ビットボード解説

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ビットボード uc

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今日話すこと • 前置き • 高速化について • ビット演算基礎 • 基本セルオートマトン • オセロビットボード • チェスビットボード

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なぜビットボード？ • ボードゲームなどのAIを作るには大量の手の探索が必要 • ゲームの手番処理を高速化できれば探索数を増やせる • 手番処理の高速化に使える手法がビットボード

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扱う数について • 扱う数はすべて符号なし整数 (unsigned integer) • 基本的には64ビット整数を想定

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n進数 • 2進数 • 基本的に断りのない数は2進数 • ほかの進数と区別するときは接頭辞 "0b" を付ける • 16進数 • 64ビット整数などの大きな数を書くときに使用 • 接頭辞 "0x" を付ける

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コードについて • 提示するコードは簡略化のためPythonで示す • Pythonの整数型は符号ありで上限を持たないが、ここでは符号なし64ビット整数であるとして扱う（でマスクすればよい） • 引数チェックなどは省く

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高速化プログラムを高速化する手法

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高速化 • 速いマシンを使う • 速い言語を使う • オーダーが小さいアルゴリズムにする • ルックアップテーブルを作る • キャッシュ効率を上げる • 並列化する • 命令数を減らす

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ルックアップテーブル • 三角関数などの引数と戻り値の対応表をあらかじめ作っておき、プログラム実行時にはマクローリン展開などの計算をせずにテーブル参照で戻り値を求める • 計算過程で出てきた再利用できる値をテーブルに保存しておく（メモ化）

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並列化 • マルチプロセッサ • GPGPU • マルチスレッド • SIMD • ビット配列ビットボードはビット配列を利用した高速化技術

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ビット演算基礎

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ビット演算 • 2進数の各ビットごとに論理演算を行う • 64ビット整数であれば64個の論理演算が同時に行われる

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ビット演算 ※RustのビットNOTは、GoのビットNOTは

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シフト演算

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演算子の優先順位 • • •

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ビットマスク • 整数の特定のビットの情報だけを取り出したいときに、特定のビットだけを1にした定数（マスク）とビット演算することで情報を取り出す手法 • 例: IPv4アドレスのサブネットマスク

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ビット配列 • 整数を各要素が1ビットの配列と見立てたもの • 64ビット整数なら長さ64のビット配列と見立てられる • ビットボードの基本となる概念 • ここから基本セルオートマトンを例にして解説していく

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基本セルオートマトン • 横一列に無限にセルが並んでいる • それぞれのセルは各時刻において1か0かの状態をとる • 現在の自身と両隣のセルの状態をルールに照らし合わせて、次の時刻のセルの状態が決められる … 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 … … 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 …

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ウルフラムコード • 次のセルの状態を決めるのは3つの近傍セルの状態 • 3つの近傍セルの状態の組み合わせは23 = 8通り • 8通りの近傍セルの状態それぞれについて、次のセルの状態が 2通りあるので、ルールは28 = 256通り • 256通りのルールをナンバリングしたものがウルフラムコード • 例えば、下のルールのウルフラムコードは01011010 (2) = 90 現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0

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ルール90 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0

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ルール90 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0

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ルール90 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

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ルール90 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

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ルール90 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

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ルール90の意味 • 両隣が異なるなら1になり、同じなら0になる現在の近傍 111 110 101 100 011 010 001 000 次の状態 0 1 0 1 1 0 1 0

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ルール90を実装する｜配列版

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ルール90を実装する｜ビット配列版

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ビット配列の利点 • 整数のビット数の数だけまとめて計算することができる • まとめた分だけ計算量を減らせる • コードの記述量が少なくて済む

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ビット配列の欠点 • コードの可読性が低い • 演算は基本的にビット演算 • 1つの要素には1変数あたり1ビットしか割り当てられない • 要素数がビット数を超える場合には分割が必要

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ビットボードでオセロ合法手の探索、石の数え上げ

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ビットボード • オセロ、チェス、将棋などの盤面をビット配列で表す手法 • 64ビット整数の場合、オセロ・チェス（8x8）なら1個の変数、将棋（9x9）なら2個の変数で盤面のフラグを管理できる

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ビットボードでオセロ • マスの状態は「空」、「白石」、「黒石」の3通り • 「白石があるか」、「黒石があるか」の2つの64bit整数で盤面を表せる • 「手番 (player)」と「相手 (opponent)」の方が実装上は便利 • 今回はblackとwhiteの2変数で説明

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初期配置をビットボードで表す ● ● ● ●

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初期配置をビットボードで表す ● ● ● ●

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空白マスを求める ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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黒石が置けるマス（合法マス）を求めたい ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 合法マスの定義: 1. 周囲8方向のいずれかにおいて 1個以上の白石が続いたのちに黒石があるような空のマス 2. 黒石の周囲8方向にあって 1個以上の白石が続いたのちにある空のマス

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黒石の左方向にある合法マスを求めたい a b c d e f g h 1 2 3 ● ● ● ● 4 ● ● ● ● ● 5 ● ● ● ● ● ● ● 6 7 8 • 左図におけるa5のマスが求めたい合法マス • 少し複雑な手順になるのでステップごとに説明

