Introduction to Image Processing: 3.Frequ

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Master Mathematical Analysis and Applications Course M1 - S1 Image processing - Processing in the Frequency Domain - Week 5-6 Mohammed Hachama [email protected] http://hachama.github.io/home Saad Dahlab University - Blida 1 -January 2021-

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Plan 1. S´ eries et transform´ ee de Fourier 2. Transform´ ee de Fourier discr` ete 3. Filtrage fr´ equentiel 4. ´ Echantillonnage et TF Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (2/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Motivation • Une grosse partie permettant l’analyse des images utilise la notion de ﬁltre. • La transform´ ee de Fourier : permet de remplacer des op´ erations gourmandes par d’autres plus rapides. • 1960, FFT : algorithme rapide permettant le calcul de la transform´ ee de Fourier (des images). Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (3/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Motivation • Convertir du domaine spatial vers le domaine fr´ equentiel. • Eﬀectuer des manipulations dans le domaine fr´ equentiel. • (Re)convertir la solution vers le domaine spatial. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (3/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF S´ eries de Fourier • D´ ecomposition d’une fonction T-p´ eriodique en harmoniques. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (5/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF S´ eries de Fourier • D´ ecomposition d’une fonction r´ eelle T-p´ eriodique en harmoniques. f (x) = a0 2 + +∞ n=1 an cos( 2π T nx) + bn sin( 2π T nx) an = 2 T T 2 −T 2 f (t) cos( 2π T nt) dt bn = 2 T T 2 −T 2 f (t) sin( 2π T nt) dt Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (5/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF S´ eries de Fourier • D´ ecomposition d’une fonction complexe T-p´ eriodique. f (x) = +∞ n=−∞ cn ei 2π T nx , cn = 1 T T 2 −T 2 f (t)e−i 2π T nt dt • Bases de Fourier : {ei 2π T nt, n ∈ Z} est une base orthonormale de l’espace de Hilbert L2([−π, π]), muni du produit scalaire f |g = 1 T T 2 −T 2 f (t)¯ g(t) dt • Convergences : en norme L2. Convergence ponctuelle ? Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (5/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF S´ eries de Fourier Th´ eor` eme (de Dirichlet : Convergence ponctuelle) Soit f ∈ L1 loc (R) de p´ eriode T = 2π, et x0 ∈ R. On suppose que : • Les limites f (x+ 0 ) et f (x− 0 ) existent ; • ∃α > 0 tel que les int´ egrales suivantes convergent : α 0 |f (x0 + t) − f (x+ 0 )| t dt, α 0 |f (x0 − t) − f (x− 0 )| t dt. Alors, la s´ erie de Fourier de f converge au point x0 et lim n n k=−n cn ei 2π T nx = 1 2 (f (x+ 0 ) + f (x− 0 )). Cas particulier : f admet des d´ eriv´ ees ` a droite et ` a gauche en x0 (sans n´ ecessairement ˆ etre continue). Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (5/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF S´ eries de Fourier • En traitement d’images (ou en g´ en´ eral) • Pas de fonctions cycliques en g´ en´ eral. • Peu d’utilit´ e pour les s´ eries de Fourier. • Toute fonction L2 (ou L1) (mˆ eme ap´ eriodique) s’´ ecrit comme l’int´ egrale de fonctions sinus et cosinus multipli´ ees des coeﬃcients. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (5/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier • f ∈ L1(R) : F(u) = +∞ −∞ f (x) e−i u x dx. F est born´ ee et continue. • Transform´ ee inverse : Si f , F ∈ L1(R) : f (x) = 1 2π +∞ −∞ F(u) ei u x du. • Extension de la TF a L2(R) par densit´ e de L1(R) ∩ L2(R). Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (6/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier • Exemple : f = 1[−1,+1] ∈ L2(R) F(u) = +1 −1 e−i u t dt = 2 sin u u . F n’est pas int´ egrable. On ne peut pas inverser la TF. