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Coloriages... et maths Le problème de Hadwiger-Nelson Roger Mansuy Université Le Havre Normandie, le 6 mars 2023

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Quelques contraintes: • colorier tous les points du plan, • deux points quelconques à distance 1 ne sont jamais de la même couleur, • on utilise le moins de couleurs possibles.

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Quelques contraintes: • colorier tous les points du plan, • deux points quelconques à distance 1 ne sont jamais de la même couleur, • on utilise le moins de couleurs possibles. Le nombre minimal de couleur est appelé nombre chromatique du plan et noté χ.

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Quelques contraintes: • colorier tous les points du plan, • deux points quelconques à distance 1 ne sont jamais de la même couleur, • on utilise le moins de couleurs possibles. Le nombre minimal de couleur est appelé nombre chromatique du plan et noté χ. Le problème de Hadwiger-Nelson consiste à calculer χ.

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Ce que l’on peut... Pour montrer que χ ≤ N, il suffit d’exhiber un coloriage du plan (qui satisfait les contraintes) avec N couleurs.

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Avec un pavage ”carré”

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Avec un pavage ”carré” < 1 ▶ Chaque carré est de diagonale strictement inférieure à 1.

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Avec un pavage ”carré” 1 ▶ Chaque carré est de diagonale strictement inférieure à 1. ▶ Des carrés de même couleur sont à distance strictement supérieure à 1.

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Avec un pavage ”carré” ▶ Chaque carré est de diagonale strictement inférieure à 1. ▶ Des carrés de même couleur sont à distance strictement supérieure à 1.

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Avec un pavage ”carré” ▶ Chaque carré est de diagonale strictement inférieure à 1. ▶ Des carrés de même couleur sont à distance strictement supérieure à 1.

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Avec un pavage ”carré” ▶ Chaque carré est de diagonale strictement inférieure à 1. ▶ Des carrés de même couleur sont à distance strictement supérieure à 1.

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Théorème On peut colorier le plan avec 9 couleurs (en respectant les contraintes). Autrement dit, χ ≤ 9.

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Avec un pavage ”hexagonal”

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Avec un pavage ”hexagonal” < 1

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Avec un pavage ”hexagonal” 1

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Avec un pavage ”hexagonal”

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Avec un pavage ”hexagonal”

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Théorème On peut colorier le plan avec 7 couleurs (en respectant les contraintes). Autrement dit, χ ≤ 7.

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Avec un autre pavage ”carré” 1 Avec la convention suivante pour les côtés et sommets:

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Avec un autre pavage ”carré” 1 Avec la convention suivante pour les côtés et sommets:

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Avec un autre pavage ”carré”

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Avec un autre pavage ”carré”

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On retrouve la même majoration. Théorème On peut colorier le plan avec 7 couleurs (en respectant les contraintes). Autrement dit, χ ≤ 7.

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Ce que l’on ne peut pas... Pour montrer que χ > N, il suffit d’exhiber un ensemble de points que l’on ne peut pas colorier (en respectant les contraintes) avec seulement N couleurs.

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Théorème Une seule couleur ne suffit pas: χ > 1.

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Théorème Une seule couleur ne suffit pas: χ > 1. Il suffit de regarder deux points à distance 1: 1

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Théorème Une seule couleur ne suffit pas: χ > 1. Il suffit de regarder deux points à distance 1:

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Théorème Deux couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 2.

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Théorème Deux couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 2. Il suffit de regarder trois points deux à deux à distance 1: 1

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Théorème Deux couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 2. Il suffit de regarder trois points deux à deux à distance 1:

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Théorème Trois couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 3.

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Théorème Trois couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 3. On ne peut pas utiliser le même argument puisqu’il n’existe pas quatre points du plan deux à deux à distance 1.

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Théorème Trois couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 3. On ne peut pas utiliser le même argument puisqu’il n’existe pas quatre points du plan deux à deux à distance 1.

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Théorème Trois couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 3. On ne peut pas utiliser le même argument puisqu’il n’existe pas quatre points du plan deux à deux à distance 1. ?

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Théorème Trois couleurs ne suffisent pas. Autrement dit, χ > 3. On ne peut pas utiliser le même argument puisqu’il n’existe pas quatre points du plan deux à deux à distance 1.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures.

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Essayons de ”coupler” deux telles structures. La configuration obtenue lorsque les deux points de droite sont à distance 1 est appelée graphe de Moser.

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Une autre preuve est fournie en essayant de colorier le graphe de Gollomb:

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Une autre preuve est fournie en essayant de colorier le graphe de Gollomb:

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Une autre preuve est fournie en essayant de colorier le graphe de Gollomb:

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Une autre preuve est fournie en essayant de colorier le graphe de Gollomb: Les trois sommets restants doivent être coloriés de trois couleurs différentes. Or, ils sont tous les trois voisins d’un sommet bleu: il faut donc une nouvelle couleur!

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Une autre preuve est fournie en essayant de colorier le graphe de Gollomb: Les trois sommets restants doivent être coloriés de trois couleurs différentes. Or, ils sont tous les trois voisins d’un sommet bleu: il faut donc une nouvelle couleur!

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963 • diplomé en informatique à Cambridge University en 1985

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963 • diplomé en informatique à Cambridge University en 1985 • biogérontologue autodidacte

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963 • diplomé en informatique à Cambridge University en 1985 • biogérontologue autodidacte • docteur en biologie par procédure spéciale en 2000

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963 • diplomé en informatique à Cambridge University en 1985 • biogérontologue autodidacte • docteur en biologie par procédure spéciale en 2000 • auteur du best-seller Ending Aging en 2008

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Aubrey de Grey • né le 20 avril 1963 • diplomé en informatique à Cambridge University en 1985 • biogérontologue autodidacte • docteur en biologie par procédure spéciale en 2000 • auteur du best-seller Ending Aging en 2008 • fondateur de Strategies for Engineered Negligible Senescence en 2009

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En 2018, de Grey publie dans la revue Geombinatorics Quarterly un article dans lequel il propose une configuration de 1581 points du plan dont le coloriage requiert au moins cinq couleurs!

