Ecuación de la cuerda ideal: O por qué las guitarras siempre están desafinadas

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La ecuación de la cuerda ideal O por qué las guitarras siempre están desafinadas Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Abril 2021

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Contacto Twitter @nicoguaro GitHub nicoguaro Página web http://nicoguaro.github.io/ Correo electrónico nguarinz@eafit.edu.co

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La guitarra

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Esta es mi guitarra

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Algunas partes de la guitarra Hueso Puente Longitud de escala

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Modelo matemático

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Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con los desplazamientos que se presentan. Lo que nos lleva a tensiones constantes a lo largo de la cuerda.

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Consideraciones La cuerda es muy larga en comparación con su grosor. Lo que nos lleva a despreciar la rigidez a la flexión de la cuerda.

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Consideraciones La cuerda es muy homogénea, es decir, su densidad de masa es la misma en todos los puntos.

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Vamos a deducir la ecuación de la cuerda ideal a partir de un balance de fuerza horizontal.

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Asumimos que los desplazamientos son pequeños

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Asumimos que es homogénea

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Tenemos ángulos pequeños en ambos extremos

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Esta es la ecuación de onda

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x y T1 T2 x x+ Δ x α β y Su velocidad es

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Modos de vibración de la cuerda

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La forma en la que cambiamos la frecuencia de las cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva (L n ).

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La forma en la que cambiamos la frecuencia de las cuerdas para hacer música es cambiando su longitud efectiva

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La frecuencia para la cuerda está dada por

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Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

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Podemos ver que este sólo tenemos parámetros geométricos en el diseño.

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Considerando “grandes” desplazamientos

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En este caso las ecuaciones se complican “un poco”

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Este efecto no es tan importante como despreciar la rigidez

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El siguiente artículo discute en detalle este modelo: Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.

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Considerando la rigidez a la flexión de la cuerda

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En el caso de considerar la rigidez de la cuerda es necesario hacer un balance de fuerzas y otro de momentos. p

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En este caso, la ecuación resultante es la siguiente

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Esto podemos usarlo para diseñar el diapasón

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Con Y ya el diseño no depende sólo de parámetros geométricos.

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¿Cómo mitigar el problema? Una opción para mitigar el problema es usar cuerdas entorchadas que añaden masa pero no rigidez.

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Considerando incrementos en tensión

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Una cuerda siendo tocada luce así h L a

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El incremento en tensión sería

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Esto implica un incremento en la frecuencia a medida que nos movemos en el diapasón.

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La solución suele ser incrementar un poco la longitud de escala, es decir, alejar un poco el puente del hueso. Proceso al que se suele llamar octavar la guitarra.

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¿Dónde puedo leer más?

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Artículos Nicolás Guarín-Zapata (2021). Design of a fretboard using the stiff string equation. Sin publicar Carrier, G. F. (1945). On the non-linear vibration problem of the elastic string. Quarterly of Applied Mathematics, 3(2), 157-165.