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黒石の左にあるマスを求める ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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端を超えてしまった部分をマスクする ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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黒石の左にある白石を求める ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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さらに左にある白石を追加する ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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合計6回繰り返す ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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黒石の左方向にある合法マスを求める ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

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黒石の左方向にある合法マスを求める

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他の方向についても同様に求める • 上下方向は8ビットシフトすればOK • 上下方向、斜め方向は対応する別のマスクを使う必要がある

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石の数を数える • 最終局面での盤面評価は石の数による • 石の数のカウントもなるべく高速化したい

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石の数を数える（素朴な計算）

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石の数を数える（高速）

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何をやっているのか • 基本的なアイデアは分割統治法 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 4 3 3 7 10

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• • •

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• •

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• • •

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• • • •

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• 下7ビットだけをマスクで取り出して返す

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popcnt • IntelのSIMD拡張命令セット "SSE4.2" でpopcnt命令が追加された • 自分でpopcountを書くより2倍くらい速い

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ビットボードでチェス遠方駒の利き判定

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ビットボードでチェス • 全ての駒の位置をまとめたビットボード (occupied bitboard)、駒種別の位置・利き・チェック位置など大量のビットボードを管理 • すべてをビットボードで処理するわけではなく、盤面処理に応じて配列とビットボードを使い分ける

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遠方駒のやっかいさ • ルーク♜、ビショップ♝、クイーン♛などの遠方駒の利きは他の駒の位置に影響される • 計算が煩雑な上に盤面が変わるたびに更新する必要がある • 遠方駒の利きを効率的に計算するためにoccupied bitboardが使われる ♜ ♛ ♝

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ルーク♜の横利きを求める ♙ ♜ ♞ ♚ • 左図のルーク♜の横利きを求めることを考える

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ルーク♜の横利きを求める 1 1 0 0 1 1 • 利きに関係する部分の occupied bitboardをビットシフトとマスクで取り出す

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ルーク♜の横利きを求める ♙ ♜ ♞ ♚ • 取り出したOccupied Bitboardをキーとして、ルークの横利きを格納したルックアップテーブルを参照して横利きを求める

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ルーク♜の縦利き・ビショップ♝の利き • 横方向と異なり、縦方向や斜め方向の列はビットシフトとマスクだけで取り出すことはできない

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Rotated bitboard • 縦方向や斜め方向の利きを算出するために、90度回転、±45度回転させたoccupied bitboard (rotated bitboard) を管理する • 4つのoccupied bitboardを管理するので局面更新の処理が増加する • 1つの変数に複数のrotated bitboardを詰め込めば処理増加は抑えられる

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Magic bitboard 6 5 4 3 2 1 g f e d c b ♜ • ルーク♜が右下にあるときの利きに関係するマスは左のようになる • Occupied bitboardから、利きに関係するマスを残して関係ないマスは0にマスクする

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Magic bitboard 6 5 4 3 2 1 g f e d c b ♜ • ここで、おもむろにを左のマスクされたoccupied bitboardにかける

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Magic bitboard g' f' e' d' c b 6 5 4 3 2 1 • すると、うまい具合に利きに関係するマスが連続する • ただし、 • あとは横利きを求める場合と同様に、利きに関係するマスの状態をキーとしたルックアップテーブルを参照すれば縦横の利きが同時に求められる g' f' e' d' = g f e d + 5 4 3 2

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Magic bitboard • Occupied bitboardにかけるマジックナンバーは駒の種類と位置に対応している • 利きに関係ないマスを0にマスクしておりボードは疎なので、マジックナンバーの存在は十分に期待できる • マジックナンバーを解析的に求めることはできない • 乱数を使って総当り的にマジックナンバーを求める

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pext • x86拡張命令セット "Bit manipulation instructions sets (BMI sets)" にて "pext (Parallel bits extract)" 命令が使えるように • 集めたいビットだけを立てたマスクを指定すれば、入力から指定したビットを下位ビットに集めて出力してくれる • 入力がstuvwxyz、マスクが10101010なら出力は0000suwy、という具合

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Rotated vs. Magic vs. pext • Rotated bitboardはテーブルが小さくて済む • Intel系ではpextが少し速い • ZENアーキテクチャではpextはかなり遅い • 今はMagic bitboardが主流

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ビットボードで将棋 • 9x9 = 81マスあるので64ビット整数1つでは管理できない • 分け方としては64マスと17マス、6段と3段、6段と6段（中3段が重なる）などがある • Rotated bitboardを使用しない場合は縦向きにした方が香車の利きを求めやすくなる

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まとめ • ボードゲームなどのAI開発には盤面処理の高速化が必要 • 高速化の手法の1つにビット配列がある • ビットボードは盤面をビット配列で管理することで高速に処理する手法 • 魔法のアルゴリズムを使うと高速な計算ができる • CPU命令に魂を売り渡すとさらに速くことがある（裏切られることもある）

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参考文献 • セル・オートマトン | Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/セル・オートマトン • オセロをビットボードで実装する | Qiita https://qiita.com/sensuikan1973/items/459b3e11d91f3cb37e43 • ビットカウントする高速アルゴリズムをPythonで実装しながら詳しく解説してみる | Qiita https://qiita.com/zawawahoge/items/8bbd4c2319e7f7746266 • やねうら王 http://yaneuraou.yaneu.com/