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1 2023.07.15 Tokyo.R #107 待ち行列のシミュレーション
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2 待ち行列 平均到着スピード 15台/時 到着時刻 開始時刻 待ち時間 完了時刻 到着間隔 平均洗車スピード 20台/時 サービス時間
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3 平均待ち時間（解析解） 平均到着スピード = 𝜆 = 15/60[台/分] 平均洗車スピード = 𝜇 = 20/60[台/分] 平均利用率 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 0.75 平均待ち時間 = 𝜌 1 − 𝜌 1 𝜇 = 9分
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4 実は解析解から得られる情報は少ない ← 9分 何番目の車か 平均待ち時間（分）
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5 シミュレーション（車100台分） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 単位：分
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6 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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7 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 rexp(n, rate) 指数分布に従う乱数n個 平均 1/rate
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8 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着時刻 = 1つ前の車の到着時刻 + 到着間隔
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9 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 開始時刻 = max(1つ前の車の完了時刻, 到着時刻)
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10 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 rexp(n, rate) 指数分布に従う乱数n個 平均 1/rate
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11 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 完了時刻 = 開始時刻 + サービス時間
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12 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 待ち時間 = 開始時刻 – 到着時刻
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13 シミュレーション（最初の1台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 アイドル時間 = 開始時刻 – 1つ前の車の完了時刻
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14 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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15 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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16 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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17 シミュレーション（2台目） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着時刻 = 1つ前の車の到着時刻 + 到着間隔 開始時刻 = max(1つ前の車の完了時刻, 到着時刻) アイドル時間 = 開始時刻 – 1つ前の車の完了時刻
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18 シミュレーション（append） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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19 シミュレーション（append99回） 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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20 待ち時間に興味がある 到着間隔 到着時刻 開始時刻 サービス時間 完了時刻 待ち時間 アイドル時間
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21 100台それぞれの待ち時間 何番目の車か 待ち時間（分）
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22 乱数なので実行する度に変化する
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23 1000回やってみた ← 9分 何番目の車か 平均待ち時間（分） 考察 先頭集団は待ち時間が少ない。後になるほど解析解の 9分に近づいていく。
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24 平均待ち時間の分布 車100台の平均待ち時間 車100台の平均待ち時間を求めるシミュレーションを1000回行ったヒストグラム ← 9分 考察 多くの場合、待ち時間は9分より短いが、20分を超え ることもあるようだ。50分待ちという極端な値もある。
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25 平均アイドル率（解析解） 平均利用率 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 0.75 平均アイドル率 = 1 − 𝜌 = 0.25
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26 平均アイドル率の分布 車100台の平均アイドル率 車100台の平均アイドル率を求めるシミュレーションを1000回行ったヒストグラム 0.25→ 考察 解析解の0.25より大きい傾向だ。
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27 まとめ • 解析解はシステムが長時間稼働した後の安定した状態。 • シミュレーションでは、待ち行列が発生するまでの 「ウォームアップ期間」を再現できる。 • シミュレーションでは分布も得られる。