ACO in TSP Problem formulation 3 Basic ACO 1 5 3 4 2 Travelling Salesman Problem 旅行推銷員問題 n City which number is n Route between 2 cities TSP是組合最佳化中的一個NP Hard問題，其問題 定義為「給定一系列城市和城市之間的距離，求解 訪問每座城市一次並回到起始城市的最短路徑」。 如果使用暴力迭代法(brute-force search)，當 城市大於66個，一般的電腦就會無法解出。

ACO in TSP Parameters Setting 4 Basic ACO 1 5 3 4 2 ACO 參數設定 n City which number is n Route between 2 cities 1. Population size (N) 每一代中有多少螞蟻 2. Max Iterations 最大迭代的次數 3. Pheromone Evaporation Rate (p) 賀爾蒙消散的速率 4. Initial Artificial Pheromone (𝝉𝒊𝒏𝒊𝒕 ) 起始的費洛蒙濃度 5. Weight of Pheromone Density (𝜶) 費洛蒙濃度的影響係數 6. Weight of Route Distance\heuristic\proximity (𝜷) Heuristic的影響程度，TSP中heuristic是距離倒數 7. Weight of Total Travel Distance (Q) 各別螞蟻總路徑長，對於費洛蒙變化量的影響 a b c d

ACO in TSP Important procedures & formulas 5 Basic ACO 1 5 3 4 2 Probability of state transfer n City which number is n Route between 2 cities In TSP, it indicates the probability for ant K to moving from city i to city j. (在TSP中，每一代的每個螞蟻從 i 轉移到 j 的機率都是相同的，所以可以暫時忽略 k ) P𝒊𝒋 = (𝝉𝒊𝒋 )𝜶(𝜼𝒊𝒋 )𝜷 σ 𝒎∈𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘𝒆𝒅 (𝝉𝒊𝒎 )𝜶(𝜼𝒊𝒎 )𝜷 𝝉𝒊𝒋 is the amount (density) of pheromone between city i and city j 𝜼𝒊𝒋 is the proximity between city i and city j . 𝜼𝒊𝒋 = ൗ 𝑸 𝒅𝒊𝒋 ( 常數Q / 路徑長𝒅𝒊𝒋 ) 由左圖解析，a、b、c、d分別表示各自路徑的𝝉𝜶𝜼𝜷 𝑷𝟏,𝟐 = 𝒂 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 , 𝑷𝟏,𝟑 = 𝒃 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 , 𝑷𝟏,𝟒 = 𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 , 𝑷𝟏,𝟓 = 𝒅 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 𝑷𝟏,𝟐 + 𝑷𝟏,𝟑 + 𝑷𝟏,𝟒 + 𝑷𝟏,𝟓 = 1 a b c d

ACO in TSP Important procedures & formulas 6 Basic ACO Update Pheromone • Pheromone & Proximity(𝜼𝒊𝒋 ) between nodes to nodes 當第 t 代的螞蟻都走完，則需要根據每一隻螞蟻走過的路線來更 新費洛蒙濃度。對螞蟻k而言，其造成的費洛蒙變化量為 : ∆𝝉𝒊𝒋,𝒌 𝒕 = ቐ ൗ Q L𝒌 (𝒕) 𝒊𝒇 (𝒊, 𝒋) ∈ 𝑻𝒌 (𝒕) 𝟎 𝒊𝒇 (𝒊, 𝒋) ∉ 𝑻𝒌 (𝒕) L𝒌 (t) 代表第 t 代中，螞蟻 k 旅行的總路徑長 𝑻𝒌 (𝒕) 代表第 t 代中，螞蟻 k 旅行過的路徑 根據所有螞蟻造成的費洛蒙變化量，以及第 t 代的費洛蒙濃度， 我們可以更新第 t+1 代路徑上的費洛蒙濃度 : 𝝉𝒊𝒋 𝒕 + 𝟏 = 𝟏 − 𝒑 ∗ 𝝉𝒊𝒋 𝒕 + ෍ 𝒌=𝟏 𝑵 ∆𝝉𝒊𝒋,𝒌 𝒕 Proximity (Q/Distance) Pheromone Density

ACO in TSP STEP by STEP 7 Basic ACO 1 5 3 4 2 ACO Algorithm 步驟 n City which number is n Route between 2 cities 1. 設定初始參數、初始費洛蒙濃度 2. 讓 N 隻螞蟻從隨機的起始點開始探訪節點，直到回到起始點 每隻螞蟻的探索步驟 - a. 根據當前節點(city)計算到其他未探訪節點(city)的狀態 轉移機率 b. 根據狀態轉移機率建立Solution Set c. 隨機取一個介於 0 ~ 1 的數值，根據此數值找尋其位在 Solution Set 的位置，並決定下一個探訪的節點(city) d. 重複a, b, c 步驟直到沒有未探索的節點 e. 回到起始的節點 3. 根據每隻螞蟻的旅程，更新每個路徑的費洛蒙濃度 4. 重複2, 3 步驟直到收斂(收斂條件自行定義) P𝟏𝟐 P𝟏𝟑 P𝟏𝟒 P𝟏𝟓

ACO in TSP STEP by STEP 8 Basic ACO 1 5 3 4 2 ACO Algorithm 步驟 1. 設定初始參數、初始費洛蒙濃度 2. 讓 N 隻螞蟻從隨機的起始點開始探訪節點，直到回到起始點 每隻螞蟻的探索步驟 - a. 根據當前節點(city)計算到其他未探訪節點(city)的狀態 轉移機率 b. 根據狀態轉移機率建立Solution Set c. 隨機取一個介於 0 ~ 1 的數值，根據此數值找尋其位在 Solution Set 的位置，並決定下一個探訪的節點(city) d. 重複a, b, c 步驟直到沒有未探索的節點 e. 回到起始的節點 3. 根據每隻螞蟻的旅程，更新每個路徑的費洛蒙濃度 4. 重複2, 3 步驟直到收斂(收斂條件自行定義) P𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟐 P𝟏𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟓 P𝟏𝟒 = 𝟎. 𝟒 P𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟓 P𝟏𝟐 P𝟏𝟑 P𝟏𝟒 P𝟏𝟓 0 0.2 0.35 0.75 1 0.25 (Random number) • 上圖中，隨機數值為0.25，位在Solution Set 中P𝟏𝟑 內，故選擇節點3為下一個探訪的城市