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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第2回 結像と空間周波数，フーリエ級数

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第１部のトピック

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3 画像は，離散的な点（画素, pixel）の集まりでできている ［標本化］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3 画像は，離散的な点（画素, pixel）の集まりでできている ［標本化］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3 画像は，離散的な点（画素, pixel）の集まりでできている ［標本化］ 60 60 60 65 65 65 70 70 70

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本化と量子化 3 画像は，離散的な点（画素, pixel）の集まりでできている ［標本化］ 60 60 60 65 65 65 70 70 70 各画素は，明るさ（輝度）を表す 整数である ［量子化］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 空間周波数とフーリエ変換 4 標本化（サンプリング）・・・どのくらいの細かさで？ 　　　［空間周波数］ 空間周波数を求めるのが ［フーリエ変換］

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光による画像の生成

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 波 ↓ こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 波 ↓ ↓ こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 ↓ 波 ↓ ↓ こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 ↓ 波 ↓ ↓ ↓ こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 ↓ 波 ↓ ↓ ↓ 回折する こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 ↓ 波 ↓ ↓ ↓ 　 　 ↓ 回折する こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の性質・回折と干渉 6 中国・銭塘江の「大海嘯」 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 山どうし・谷どうしが 重なり合うと強めあう 波の「干渉」 ↓ 波 ↓ ↓ ↓ 　 　 ↓ 回折する こちらで見てみましょう https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi? das_id=D0009010616_00000 島 （ウェブサイトの「参考リンク」で，NHKアーカイ ブスのプレビューを見てください。最後のほう に，右の図のような交差する波が映ります）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 波の進行

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 孔を通り抜けると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 孔を通り抜けると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 孔を通り抜けると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ホイヘンスの原理と波の回折 7 ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理 各点から 球面波が出る 波の進行 障害物があると 孔を通り抜けると 包絡面が 次の波面 波が回り込む ［回折］ 球面波が 広がる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ この包絡面も 現れる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ この包絡面も 現れる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ この包絡面も 現れる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回折格子と1次回折光 8 ［回折格子］ ＝ 孔が周期的に開いている →1次回折光の角度が緩い 通り抜ける ［0次光］ ［1次回折光］ この包絡面も 現れる 孔の間隔が広い

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから，

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 角度が小さいと粗い縞 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 角度が小さいと粗い縞 角度が大きいと細かい縞 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 光の干渉 9 回折光と０次光が重なると再び縞ができる 細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから， 角度が小さいと粗い縞 角度が大きいと細かい縞 格子が再現される 光の波 干渉縞が できる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像の生成（結像） 10 画像は回折格子の重ね合わせであり， それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して，画像が再現される

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像の生成（結像） 10 画像は回折格子の重ね合わせであり， それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して，画像が再現される 画像は回折格子，すなわち波の重ね合わせである

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像の生成（結像） 10 画像は回折格子の重ね合わせであり， それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して，画像が再現される 画像は回折格子，すなわち波の重ね合わせである どんな波が重ね合わされているかを求める計算が［フーリエ変換］

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空間周波数とフーリエ級数

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の周波数と波長 12 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか ［波長］ 波が1周期進むのにかかる 長さはどれだけか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mmとすると 1mmの間に4周期 入っているから 波長は1周期の長さで (1/4) mm 1周期 1mm

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 空間周波数 13 空間周波数＝ 平面上の「明暗の波」の細かさを表す 単位長さの中で明暗が何回繰り返すか x y νx 1 νy 1 x方向・y方向の２つの空間周波数の組で， ひとつの平面上の波が定まる

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 空間周波数 14 　νx 大きい （細かい） νy 小さい（粗い） 　νx 小さい 　（粗い） νy 大きい（細かい）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 周期が合う→ 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す → 波が進むとずれていってしまうから 　 足してはいけない 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す → 波が進むとずれていってしまうから 　 足してはいけない 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 15 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。 無限個の波の足し合わせだが，足し算（級数）で書ける。 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す → 波が進むとずれていってしまうから 　 足してはいけない 足されるのは，どの三角関数？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「無限個だが，足し算で書ける」 16 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「無限個だが，足し算で書ける」 16 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから， 　 無限個の三角関数を足すのだけれども 　 このように「項」を並べることができる f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「無限個だが，足し算で書ける」 16 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから， 　 無限個の三角関数を足すのだけれども 　 このように「項」を並べることができる f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n 「級数」という

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の進み方を「角度」で表す 17 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の進み方を「角度」で表す 17 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の進み方を「角度」で表す 17 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の進み方を「角度」で表す 17 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 波の進み方を「角度」で表す 17 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン ラジアン？

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ラジアン（弧度法） 18 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 45°

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ラジアン（弧度法） 18 45°= 1周の1/8 だから， ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 45°

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ラジアン（弧度法） 18 45°= 1周の1/8 だから， ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 1周=360度=2πラジアン 45°

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 19 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 19 なのですが… f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 19 なのですが… 三角関数は計算が面倒。 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)}

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 19 なのですが… 三角関数は計算が面倒。 指数関数なら計算が簡単 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)} axay = ax+y

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 19 なのですが… 三角関数は計算が面倒。 指数関数なら計算が簡単 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)} axay = ax+y かけ算＝指数の足し算

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 i2 = − 1 虚数単位

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828...

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828...

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828...

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i ひとつの三角関数＝波は， 正負の周波数をもつ指数関数の組で表される i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828...

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 20 exp(iω) = cos ω + i sin ω オイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i ひとつの三角関数＝波は， 正負の周波数をもつ指数関数の組で表される i2 = − 1 虚数単位 「周波数がマイナス」というのはヘンだが， プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828...

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 21 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という級数で書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 21 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という級数で書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから）

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 21 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という級数で書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） これがフーリエ級数なんですが，

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 21 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という級数で書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） この係数はどうやって求めるの？ これがフーリエ級数なんですが，

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21 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 21 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という級数で書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） この係数はどうやって求めるの？ 続きは次回。 これがフーリエ級数なんですが，