 24 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +

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熱収支 微分を含む項のあつかい 25 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − + (ちなみに積分すると) コンピュータがあるので、 として数値シミュレーションしよう︕ dT T dt t ∆ → ∆ Δt は小さい数にする、たとえば 0.01, 0.1 とか i 0 P 1 exp exp t F F T T t t Qdt V c V V ρ     = + −         

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熱収支 差分であらわす 26 ( ) i P T F Q T T t V V c ρ ∆ = − + ∆ 時刻 t を明示的に示すと、 ( ) ( ) ( ) ( ) T t T t t T t t T T t t Q Q t t − − ∆ ∆ → ∆ ∆ → − ∆ → − ∆ Δt を小さくすれば、 T(t), Q(t)でもほとんど 変わらない よって、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P T t T t t Q t t F T T t t t V V c ρ − − ∆ − ∆ = − − ∆ + ∆

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熱収支 コンピュータシミュレーション 27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P Q t t F T t T t t T T t t t V V c ρ   − ∆ = − ∆ + − − ∆ + ∆     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P T t T t t Q t t F T T t t t V V c ρ − − ∆ − ∆ = − − ∆ + ∆ 繰り返し計算によって、T(t) の時間変化を求めていく T(tーΔt) Q(tーΔt) T(t) Q(t) T(t+Δt) Q(t+Δt) T(t+2Δt) ・・・ ・・・

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実際にシミュレーションしてみよう︕ プログラミング • コンピュータにやってほしいことを命令する プログラミング言語 • 命令するための言葉 • オススメは Python, MATLAB, R ⁃ Python と R は無料 ⁃ MATLAB は有料 (ただ、メディアセンターに申請すれば 無料で利用できる) • 基本的には、Pythonで進めましょう プログラムを開発する環境 • Anaconda ( https://www.anaconda.com/download/ ) ⁃ Python 3.6 version 28

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流体加熱プロセスのシミュレーション F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 = 0.00005 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 = 20 [℃] V [m3]︓タンク内流体の体積 = 0.01 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 = 1000 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の比熱 = 4200 Q [J・s-1] (加熱量) の最大値 = 3000 Δt = 0.1 ヒーターを on にしてから加熱が始まるまで 60 s かかるとする ヒーターを最大にして、3000 s シミュレーションしてみよう︕ 29

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制御しよう︕ 加熱量 (ヒーターの電⼒量) と お湯の温度 との関係はわかった • 加熱量を大きくすると、お湯が熱くなる • 加熱量を小さくすると、お湯が冷める ⁃ 定量的にわかっている お湯の温度がどうなったときに、加熱量をどうするか決めよう︕ • お湯が冷めたら、加熱量を大きくする • お湯が熱くなったら、加熱量を小さくする 30 目標温度と実際の温度との差が大事︕

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温度制御 31 目標値 (30℃) 時間 温度 加熱量 増やせ︕ 増︕ 減︕ 加熱量 減らせ︕ 増︕ 減︕ 増︕ どれくらい増やせば (減らせば) よい︖

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P制御 P・・・Proportional (比例動作) 出⼒変数 (温度) の目標値との差 e に比例するように ⼊⼒変数 (加熱量) を変化させる 比例動作︓P (Proportional) 制御 32 ( ) ( ) ( ) 0 P Q t K e t Q = + t [s]︓時刻 T(t) [K]︓時刻 t のときの⽔温 Ttarget [K]︓目標の温度 KP ︓比例ゲイン (定数) ( ) ( ) target e t T T t = −

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P制御をしてみよう︕ 目標温度︓30 ℃ とする 33

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質問︕ 比例ゲイン KP はいくつにしたらいいですか︖ • 試⾏錯誤でシミュレーションして、最適な KP を⾒つけましょう • このシミュレーション ＆ 最適化 ができることが、 モデリングした理由です︕ 34

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比例ゲインの影響 比例ゲイン KP が大きいとき、小さいときでどう変わるか観察しよう 35

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P制御の問題点は︖ P制御の問題点は何か考えてみよう︕ 36

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P制御の問題点 目標値にぴったり合わせることができない どうしてでしょうか︖ どうすればよいでしょうか︖ 37

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PI制御 出⼒変数の目標値との差 e をふまえて、⼊⼒変数の値をどうするか︖ 比例積分動作︓PI (Integral) 制御 • ただ実際は、コンピュータで⾏うので、 ⁃ 積分 → ⾯積の累積和 38 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 0 t P P K Q t K e t e r dr Q T = + +  TI ︓積分時間 (定数) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 I 1 0 t P r Q t K e t e r t Q T =   = + ∆ +     

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PI制御をしてみましょう︕ 39

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積分時間の影響 積分時間 TI が大きいときと小さいときとでどう変わるか観察しよう 40