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関西大学総合情報学部 浅野　晃 統計学 2024年度秋学期 第12回 分布の平均を推測する — 区間推定

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前回までの復習🤔🤔

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「統計的推測」とは 3 日本男性全員の身長を調べられるか？ データの一部を調べて度数分布を推測する いや，せめて平均や分散を推測する 調べたいデータ全体を調べられるか？ 統計的推測

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母平均の推定 4 標本として数値をいくつか取り出して， それらの平均 母平均が知りたい 母集団 （日本男性全体） 母平均 μ が，日本男性全員は調べられない ［標本平均］ 標本平均は母平均に近い値になるか？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均の期待値と分散は 5 母集団と同じ 期待値 μ 分散 σ2 極端な値はあまりないので 分散が小さくなる 期待値 μ 分散 / σ2 n 標本平均の分散は，母分散の「標本サイズ分の一」になる 母平均 μ 母分散 σ2 母集団 X1 X2 … Xn サイズ の標本１セット n 標本平均 ¯ X X1 X2 … Xn ¯ X X1 X2 … Xn ¯ X … …

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母平均の推定 6 いま１回だけ計算した標本平均は， 「たいてい，ほぼ」母平均に近い値だろう どのくらい近い？ どのくらいの確率で？ はずれる確率は？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布モデル 7 世の中には，［正規分布モデル］で表せるよう な母集団分布がたくさんある 長さの測定値の分布，共通テストの成績の分布　… ［中心極限定理］ 母集団のばらつきの原因が，無数の独立な原因の和のとき， 母集団分布は概ね正規分布になる 「日本男性の身長」も。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の性質１ 8 確率変数 が にしたがう　とき X N(μ, σ2) は にしたがう (X − μ)/σ N(0,1) 「標準得点」と同じ 変換しても， やはり正規分布になる を［標準正規分布］という N(0,1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の性質２ 9 正規分布なら こちらも 正規分布になる N(μ, σ2/n) 母集団と同じ 期待値 μ 分散 / σ2 n 母平均 μ 母分散 σ2 母集団 X1 X2 … Xn サイズ の標本１セット n 標本平均 ¯ X X1 X2 … Xn ¯ X X1 X2 … Xn ¯ X … …

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区間推定🤔🤔

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定 11 母平均を推測する。その答え方が， 母平均は，50 から 60 の間にあると推測する。 この推測が当たっている確率は 95%である。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ばらついている ★ ←（数直線）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ばらついている ★ ←（数直線） 標本の期待値＝母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 12 標本として数値をひとつだけ抽出 ばらついている ★ ←（数直線） 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本の期待値＝母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 標本平均の期待値 ＝母平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X 数値１個のときより

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X 数値１個のときより

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 13 数値をいくつか抽出して標本平均 ばらつきが 小さくなる 母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X 数値１個のときより

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 含む 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 含む 含まない 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 含む 含まない 含む 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない） 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない） 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが X （実際にはわからない） 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 14 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・含まないかは わからないが 確率95%で母平均を含むように 区間の幅を設定できる X （実際にはわからない） 標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいてい その区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 15 区間は母平均を 母平均 確率95%で母平均を含むように区間を設定できる X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない） 標本平均のばらつきは 小さくなっているので 区間の幅はそこそこ狭くてよい

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X 含む 含む 含まない 含む

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X 含む 含む 含まない 含む 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X 含む 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X 含む 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない その区間が，母平均を含むかどうかは 実際にはわからない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X （実際にはわからない） 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない その区間が，母平均を含むかどうかは 実際にはわからない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 16 区間は母平均を 母平均 X （実際にはわからない） 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない その区間が，母平均を含むかどうかは 実際にはわからない しかし，確率95%で母平均を含むように 計算した区間だから， その１回も含むと信じる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間 17 区間は母平均を 母平均 X 含むだろう 含む 含ま ない 含む （実際にはわからない） 95%という大きな確率で 母平均を含むように設定した区間だから， その１回でも含むと信じる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間 17 区間は母平均を 母平均 X 含むだろう 含む 含ま ない 含む （実際にはわからない） 95%という大きな確率で 母平均を含むように設定した区間だから， その１回でも含むと信じる 母平均の ［信頼係数］95%の ［信頼区間］ という （［95%信頼区間］）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「信頼」ということば 18 このくじは，確率95%で当たります🎯🎯 このくじは「当たる」と信じてひいてください。 いま1回くじをひいて，当たるかどうかはわからないが 十分多くのくじをひけば95%は当たるのだから， 当たると思ってひいてみる価値はある これが，信頼係数95%の「信頼」 はずれたら？そのときはあやまります🙇🙇

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 台風情報と信頼区間 19 台風🌪🌪が到達する 可能性がもっとも高いところ （点推定） 台風が到達する確率が 70%であるような円 ＝区間推定 × × １日９時 １日21時 台