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En 2018, de Grey publie dans la revue Geombinatorics Quarterly un article dans lequel il propose une configuration de 1581 points du plan dont le coloriage requiert au moins cinq couleurs! Comme pour le graphe de Moser, il cherche à coupler des graphes en reliant des points de sorte à les empêcher d’avoir la même couleur...

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En 2018, de Grey publie dans la revue Geombinatorics Quarterly un article dans lequel il propose une configuration de 1581 points du plan dont le coloriage requiert au moins cinq couleurs! Comme pour le graphe de Moser, il cherche à coupler des graphes en reliant des points de sorte à les empêcher d’avoir la même couleur... mais la réalisation est plus virtuose.

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Il commence par étudier les différents coloriages avec quatre couleurs du graphe roue à 7 sommets, W7.

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Il combine treize roues W7 pour former un graphe, appelé J.

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Ensuite, le graphe K est composé de deux copies de J tournées l’une par rapport à l’autre d’un angle de 2 arcsin 1 4 autour du centre (K contient donc 26 roues).

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Le graphe L est composé de deux copies de K tournées autour de A avec l’angle 2 arcsin 1 8 (L contient donc 52 roues). Ici les points B et B′ sont à distance 1, donc de couleurs différentes.

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Par ailleurs, il construit un graphe M avec 1345 sommets, un très grand nombre de graphes de Moser et surtout un graphe W7 en son ”centre”.

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Le graphe N est obtenu en copiant le graphe M ”sur” chacun des 52 graphes roues de L (chaque copie de M est centrée sur l’une des occurrences de W7 dans L). Il suffit alors de vérifier la coloriabilité de ce graphe. Théorème Le graphe N ainsi obtenu n’est pas coloriable avec 4 couleurs.

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Le graphe N admet 20425 sommets. De Grey l’élague en enlevant les sommets qui ne contraignent pas la coloriabilité pour obtenir finalement sur un graphe G à seulement 1581 sommets.

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Le graphe N admet 20425 sommets. De Grey l’élague en enlevant les sommets qui ne contraignent pas la coloriabilité pour obtenir finalement sur un graphe G à seulement 1581 sommets.

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Ensuite... Pour l’instant, on ne sait pas davantage que: Théorème χ ∈ {5, 6, 7}.

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Ensuite... Pour l’instant, on ne sait pas davantage que: Théorème χ ∈ {5, 6, 7}. Mais on comprend davantage les arguments pour χ > 4.

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Preuve alternative de Geoffrey Exoo et Dan Ismailescu. Supposons disposer d’un coloriage du plan avec quatre couleurs. Ils montrent successivement les résultats suivants. • Il existe deux points de même couleur à distance √ 11 √ 3 .

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Preuve alternative de Geoffrey Exoo et Dan Ismailescu. Supposons disposer d’un coloriage du plan avec quatre couleurs. Ils montrent successivement les résultats suivants. • Il existe deux points de même couleur à distance √ 11 √ 3 . • Il existe un triangle équilatéral de côté √ 3 3 à sommets de même couleur.

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Preuve alternative de Geoffrey Exoo et Dan Ismailescu. Supposons disposer d’un coloriage du plan avec quatre couleurs. Ils montrent successivement les résultats suivants. • Il existe deux points de même couleur à distance √ 11 √ 3 . • Il existe un triangle équilatéral de côté √ 3 3 à sommets de même couleur. • Il existe un graphe à arêtes de longueur 1 qui ne peut être colorié correctement.

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Simplification du graphe de De Grey par Marijn Heule.

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Simplification du graphe de De Grey par Marijn Heule. ▶ Traduction de la non coloriabilité du graphe en une formule logique non satisfiable.

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Simplification du graphe de De Grey par Marijn Heule. ▶ Traduction de la non coloriabilité du graphe en une formule logique non satisfiable. ▶ Simplification de la formule logique (en conservant la non satisfiabilité) avec des outils algorithmiques de logique booléenne: • les SAT solvers qui permettent de savoir si une formule est satisfiable, • les proof checkers qui permettent de réduire les formules non satisfiables, et un recours au calcul intensif, High-performance computing (HPC).

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Le jeu de Sudoku est un exemple de problème qui se ramène à la satisfiabilité d’une formule logique (ou à un coloriage avec les couleurs 1, 2, …, 9 avec contraintes). 2 1 9 4 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6

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Le jeu de Sudoku est un exemple de problème qui se ramène à la satisfiabilité d’une formule logique (ou à un coloriage avec les couleurs 1, 2, …, 9 avec contraintes). Illustrons l’idée de Heule. 2 1 9 4 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6 Grille sans solution

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Le jeu de Sudoku est un exemple de problème qui se ramène à la satisfiabilité d’une formule logique (ou à un coloriage avec les couleurs 1, 2, …, 9 avec contraintes). Illustrons l’idée de Heule. 2 1 9 4 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6 Grille sans solution 2 1 9 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6

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Le jeu de Sudoku est un exemple de problème qui se ramène à la satisfiabilité d’une formule logique (ou à un coloriage avec les couleurs 1, 2, …, 9 avec contraintes). Illustrons l’idée de Heule. 2 1 9 4 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6 Grille sans solution 2 1 9 8 2 3 6 3 6 7 9 3 8 2 8 4 3 7 1 3 9 7 6 Grille sans solution moins remplie

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Et bien d’autres perspectives!

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