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (6/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier Th´ eor` eme (Convolution) Si f , h ∈ L1(R). Alors, la fonction g = h ∗ f ∈ L1(R) et G(u) = H(u)F(u). Th´ eor` eme (Parseval et Plancherel) Si f et h sont deux fonctions de L1(R) ∩ L2(R) ∞ −∞ f (t)¯ h(t) dt = 1 2π ∞ −∞ F(t)¯ H(t) dt ∞ −∞ |f (t)|2 dt = 1 2π ∞ −∞ |F(t)|2 dt Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (6/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier • Propri´ et´ es Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (6/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier • Pour une fonction f ∈ L1(R2) : F(u1 , u2 ) = +∞ −∞ +∞ −∞ f (x1 , x2 ) e−i u x dx dy. • Transform´ ee inverse f , F ∈ L1(R2) f (x1 , x2 ) = 1 4π2 +∞ −∞ +∞ −∞ F(u1 , u2 ) ei u x du dv. • Parseval, Plancherel et Convolution. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (6/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • DFT (Discrete Fourier transform) : f ∈ CN F(k) = N−1 n=0 f [n] exp −i 2π N kn , k ∈ {0, 1, ..., N − 1} • On peut montrer que (Transform´ ee inverse) : f (n) = 1 N N−1 k=0 F[k] exp i 2π N kn , n ∈ {0, 1, ..., N − 1} • Convolution circulaire : f ∗ h[n] = N p=0 f [p]h[n − p] , n ∈ {0, 1, ..., N − 1} Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • DFT : Exemple pour N = 4 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • iDFT : Exemple pour N = 4 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • La DFT est d´ eﬁnie pour n’importe quelle longueur N. Toutefois, N est souvent suppos´ e une puissance de 2 car des algorithmes eﬃcaces existent pour ces valeurs. • Si N n’est pas une puissance de 2, le signal est augment´ e par des z´ eros. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • La famille {ek [n] = exp 2π N ikn , 0 ≤ k ≤ N} est une base orthogonale de l’espace des signaux N-p´ eriodique, muni du produit scalaire f , h = N−1 k=0 f [k]¯ h[k] • Parseval : f 2 = N−1 k=0 f [k] 2 = 1 N N−1 k=0 F[k] 2 • Convolution : Si g = f ∗ h, alors : G[k] = F[k]H[k] Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Magnitude ou spectre (F = R + iI) : |F(u)| = R(u)2 + I(u)2 1/2 • Spectre de puissance, densit´ e spectrale (Mesure de l’´ energie) : |F(u)|2 = R(u)2 + I(u)2 • Angle ou phase : Φ(u) = arctan( I(u) R(u) ) Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • DFT en 2D (DFT2) : F(u, v) = M−1 x=0 N−1 y=0 f (x, y) e−i 2π(ux/M+vy/N) avec u = 0, ..., M − 1; v = 0, ..., N − 1. • Transform´ ee inverse : f (x, y) = 1 MN M−1 u=0 N−1 v=0 F(u, v) ei 2π(ux/M+vy/N) avec x = 0, ..., M − 1; y = 0, ..., N − 1. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Le format cent´ e de la DFT2, avec N pair : X(k, l) = M 2 −1 m=−M 2 N 2 −1 n=−N 2 x(m, n) e−i 2π(km/M+ln/N) avec k = 0, ..., M − 1; l = 0, ..., N − 1. x(m, n) = 1 MN M 2 −1 k=−M 2 N 2 −1 l=−N 2 X(k, l) ei 2π(km/M+ln/N) Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Chaque terme de F(u,v) est fonction de TOUTES les valeurs de f(x,y) pond´ er´ ees par l’exposant. • La transform´ e de Fourier pr´ esente • Moyenne ` a l’origine (composante DC) • Les basses fr´ equences • Les hautes fr´ equences Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • La transform´ e est conjugu´ e sym´ etrique F(u, v) = F(−u, −v) • Si f(x,y) est r´ eel |F(u, v)| = |F(−u, −v)| Le spectre est sym´ etrique ! • Dans beaucoup de transform´ ees de Fourier il subsiste les deux lignes verticales et horizontales passant par l’origine. Elles viennent des eﬀets de bord de la transform´ ee discr` ete. