‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Chowla-Selberg ͷެࣜ ക࡚௚໵@unaoya September 24, 2018

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Chowla-Selberg ͷެࣜ ∏ a∈Cl(k) ∆(a)∆(a−1) = ( 2π d )12h ∏ a∈(Z/dZ)× Γ ( a d )6wϵ(a) ▶ k = Q( √ −d) ͸ڏೋ࣍ମͰ ok Λͦͷ੔਺؀ ▶ Cl(k) ͸ΠσΞϧྨ܈Ͱ h = |Cl(k)|, w = |o× k | ▶ ϵ ͸ೋ࣍ମ k ʹରԠ͢Δ Dirichlet ࢦඪʢฏํ৒༨ه߸ʣ ▶ ∆ ͸ weight 12 ͷ cusp form

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ղੳతͳূ໌ Chowla-Selberg ʹΑΔ ∏ a∈Cl(k) ∆(a)∆(a−1) = ( 2π d )12h ∏ a∈(Z/dZ)× Γ ( a d )6wϵ(a) ํ਑ ζ′ k ζk Λ;ͨ௨Γͷํ๏Ͱܭࢉɻ 1. Kronecker limit formula Λ࢖͏ͱࠨล͕ग़ͯ͘Δ 2. Lerch ͷެࣜͱ Dirichlet ྨ਺ެࣜΛ࢖͏ͱӈล͕ग़ͯ͘Δ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ୅਺زԿతͳূ໌ Gross ʹΑΔ ∏ a∈Cl(k) ∆(a)∆(a−1) ∼ ( 2π d )12h ∏ a∈(Z/dZ)× Γ ( a d )6wϵ(a) ҧ͍ 1. ΑΓҰൠͷ৔߹ʹ΋ެࣜ 2. ୅਺త਺ഒͷͣΕ͸ಛఆͰ͖ͳ͍ ํ਑ 1. ྆ลΛ͋ΔΞʔϕϧଟ༷ମͷपظͱͯ͠ղऍ 2. ͜ΕΒͷΞʔϕϧଟ༷ମΛ͏·͘࿈ଓతʹมܗ͢Δ 3. มܗͨ࣌͠ʹपظ͕୅਺త਺ഒͷͣΕͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͢

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ∆ discriminant ∆(z) ͸ Ez = C/(Z + zZ) ͷ discriminant Ͱ͋Γɺ͜Ε͸ z ͷؔ਺ͱͯ͠ weight 12 Ͱ level SL(2, Z) ͷอܕܗࣜͰ͋Δɻ Ez : y2 = 4x3 − g2(τ)x − g3(τ) ʹ͍ͨ͠ ∆(τ) = g2(τ)3 − 27g3(τ)2