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正規分布の場合の 信頼区間の計算🤔🤔

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して，この人 たちの点数を平均したところ50点でした。 この試験の受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっているとき， 受験者全体の平均点の95%信頼区間を求めてください。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 母集団 （受験者全体） 母平均 μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 22 例題 標本 をとりだす サイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n ［性質２］

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 23 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 24 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が になる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう z f(z) 0 u –u

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が 面積=95%

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が 面積=95% 境界の値はいくら？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95%

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95% z f(z) 0

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95% z f(z) 0

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95% z f(z) 0

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95% z f(z) 0 面積=2.5% （左右で5%）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 26 z f(z) 0 u –u 面積=95% z f(z) 0 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 1.8 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 1.9 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 … 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 1.8 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 1.9 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 … 1.9 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 1.8 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 1.9 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 … 1.9 0.06 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 1.8 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 1.9 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 … 1.9 0.06 0.024998 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 27 z f(z) 0 面積=2.5% うまいぐあいに，正規分布表で 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465 1.8 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379 1.9 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295 … 1.9 0.06 0.024998 境界の値は 「1.96」

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 28 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が 面積=95% 境界の値は

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 28 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が 面積=95% 境界の値は 1.96

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 28 この区間に入っている確率=95%とすると Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう 標準正規分布の確率密度関数 z f(z) 0 u –u Z = ¯ X − µ σ2/n が 面積=95% 境界の値は 1.96 –1.96

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 29 Z = ¯ X − µ σ2/n が –1.96と1.96の間に入っている確率が95%

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 29 式で書くと Z = ¯ X − µ σ2/n が –1.96と1.96の間に入っている確率が95% P(−1.96 ¯ X − µ σ2/n 1.96) = 0.95 は，カッコ内のことがおきる確率 P( )

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 29 式で書くと Z = ¯ X − µ σ2/n が –1.96と1.96の間に入っている確率が95% P(−1.96 ¯ X − µ σ2/n 1.96) = 0.95 の式に直すと μ は，カッコ内のことがおきる確率 P( ) これで， の信頼区間の形になる μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 29 式で書くと Z = ¯ X − µ σ2/n が –1.96と1.96の間に入っている確率が95% P(−1.96 ¯ X − µ σ2/n 1.96) = 0.95 の式に直すと μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 は，カッコ内のことがおきる確率 P( ) これで， の信頼区間の形になる μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では 標本平均=50

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では 標本平均=50 母分散=25

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では 標本平均=50 母分散=25 標本サイズ=10

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ 計算すると，例題の答は 「46.9以上53.1以下」 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では 標本平均=50 母分散=25 標本サイズ=10

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 30 の95%信頼区間の 下限 μ 計算すると，例題の答は 「46.9以上53.1以下」 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の 上限 μ 例題では 標本平均=50 母分散=25 標本サイズ=10 　[46.9, 53.1]

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ これを

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ P(46.9 µ 53.1) = 0.95 これを

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ これを

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ これを だめです🙅🙅

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 31 の95%信頼区間の下限 μ 計算すると，例題の答は [46.9, 53.1] P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 の95%信頼区間の上限 μ P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ これを だめです🙅🙅 なぜ？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ だめ🙅🙅

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから だめ🙅🙅

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 だめ🙅🙅

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 こう書いたとき， だめ🙅🙅

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 こう書いたとき， だめ🙅🙅 （母平均）はランダムではない μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 こう書いたとき， だめ🙅🙅 （母平均）はランダムではない μ ランダムなのは （標本平均） ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間の答え方 32 P(46.9 µ 53.1) = 0.95 と書いてはいけないの？ 確率の式なのに，()内にランダムなものが 入っていないから P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 こう書いたとき， だめ🙅🙅 （母平均）はランダムではない μ ランダムなのは （標本平均） ¯ X だから，母平均ではなく信頼区間のほうがばらつく

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これを思いだしてください 33 区間は母平均を 母平均 X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない） 実際には， 標本平均と区間は１度しか計算しない その区間が，母平均を含むかどうかは 実際にはわからない しかし，確率95%で母平均を含むように 計算した区間だから， その１回も含むと信じる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定についての注意 34 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 　 　 １．母集団の大きさは関係ない ２．「95%」を選ぶ根拠はない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定についての注意 34 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 　 　 １．母集団の大きさは関係ない 復元抽出なら，母集団分布は標本抽出によって変化しない ２．「95%」を選ぶ根拠はない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定についての注意 34 P( ¯ X − 1.96 σ2/n µ ¯ X + 1.96 σ2/n) = 0.95 　 　 １．母集団の大きさは関係ない 復元抽出なら，母集団分布は標本抽出によって変化しない ２．「95%」を選ぶ根拠はない 「確率5%なら，推測がはずれて失敗しても，まあいいか」 と思っているだけ