傾いたディラックコーンをもつ系における 磁場中のエネルギー準位構造 12-041-016 ガラムカリ 和

目次 • ディラックコーン • 傾いたディラックコーン • 一様磁場中の傾いたディラックコーン • 六角格子系 ・この発表を通して電子のスピンは一切考慮しない ・扱う系は全て2次元系

ディラックコーン

2次元系のディラックコーン 自由電子の分散関係 ディラックコーン ∝ ±|| = ℏ2||2 2 ∝ 2 kx ky 例：グラフェン 2次元 kx ky

2次元系における磁場中の議論 自由電子の分散関係 ディラックコーン = ℎ + 1 2 = ±ℎ = 0をみたす状態がある = 0をみたす状態がない = 0,1,2 ⋯ = 0,1,2 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 古典的にはサイクロトロン運動 →調和振動子の形に帰着 ゼロ点振動 ここに注目

ディラックコーンを実現する系の例 例：α-(BEDT-TTF)2 I3 傾いたディラックコーン 例：グラフェン（六方格子上にC原子を並べたシート） ディラックコーン ky ky kx kx kx ky ky kx 傾いたディラックコーンに磁場を与えた時のゼロエネルギー準位を調べる J. Phys. Soc. Jpn. 78 (2009) 114711

傾いたディラックコーンについて調べる

傾いていないディラックコーン = 0 − + 0 = ± 2 + 2 = ± ディラックコーンを実現するハミルトニアン ディラックコーンの分散関係 kx ky サブ格子Ａ サブ格子Ｂ

傾いたディラックコーン = − + = ± 2 + 2 = ± 傾いたディラックコーンを実現するハミルトニアン 傾いたディラックコーンの分散関係 ∈ ℝ

ディラックコーンを傾かせる。 = ± || kx ky = 0 に対してを大きくするとコーンが傾く = 0.6 = 1 倒れ切る 母線

ディラックコーンに磁場をかける = 0 − + 0 磁場なし 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 = 0, , 0 = 0 − ( +) + ( +) 0 → − 非可換性をどうするか [, ] =

ディラックコーンに磁場をかける 一様な磁場B=(0,0,B)を与える。 = 0, , 0 = 0 − ( +) + ( +) 0 = 2 0 † 0 0 = 0 0 が基底状態 0 = 2 0 † 0 0 0 = 0 エネルギー0の準位が存在することを確認した。 0 0 ：調和振動子の基底状態 , † = 1 調和振動子の昇降演算子 = 1 2 ( − − )

傾いたディラックコーンに磁場をかける = − + 磁場なし 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 = 0, , 0 = ( +) − ( +) + ( +) ( + ) → − 解けてる [, ] =

傾いたディラックコーンに磁場をかける 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 = 0, , 0 = ( +) − ( +) + ( +) ( + ) = 2 − 2 († − ) † − 2 († − ) ゼロエネルギー状態が現れるかは分からない。 →傾いたディラックコーンを実現するモデルを考える →そこに磁場を与えた時のスペクトルを数値的に求める , † = 1

六角格子系

傾いたディラックコーンを実現するモデル 第1隣接へのHopping 1 > 0 第2隣接へのHopping 2 ≥ 0 電子は第1隣接と第2隣接の一部にとびうつる グラフェンをベースにした六角格子モデル サイト数 2N2 周期境界条件 − − −

六角格子系のバンド構造 1 = 1, 2 = 0 六角格子系のハミルトニアン −22 [cos ⋅ 1 + cos(・2 )] ∑ [cos ⋅ − sin ⋅ ] ∑ [cos ⋅ + sin ⋅ ] −22 [cos ⋅ 1 + cos(・2 )] = ディラックポイント近傍でのバンド構造 1 = 1, 2 = 0.5 1 = 1, 2 = 0 1 : 2 = 1: 0.5でコーンが倒れ切る

六角格子系に一様磁場を与える とびうつりの経路に沿った の線積分 だけ位相がズレる。 Hopping 1 → exp ℎ ׬ ・ 1 2 → exp ℎ ׬ ・ 2 = 0,0, サイト数 2N2 = 0, , 0 実空間でのハミルトニアンを書き下して数値計算 周期境界条件より = 2 ℏ ∈ ℤ フーリエ変換ができない。

対角化する7200次元行列 0 1 0 0 −1 0 1 0 0 −1 0 1 0 0 −1 0 0 21 0 0 −21 0 21 0 0 −21 0 21 0 0 −21 0 1 3 2 2 0 0 − 3 2 2 1 3 2 2 0 0 − 3 2 2 1 1 2 2 0 0 − 3 22 1 1 3 22 0 0 − 3 2 2 1 3 2 2 0 0 − 3 2 2 1 3 2 2 0 0 − 3 21 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = = 1, ℏ = 1

六角格子系に磁場を与えた系のスペクトル (磁場) E 2 = 0（コーンは傾いていない）, = 60の場合 = 1で2 を動かしていく エネルギーゼロの準位がある

六角格子系に磁場を与えた系のスペクトル 2 （傾き具合） E = 60, = 1, 1 = 1 1 /2 連続したスペクトルに埋没 傾くとゼロエネルギー準位がなくなる 注目

まとめ ・コーンを倒すとゼロエネルギー準位が消える。 ・ゼロエネルギー準位につながる孤立準位は残る。 ・コーンが倒れ切ると孤立準位は連続した準位に埋没する。 今後の課題 ・倒れ切る直前までの解析解と比較する。 E 2 （傾き具合） 1 2

どのように数値計算したか • 六方格子系を正方格子系に帰着させた。 質問用

どのように数値計算したか (0,0) 格子点 , に粒子がある状態 | ۧ , 境界条件 | ۧ , = | ۧ + , | ۧ , = | ۧ , + = −1 ∑, | ۧ , ۦ + 1, | + | ۧ , ۦ − 1, | −2 ∑, | ۧ , ۦ − 1, + 1| + | ۧ , ۦ + 1, + 1| + H. c. Hopping 1 → exp ℎ ׬ ・ 1 2 → exp ℎ ׬ ・ 2 −1 ∑, | ۧ , ۦ, + 1| + | ۧ , ۦ, − 1| 偶奇が不一致のときのみ この系のハミルトニアン , の偶奇が一致のときのみ足す 質問用

傾いたコーンに磁場を与えた場合の解析解 傾いた2次元ディラックコーンに磁場をあたえた系 = sgn() 23|| < で解析的に解けた。 = 1 − 2 ∈ ℤ コーンが倒れ切った時の準位の様子はわからない 質問用 傾いたコーンに一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 = ( +) − ( +) + ( +) ( + ) → − = 0, , 0

パイエルス位相について 質問用 = 2 2 + () 12 = න∗ − 1 ( − ) − :Rに局在した電子の波動関数 = ( − )2 2 + () 12 = න − ℎ∗ − − 2 2 + ℎ( − 2 ) = ℏ ׬ ′ ・ න ∗ − 1 2 2 + ( − 2 ) 結晶格子中でベクトルポテンシャルは不変であることを用いた。 磁場がない場合 磁場がある場合 = න ・ 磁場がある時に1 に 局在した波動関数

リフシッツ転移 = でコーンが倒れ切る = 0 = 電子が下のコーンを全て占有している状態を考える 状態密度が小さい 状態密度が 突然大きくなる ky kx 予備

リフシッツ転移 (傾き具合) 比熱 0 比熱などの量が不連続に変化。 予備