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Bases Bu,v (x, y) = 1 √ M √ N e2πj(ux N +vy M ), u = 1, ..., N − 1, v = 1, ..., M − 1 F(u, v) =< f , Bu,v > Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Convolution discr` ete f ∗ h(x, y) = 1 MN M m=0 N n=0 f (m, n)h(x − m, y − n) • Correspondance entre ﬁltres spatial et fr´ equentiel. • Convolution et produit dans les deux sens. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Calcul de la transform´ ee de Fourier F = fft2(f ); • Affichage du spectre de Fourier |F(u, v)| dans une ´ echelle logarithmique : D = log(1 + abs(F)); • Appliquer une rotation ` a l’image pour mettre F(0, 0) au centre : D = fftshift(D); Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : Calculer la DFT2, iDFT2, DFT1 par ligne ensuite par colonne, DFT1 par colonne ensuite par ligne. On suppose que l’origine (0, 0) est au coin sup´ erieur gauche. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : Calculer la DFT2 par colonne ensuite par ligne. 1 2 3 1 −2 3 1 4 1 1 2 2 3 1 2 4 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Propri´ et´ es de la DFT2 • Lin´ earit´ e : ax1(m, n) + bx2(m, n) ↔ aX1(k, l) + bX2(k, l) • P´ eriodicit´ e x(m, n) = x(m + aM, n + bN), for all m, n X(k, l) = X(k + aM, l + bN), for all k, l • Shift circulaire de l’image x(m − m0, n − n0) ↔ X(k, l)e−j 2π N (km0+ln0) • Shift circulaire du spectre x(m, n)ej 2π N (k0m+l0n) ↔ X(k − k0, l − l0) Le spectre centr´ e est obtenu pour N impair et k0 = l0 = N/2. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Propri´ et´ es de la DFT2 • Convolution circulaire dans le domaine spatial x(m, n) ∗ h(m, n) ↔ X(k, l) H(k, l) y(m, n) = N−1 p=0 N−1 q=0 x(p, q)h(m−p, n−q), m, n = 0, 1, . . . , N−1 • Convolution circulaire dans le domaine fr´ equentiel x(m, n) h(m, n) ↔ 1 N2 N−1 p=0 N−1 q=0 X(p, q)H(m − p, n − q) Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : Calcul la DFT1 par lignes, par colonnes, DFT2, DFT2 centr´ ee Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : DFT1 par lignes • Exemple : DFT1 par colonnes Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : DFT2 • Exemple : DFT2 centr´ ee Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : DFT2 - magnitude Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Transform´ ee de Fourier discr` ete • Exemple : DFT2 - magnitude - ´ echelle log Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (8/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (10/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Exemple : Filtre Laplacien x(m, n) = 1 −1 3 2 2 1 2 4 1 −1 2 −2 3 1 2 2 , h(m, n) = 0 −1 0 −1 5 −1 0 −1 0 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (10/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Exemple : Filtre Laplacien • R´ epliquer les bords x = 1 −1 3 2 2 1 2 4 1 −1 2 −2 3 1 2 2 , xz = 1 1 −1 3 2 2 0 0 1 1 −1 3 2 2 0 0 2 2 1 2 4 4 0 0 1 1 −1 2 −2 −2 0 0 3 3 1 2 2 2 0 0 3 3 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (10/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Exemple : Filtre Laplacien • Zero-padding h = 0 −1 0 −1 5 −1 0 −1 0 , hz = 5 −1 0 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (10/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Exemple : Filtre Laplacien • R´ esultat y(m, n) = 4 −10 12 3 7 3 0 18 1 −10 9 −18 13 1 5 10 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (10/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • ´ Elimination ponctuelle • Filtres passe-bas • ´ Eliminer les fr´ equences hautes • Supprimer les d´ etails • Filtres passe-haut • ´ Eliminer les fr´ equences basses • Conserver la silhouette des objets Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Notch ﬁlter : Mettre la moyenne des tons de gris ` a 0 H(u, v) = 0 (u, v) = (u0 , v0 ) 1 partout ailleurs Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas id´ eal : Coupe toutes les hautes fr´ equences apr` es une distance D0 (fr´ equence de coupure ou cutoﬀ) du centre H(u, v) = 1 (u − u0 )2 + (v − v0 )2 < D0 0 partout ailleurs Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas id´ eal : Coupe toutes les hautes fr´ equences apr` es une distance D0 (fr´ equence de coupure ou cutoﬀ) du centre H(u, v) = 1 (u − u0 )2 + (v − v0 )2 < D0 1/2 partout ailleurs Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas id´ eal : Ph´ enom` ene de r´ everb´ eration Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Butterworth : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 et de l’exposant n H(u, v) = 1 1 + Dist((u,v);(u0,v0)) D0 2n . Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Butterworth : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 et de l’exposant n Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Butterworth : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 et de l’exposant n Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Butterworth : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 et de l’exposant n Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Gaussien : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 H(u, v) = e −D(u,v)2 2D2 0 . Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-bas Gaussien : Coupe graduellement les hautes fr´ equences selon la s´ election de D0 • Moins agressif que le ﬁltre id´ eal ou le ﬁltre Butterworth. • Moins de contrˆ ole sur la s´ election pr´ ecise de D0. • Mais pr´ esente une garantie contre la r´ everb´ eration ! • Correspond au mod` ele humain. Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-haut : Exactement la fonction contraire des ﬁltres passe-bas Hph = 1 − Hpb • Contrast (Sharpening) • Exemple de ﬁltres • Id´ eal • Butterworth • Gaussien Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-haut : Exactement la fonction contraire des ﬁltres passe-bas Hph = 1 − Hpb • Passe-haut id´ eal 0 — 1 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-haut : Exactement la fonction contraire des ﬁltres passe-bas Hph = 1 − Hpb • Passe-haut id´ eal 0.5 — 1 Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Passe-haut Gaussien Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel • Bruit periodique Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF Filtrage fr´ equentiel Code Matlab : Exemple 1 Pr´ eparation : clear all ; close all ; f=imread(’jetplane.tif’) ; figure(1) ; imshow(f,[]) 2 Calcul la transform´ ee de Fourier F. F=fft2(f) ; 3 Conserve uniquement la composante continue F(0, 0). F2=zeros(size(F)) ;F2(1,1)=F(1,1) ; 4 Calcul la transform´ ee de Fourier inverse. f2=real(ifft2(F2)) ; figure(2) ; imshow(f2,[]) Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (11/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF ´ Echantillonnage et TF • ´ Echantillonnage d’un signal analogique f : fd (t) = ∞ n=−∞ f (ns)δ(t − ns) s est la p´ eriode ou intervalle et 1/s est la fr´ eq. d’´ echantill. • Transform´ ee de Fourier : ˆ fd (w) = ∞ n=−∞ f (ns)e−insw . • Th´ eor` eme : ˆ fd (w) = 1 s ∞ k=−∞ ˆ f (w − 2kπ s ). • Th´ eor` eme de Shannon : Si Supp(ˆ f ) = [−pi/s, π/s], alors : f (t) = ∞ n=−∞ f (ns)Φs (t − ns), Φs (t) = sin(πt/s) πt/s . Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (13/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF ´ Echantillonnage et TF • ´ Echantillonnage et reconstruction Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (13/13) M. Hachama ([email protected])

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S´ eries et transform´ ee de Fourier Transform´ ee de Fourier discr` ete Filtrage fr´ equentiel ´ Echantillonnage et TF ´ Echantillonnage et TF • Aliasing Image processing (week 5-6) -Processing in the Frequency Domain- (13/13) M. Hachama ([email protected])