定理証明支援系Coq 2024-08-12 セキュリティキャンプLT会 1

自己紹介 岡田宗太朗/sou7です 東北の山奥に住んでます 会津大学の学部4年生 S06 Cコンパイラゼミで 自作コンパイラのバグと 戦ってます 会津を走る只見線の風景→ 2

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定理証明支援系Coqとは？ 定理証明支援系 Coq 聞いたことある人は挙手をお願いします！ 5

定理証明支援系 と カリー・ハワード同型対応 定理証明支援系とは、「数学の証明とプログラムにいい感じの対応関 係がある」という理論を使って、証明が正しいことを検証する、とい うシステムです。 6

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実際のプログラム そんな数学の証明が出来るCoqですが、中身は関数型プログラミング の処理系です。 Variable A B : Type. Definition modus_ponens : (A -> B) -> A -> B := fun f a => f a. このプログラムは、 (AならばB)ならば(AならばB) という命題の証明で もあります。プログラムとして見ると、以下の構文を使っています。 A -> B は を受け取って を返す関数の型 fun f a => f a は と を引数に受取り、 を返すラムダ式 8

他の形式手法との比較 カリー・ハワード同型対応を利用した定理証明支援系 例: Coq, Lean 記述できる仕様の幅が一番広いのはこれ(通常の数学と同じ) 代わりに、手動でその証明をしないといけない モデル検査による形式仕様記述 例: TLA+ 扱う問題の幅に制限があるが、自動で検証できる 自動定理証明(とそれを使ったプログラムの自動検証) 例: RustHorn S15-Rustプログラム検証ゼミで扱うのはこれ 9

まとめ 数学の証明とプログラミングには対応関係があり、カリー・ハワ ード同型対応という Coqとはその対応を使い、数学の証明をプログラムに落とし込ん で証明を検証できる 定理証明支援系 兼 プログラミング言語 形式手法にも色々種類があり、CoqとTLA+とRustHornは全く別 のシステム 10

リンク http://github.com/soukouki/coq-learning Coqの簡単な例からクイ ックソートの証明までを学べる資料です。 参考資料 「Coq/SSReflect/MathCompによる定理証明」萩原学 アフェルト・ レナルド その他 第一只見川橋梁の写真はMaedaAkihiko氏の著作物です。Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 11