RDDに入門2 ”識別条件と検定”の概要

RDD（回帰不連続デザイン）とは？ 施策対象となるかどうかが、ある一つの基準(強制変数: X)で決定される場合、その閾値 前後で比較することで効果を推定する 目的変数: Y 強制変数: X 統制群 ( t=0 ) 処置群 ( t=1 ) 境界付近の効果を推定 (局所的平均処置効果、LATE) • 境界付近においては効果推定が厳密にできるとみ なされている • 過去の購買量に応じたメールマーケティングの効果 • 離反確率が高い人たちへの離反防止策の効果 • 降圧剤による血圧の低下の効果 • 境界から遠い対象については施策効果がわからない (バイアスが大きくなる) 分析ケース メリット デメリット カットオフ値

目次 • RDDにおける識別条件と検定 1. 識別条件と成立しないケース 2. 可視化での判断 3. 検定での判断 4. 共変量のバランステストでの判断

識別条件と成立しないケース 1. E[Yi |Xi=x](*)が閾値cにおいて連続である 2. 閾値周辺において、スコアの密度が正である *) ポテンシャルアウトカムの、スコアについての条件付き期待値 閾値が知られており, 強制変数が正確に操作され、施策の 有無が意図的に変更されている状況 （＝操作、manipulation） (例) ・夫婦共働きの世帯において、所得税の所得控除のために年間 収入を抑える ・試験において、採点者が受験者の点数を加点する ・テストで不合格であったにもかかわらず、再テストにより合格し、点 数が上書きされる • 識別条件: 効果推定が正当化されるために必要な仮定 • 成立しないケース それぞれ片方は観 測できないので極 限がわからない 検定で判断 1について

可視化での判断 閾値付近で特異な状況になっていないこと 満たしていることを示唆 満たしていないおそれ

検定での判断① スコアの密度関数が連続であるかどうかを検定。 可視化で判断していることを、統計的に判断しているイメージ。 McCraryの検定 手順 1. 閾値前後でビンサイズを決める 2. 密度推定値を算出 3. 密度推定値の差を検定する → RDDを使用するためには、帰無仮説が棄却されないほうが良い 密度推定値と標準誤差 密度推定値の差 標準誤差 （K: 三角形関数でのカーネル関数、h: バンド幅）

検定での判断② スコアの密度関数が連続であるかどうかを検定。 可視化で判断していることを、統計的に判断しているイメージ。 局所多項式密度推定量に基づく検定 帰無仮説(H 0 )と対立仮説(H 1 ) H 0 : lim 𝑥↑𝑐 𝑓(𝑥) = lim 𝑥↓𝑐 𝑓(𝑥) H1 : lim 𝑥↑𝑐 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑥↓𝑐 𝑓(𝑥) → RDDを使用するためには、帰無仮説が棄却されないほうが良い 検定統計量 𝑇𝑝 (h) = 𝑛+ 𝑛 ෢ 𝑓+ 𝑐 − 𝑛− 𝑛 ෢ 𝑓− 𝑐 𝑛+ 𝑛2ℎ+ ෢ 𝑉+ 𝑐 − 𝑛− 𝑛2ℎ− ෢ 𝑉− 𝑐 p: 多項式の次数(自分で設定) h: バンド幅 n: 標本サイズ ෠ 𝑉 𝑥 : 分散推定値 መ 𝑓 𝑥 : 密度推定値 c: カットオフ値 添え字: +は𝑥𝑖 ≧c, -は𝑥𝑖

共変量バランステストでの検定 スコアが閾値の時の共変量の期待値の連続性を検定 考え方 判断していること 共変量に対して、RDDの施策効果を推定して、推定値が0に近く有意では無いことを確認する → RDDを行うには、帰無仮説(平均処置効果=0)は棄却されないほうが良い Y : 今月の売上(結果変数), X : 先月の売上(強制変数), Z1 : 年齢, Z2 : 性別 Y X Z1 Z2 推定したい効果 (先月の売上によって クーポンが配布される) 共変量バランステスト Z 1 X 閾値の前後での共変量の変動の 有無を検定して、同質化が適切に 行われているかを確認 検定について: rdrobustでは3つの手順がある • Conventional: 標準的な方法 • Bias-Corrected: 推定効果と標準誤差をバイアス補正 • Robust: Bias-Correctedに対して、標準誤差を変更している → 信頼区間も変わる

RDDで使えるpythonライブラリ Python、Rで使えるRD Packagesというものがある rdrobust • Sharp RDDの推定(Fuzzy RDDもたいてい可能の様)。 • 推定効果の可視化。 • 共変量バランステストもこれでOK。 rddensity • McCrayの検定、局所多項式密度推定量に基づく検定 ライブラリ名 できること

補足: 単回帰分析の偏回帰係数の検定 • 偏回帰係数の標準誤差 • 偏回帰係数の有意差検定 ✓ 単回帰モデル: 𝑦𝑖 = ෢ β1 + ෢ β2 𝑥𝑖 + ෝ 𝑒𝑖 ✓ 推定誤差:ෞ 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − ( ෢ β1 + ෢ β2 𝑥𝑖 ) => 推定値の標準誤差: s.e. = 𝑠2 = σ 𝑒𝑖 2 𝑛 −𝑘 −1 ( k: 説明変数の数 ) ෢ β2 の標準誤差(標準偏差の推定量) s.e.( ෢ 𝛽2 ) = 𝑠.𝑒. σ(𝑥𝑖 − ҧ 𝑥)2 帰無仮説 H0 : β2 = 𝑎 ( 𝑎は指定された定数。因果推論的には 0 。 ) 対立仮説 H1 : β2 > 𝑎 or β2 < 𝑎 ( 片側検定 )、 β2 ≠ 𝑎 ( 両側検定 ) 検定統計量: ( n – k - 1 )のt分布で検定 t 2 = ෢ 𝛽2 s.e.( ෢ 𝛽2 )

参考文献 • 高橋将宜(著). (2022). WonderFul R5 統計的因果推論の理論と実装 潜在的結果変数と欠測データ. 共立出版. • https://qiita.com/ishihara_nospare/items/e05c8b307de010a39392#%E8%AD%98%E5%88%A5% E6%9D%A1%E4%BB%B6%E3%81%AE%E3%83%86%E3%82%B9%E3%83%88 • 伊藤寛武・金子雄祐(著). (2024). Pythonで学ぶ効果検証入門. 株式会社オーム社.