モータ設計最適化の概要 2024年3月15日 ＠令和６年電気学会全国大会シンポジウム 清水悠生（立命館大学、株式会社MotorAI）

2/20 ✓ モータ設計最適化の基礎 ✓ モータ設計最適化に特有な問題 目次 ※本発表では、わかりやすさを優先して、 数学的に厳密な定義を省略する場合がございます

3/20 ✓ モータ設計最適化の基礎 ✓ モータ設計最適化に特有な問題 目次

4/20 最適化とは ✓ ある基準に従って最も適切な設計，計画，行動などを求めることを最適化という 例えば… • トルク密度が最大かつ 損失が最小となる磁石配置を探索する • 体積制約下において要求出力を 満足するスロットコンビネーションを 見つける *DALL-E

5/20 単目的最適化と多目的最適化 ( ) ( ) ( )   1 2 min , ,..., n x f x f x f x ( ) min x f x f1 f2 better な方向 ✓ 最大化問題は、目的関数に-1をかけることで最小化問題に変換できる ✓ 目的関数が5以上の多目的最適化は特に多数目的最適化と呼ばれ 最適化アルゴリズムの性能が著しく悪化するため 目的関数の数は2,3程度に留めるのが望ましい 単目的最適化 多目的最適化 単一の目的関数 複数の目的関数 多目的最適化の解分布 パレートフロント (パレート解の集合) *他のどの解よりも少なくとも 1つの目的関数で優れる解の集合

6/20 制約条件 等式制約問題 不等式制約問題 ( ) min . . ( ) 0 x f x s t g x = ( ) min . . ( ) 0 x f x s t g x  目的関数の計算前に設計変数を実行 可能解に修正する修正オペレータを使用 制約条件自体を目的関数のように扱う 手法が代表的 目的関数の計算を必要とする制約条件 （ex. トルク200Nm以上など） 目的関数の計算を必要としない制約条件 （ex. 磁石厚さ5mm以上など） [2] 原田+, 人工知能学会論文誌, 2007 ペナルティ法 パラメータレス制約処理 ペナルティ関数 [3] Deb+, John Wiley & Sons, Inc., 2001 目的関数 制約満足の場合 制約違反の場合 目的関数最大値

7/20 目的関数の数を減らす方法 目的関数の制約化 目的関数の線形和 ✓ 目的関数が複数の場合、目的関数の数を減らすことが可能 ✓ トレードオフ情報の入手のため、目的関数の数を2,3程度とするのが好ましい ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 min ... n n x w f x w f x w f x + + + 目的関数の線形結合により 新たな目的関数を作成 min 0.5 0.3 0.2 avg rip x T T Cost − + + （例） 平均トルク最大化：50% トルクリプルの最小化：30% 材料コストの最小化：20% 1つを除いて目的関数を制約条件として扱う （例） ・平均トルク：最大化 ・磁石減磁率：最小化 ・最大応力：最小化 ・コスト：最小化 ・平均トルク：200Nm以上 ・磁石減磁率：3%以下 ・最大応力：300MPa以下 ・コスト：最小化

8/20 最適化のパラメータはどうすべきか？ ✓ 最適化には様々なパラメータや条件を設定する必要がある • 評価世代数 • 評価個体群のサイズ • 終了条件 • 最適化アルゴリズムの各種パラメータ ✓ これらをどのように設定すべき？最適なパラメータは無いの？ ⇒誰も最適なパラメータなんて知りません（NFL定理） ⇒自分が取り組みたい問題に似た最適化問題の文献や アプリ、ライブラリの初期値・推奨値を参考に、試行錯誤するしかない

9/20 形状最適化とトポロジー最適化 ✓ 最適化の対象による分類では、形状最適化とトポロジー最適化の2種類が存在 トポロジー最適化 形状最適化 [4] Shimizu+, IEEJ J. Ind. Appl., 2021 [5] 佐藤+, 電学論D, 2015 ※本発表では形状最適化と寸法最適化は区別しない ある基準の形状に割り当てられた 設計パラメータを対象とした最適化 寸法だけでなく、電流、速度、材料など、 パラメトリックに表すことができる変数全てに 対象を拡張することも容易 形状の穴の数や配置までを考慮できる最適化手法で 全く新しい形状を生成することが可能 非常に高い設計自由度が課題であり NGnet法と呼ばれる次元削減手法が モータ設計ではよく用いられる

10/20 機械学習の応用 ✓ 機械学習では、与えられたデータセットから何らかの関係性を関数化する ✓ 設計用途の機械学習であれば、例えばモータの形状と運転特性の関係を関数化する 形状 速度 トルク 運転特性 有限要素解析 数値 𝑥 数値 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥) 関数 𝑓 を近似！

11/20 オンライン学習と最適化；ベイズ最適化など オフライン学習と最適化 機械学習を応用した設計最適化 データの生成 特性予測モデルの学習 設計最適化 データの生成 特性予測モデルの学習 追加データの生成 設計最適化 メリット ・最適化計算がFEAに対して短時間で完了 ・一度学習すれば異なる条件で 何度も最適化が試行可能 デメリット ・予測精度はデータ範囲外では著しく低下 最適化結果がデータに依存 ⇒データバイアス メリット ・最適化計算中にモデルを追加学習するため モデルの適用範囲を効率的に拡大 データバイアスの問題の解決が期待 デメリット ・計算負荷とシステム設計が複雑に