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ पظ ൺֱఆཧ ඍ෼ܗࣜΛੵ෼͢Δ͜ͱͰίϗϞϩδʔͷಉܕ͕ಘΒΕΔɻ Hi dR (X/k) ⊗ C → Hi (X(C), C) ω → (γ → ∫ γ ω) Hodge ෼ղ H1 dR (X/C) = H0(X, Ω1) ⊕ H1(X, OX ) ପԁۂઢ X = E ͷ৔߹ ωE ͕ H0(E, Ω1) ͷجఈʢਖ਼ଇඍ෼ܗࣜʣ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ପԁۂઢͷੵ ପԁۂઢ n = ϕ(d) ݸͷੵ A=E1 × · · · × En Ͱ k Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ΋ͷΛ࡞Δɻ ▶ ֤ Ei ͕ k Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ΋ͷͱ͢Δ ▶ ͜ΕΒ͸શͯಉछͰ͋Γɺपظ͸୅਺త਺ഒͷͣΕ ▶ E ͕ڏ਺৐๏Λ࣋ͭͱ͖ɺ∆(τ) ͱपظ ω12 E ͷͣΕ͸୅਺త਺ɻ ʢWeil ͷຊʣ A ͷपظͱͯ͠ࠨล͕Ͱͯ͘Δɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Fermat ۂઢ B ؔ਺ B( a d , b d ) = ∫ 1 0 t a d −1(1 − t)b d −1dt = ∫ 1 0 xa−1yb−d dx mod Q× ͜͜Ͱ y = d √ 1 − xd ͱ͢Δɻ͜Ε͸ Fermat ۂઢ F(d) : xd + yd = 1 ͷपظɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Jacobian Jacobian ۂઢ C ʹରͯ͠ఆ·ΔΞʔϕϧଟ༷ମ JC ɻ ▶ H1 ͸ C ͱҰக ▶ dim JC = g(C) C = F(d) : xd + yd = 1 ͷ৔߹ɺJC ͸ n ࣍ݩͷ঎Λ࣋ͭɻ·ͨ µd ͷ࡞༻͔Βڏ਺৐ ๏Λ࣋ͭɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ପԁۂઢͷ଒ ૬ର 1 ܗࣜ τ ∈ H ʹରͯ͠ Eτ = C/(Z ⊗ τZ) ͸ y2 = 4x3 − g2(τ)x − g3(τ) ͱॻ͚ͯ ωτ = dx y = dx √ 4x3 − g2(τ)x − g3(τ) Ϟδϡϥʔۂઢ L = {(τ, x), x ∈ Z ⊕ τZ ⊂ C} ͱ͠ɺπ : h × C/L → h Λ SL2(Z) ͰΘΔɻ ڏ਺৐๏ ڏೋ࣍ମʹରԠ͢Δ఺Λ h ͷ෦෼ू߹ͱࢥ͍ɺSL2(Z) ͕࡞༻ɻ͜ΕʹପԁۂઢΛҾ ͖໭ׂͯ͠Δɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ૬ରతͳঢ়گ π : A → S ΛΞʔϕϧଟ༷ମͷ଒ͱ͢ΔɻHn dR (A/S) ͸ Hn dR (As/s) Λ·ͱΊͨ S ্ͷ ૚ɻRnπ∗C ͸ Hn(As, C) Λ·ͱΊͨ S ্ͷ૚ɺOS ͸ਖ਼ଇؔ਺ͷ૚ɻ ૬ର൛ൺֱఆཧ Hn dR (A/S) → Rnπ∗C ⊗C OS HdR(A/S) ͷ੾அ ω ʹ͍ͭͯɺ֤఺ s ∈ S ͝ͱʹ ωs ͷपظ͕ఆ·Δɻω ͕ఆ਺पظΛ ࣋ͭͱ͸͜ͷपظ͕ҰఆͰ͋Δ͜ͱɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࢤଜଟ༷ମ k = Q( √ −d) ͱ͠ɺok Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ n ࣍ݩΞʔϕϧଟ༷ମΛશ෦ूΊΔɻ ʢภۃ ͱϨϕϧߏ଄΋͚ͭΔʣ ࢤଜଟ༷ମ ීวతͳΞʔϕϧଟ༷ମͷ଒ A → S ͕Ͱ͖ͯɺS ͸୅਺ମ্ͷ୅਺ଟ༷ମʹͳΔ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ େҬ੾அ ڏ਺৐๏Λ࣋ͭ͜ͱΛ࢖ͬͯɺ֤఺Ͱͷपظ͕ Q ഒͷͣΕͰ͋Δ͜ͱΛূ໌Ͱ͖Δɻ ▶ ڏ਺৐๏ʹΑΔ k ͷ Hn dR (A/S) ΁ͷ࡞༻Λ෼ղͯ͠ɺS ্ͷେҬ੾அ ω Λ࡞Δɻ ▶ ҰํͰ Rnπ∗C ʹ΋ τn Ͱ࡞༻͢Δ෦෼ۭ͕ؒଘࡏ͠ɺ͜ΕΒ͸ൺֱಉܕͰରԠ ͢Δɻ ▶ Hn dR (A/S) ʹ͸ Gauss-Manin ઀ଓͱ͍͏୅਺తͳඍ෼ํఔ͕ࣜఆ·͍ͬͯΔɻ͜ ΕΛ༻͍ͯɺ্ͷେҬ੾அ͕୅਺తͰɺ͞Βʹ Q× ্ఆٛ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ ▶ ·ͨ͜ͷେҬ੾அͷ࣍ݩ͸ίϯύΫτԽΛ༻͍ͯܭࢉ͢Δͱ 1 Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ ͔Δɻ

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Hodge ༧૝ Deligne ͷίϝϯτ I began by saying that I had found a new proof of the period implication of the Chowla Selberg formula, using some techniques from algebraic geometry. Deligne immediately asked, in all seriousness, if I had proved the Hodge conjecture. I replied that I would be delighted to hear that I had done so, as I was still looking for a thesis topic (and felt that a proof of the Hodge conjecture would probably be sufficient).

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࢀߟจݙ 1. Andre Weil, ΞΠθϯγϡλΠϯͱΫϩωοΧʔʹΑΔପԁؔ਺࿦ 2. Benedict H. Gross, On the Periods of Abelian Integrals and a Formula of Chowla and Selberg 3. Benedict H. Gross, On the periods of abelian varietiese