12/20 モータ設計最適化によく用いられる最適化アルゴリズム ✓ モータ分野でよく用いられる最適化アルゴリズムを示す アルゴリズム 特徴 遺伝的アルゴリズム （GA: Genetic Algorithm） 生物の進化過程を模した近似最適化アルゴリズム。 連続問題を扱う実数値遺伝的アルゴリズムが モータでは良く用いられる。 差分進化法（DE: Differential Evolution） 集団内の個体間の差分に基づいて進化を行う 最適化アルゴリズム。単目的最適化によく用いられる。 粒子群最適化 （PSO: Particle Swarm Optimization） 主に単目的最適化に用いる生物の群行動を模した アルゴリズム。多目的最適化に拡張した様々な派生形が存在。 CMA-ES（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy） 多変量正規分布を仮定して個体を生成するアルゴリズム。 主に単目的最適化に用いられ、収束性に優れる。 MOEA/D（Multiobjective Evolutionary Algorithm Decomposition） 多目的問題を複数の単目的最適化問題に分解して扱う アルゴリズム。計算量が少ない。 NSGA-II（Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm） 高速非優劣ソートによるランキング法に基づく 多目的遺伝的アルゴリズム。 多目的最適化で最もよく用いられるアルゴリズムの一つ。 *勾配法などの微分可能性を前提とするアルゴリズムは未記載

13/20 ✓ モータ設計最適化の基礎 ✓ モータ設計最適化に特有な問題 目次

14/20 モータ設計最適化に特有な問題 ✓ 最適化アルゴリズムは数理最適化の分野で発展してきたが モータ設計最適化にはモータ分野特有の問題を考慮する必要がある • 寸法などの設計変数が多数存在し 要求特性に基づく目的関数や制約条件も幅広い • 有限要素解析を使用する場合，評価値計算に長時間を要する • 有限要素解析やサロゲートモデル（機械学習など）を用いた評価値計算では 数値誤差が生じることがある • 要求仕様の突然の変更や，意思決定者の交代などにより， 経時的に「最適な設計」の定義が変化することがある ✓ 本特徴に基づいて、モータ設計最適化で注意すべき3つの点について説明 モータ分野特有の問題

15/20 ①大規模な問題設定は避けるべき ✓ モータ設計には多数の設計変数や運転特性が存在 ✓ 変数が増加すると、探索空間は指数関数的に増加、最適化の収束が困難に 磁性材料 （磁石、鋼板） 効率特性 応力分布 温度変化 速度ートルク特性 駆動回路 ロータ 極数、直径、積厚、各寸法 形状；V,∇,2D,… トポロジー 種類；IPM,SPM,… ステータ 極数、スロット数、 直径、巻き方、 形状、トポロジー 電流・速度・電圧 , , , d q lim DC i i N V     Ψa Lq Ld モータパラメータ 不可逆減磁 （磁束密度分布） コギング、リプル 絶縁、組付け性、 生産技術

16/20 感度解析を用いた設計変数の決定 段階的な最適化対象と範囲の修正 ①大規模な問題設定は避けるべき ✓ 大規模な設計最適化を一度に行うより、小規模な設計最適化を段階的に行うべき H. Sasaki+, IEEE Magn., 2021 トルクに関してトポロジー最適化 高トルク化に重要なエリアを除いて トルクリプル最小化（Grad-CAMを使用） X. Sun+, IEEE Ind. Electron., 2021 ①重要なステータ変数 ②重要なロータ変数 ③その他、に変数を分類 ①で最適化，②③は固定 ②で最適化，①③は固定 ③で最適化，①②は固定 設計変数を振って 感度を計算

17/20 ②得られた最適解は必ず検証すべき ✓ ロータの一部分にトポロジー最適化を施した例 平均トルク：139.8Nm トルクリプル：18.3Nm 平均トルク：202.3Nm トルクリプル：22.4Nm NGnetの設定 メッシュ トルク最大化& リプル最小化 のトポロジー最適化 空隙を追加しただけで 平均トルクが45%増加？ 正しいか？ メッシュの品質が悪く 解析結果の信頼性が低い

18/20 ②得られた最適解は必ず検証すべき ✓ 実機に対するFEAモデル、FEAモデルに対する機械学習モデル、など モデル化を行うと必ず評価計算誤差が発生 特性 真の 特性曲線 真の最適解 評価結果1 評価結果2 回帰誤差 モデリング誤差 形状 • 回帰誤差： 縦軸の誤差。最適解への収束自体には影響 しないが、制約条件へ影響 ⇒制約条件には許容誤差を追加しておくべき • モデリング誤差： 横軸の誤差。最適化の結果が真の最適解とかけ 離れる危険性がある ⇒モデリング精度に注意すべき ✓ 特に多目的最適化を行うと 評価計算誤差が大きい解に収束しやすい ⇒最適化の解はより信頼性の高い別手法で必ず検証する必要がある （FEAでの最適化結果を、メッシュ条件や形状を整理して再解析、など）

19/20 ③最適化は何度も行うべき ✓ 説明した様々な課題により、最適化は必ずしも最適解に辿り着くとは限らない ✓ 「最適な設計」自体も、プロジェクトの状況によって逐次変化する ⇒設計最適化は一度で終わるものではなく、条件設定を変えて何度も行うべき ✓ 機械学習を活用すると、評価計算時間の短縮・過去の最適化結果の利用が可能 ✓ 最適化を何度も行うべきということを念頭に置くと 今後データ駆動型のモータ設計最適化が 一つの重要な手法としての地位を確立すると予想

20/20 まとめ ✓ モータ設計最適化における基礎と、特有の問題について説明 ✓ 特に、以下の方針を提示 ① 大規模な問題設定は避けるべき ② 得られた最適解は必ず検証すべき ③ 最適化は何度も行うべき ✓ 今後のモータ分野では、特にデータ駆動型の設計最適化が更に普及すると期待