Quand une coïncidence est-elle le fruit du hasard? Estiennales 2022, 14e édition Roger Mansuy

Introduction Coïncidence: Simultanéité fortuite (de deux ou plusieurs événements ou circonstances). Une simple, curieuse, frappante, remarquable, singulière coïncidence; c’est pure coïncidence; quelle coïncidence! Par une heureuse coïncidence. Synon. hasard, rencontre, concours de circonstances Source: Trésor de la langue française informatisé

18 août 1913 Casino de Monte Carlo

19 juin 2012, 8:32 p.m. Rio hotel and Casino, Las Vegas (photo par Jeff Romano)

1er octobre 2022, 9:05 p.m. tirage du Grand Lotto de Philippine Charity Sweepstakes Office

3 décembre 2022, 9:05 p.m. tirage du Grand Lotto de Philippine Charity Sweepstakes Office

9 novembre 1999 Chester Crown Court

1904-1906 Cour de cassation

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Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard?

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard? [...] Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calculs des probabilités ont cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques.

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Si l’on met en évidence certaines coïncidences, et qu’on montre qu’il y avait a priori peu de chances pour qu’elles se produisent, avons-nous le droit de conclure qu’elles ne peuvent être l’effet du hasard? [...] Nous en avons assez dit pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solide. C’est ce que les fondateurs du calculs des probabilités ont cherché pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques. Ils ont distingué la probabilité des causes et la probabilité des effets.

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Pour pouvoir calculer, d’après un événement constaté, la probabilité d’une cause, il nous faut plusieurs données: 1. Il faut savoir qu’elle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause. 2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la probabilité de l’événement constaté.

Un peu de théorie

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P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 )

P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1

P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2

P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1

P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1 • P(E|C2 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2

P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 ) • P(C1 ): probabilité de la cause numéro 1 • P(C2 ): probabilité de la cause numéro 2 • P(E|C1 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 1 • P(E|C2 ): probabilité de l’effet sachant pour la cause numéro 2 • P(C1 |E): probabilité de la cause numéro 1 sachant l’effet

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Pour pouvoir calculer, d’après un événement constaté, la probabilité d’une cause P(C1 |E), il nous faut plusieurs données: 1. Il faut savoir qu’elle était a priori, avant l’événement, la probabilité de cette cause. P(C1 ) et P(C2 ) 2. Il faut savoir ensuite quelle serait, pour chacune des causes possibles, la probabilité de l’événement constaté. P(E|C1 ) et P(E|C2 ) P(C1 |E) = P(E|C1 )P(C1 ) P(E|C1 )P(C1 ) + P(E|C2 )P(C2 )

Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade?

Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade? • Cause C1: je suis malade • Cause C2: je ne suis pas malade • Effet E: le test est positif

Je viens de faire un test médical et je reçois un résultat positif; suis-je malade? • Cause C1: je suis malade • Cause C2: je ne suis pas malade • Effet E: le test est positif • P(C1 ): probabilité d’être malade • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain • P(C1 |E): probabilité d’être malade sachant que le test est positif

• P(C1 ): probabilité d’être malade • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 001 0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999

• P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 001 • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 999 • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 001 0, 99 × 0, 001 + 0, 002 × 0, 999 ≃ 0, 331

Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade?

Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade • P(C2 ): probabilité d’être sain • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002

Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 331 0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669

Après ce premier test positif, je fais un nouveau test médical et je reçois encore un résultat positif; suis-je malade? • P(C1 ): probabilité d’être malade ⇝ 0, 331 NEW!!! • P(C2 ): probabilité d’être sain ⇝ 0, 669 NEW!!! • P(E|C1 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est malade ⇝ 0, 99 • P(E|C2 ): probabilité que le test soit positif sachant que l’on est sain ⇝ 0, 002 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est P(C1 |E) = 0, 99 × 0, 331 0, 99 × 0, 331 + 0, 002 × 0, 669 ≃ 0, 987

Expérience Faisons une expérience aléatoire: jouons à Pile ou Face!

Expérience Faisons une expérience aléatoire: jouons à Pile ou Face!

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 0, P(E|C2 ) = 1 2 .

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Face en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 0, P(E|C2 ) = 1 2 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 0 × 1 2 0 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 0.

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 2 .

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient Pile en un lancer Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 2 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 1 × 1 2 1 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 2 3 ≃ 0, 67.

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient 7 Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée?

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient 7 Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 27 .

• Cause C1: la pièce est truquée avec deux côtés Pile • Cause C2: la pièce est ordinaire • Effet E: on obtient 7 Piles en sept lancers de suite Sachant que l’on observe E, quelle est la probabilité que l’on joue avec la pièce truquée? P(C1 ) = 1 2 , P(C2 ) = 1 2 , P(E|C1 ) = 1, P(E|C2 ) = 1 27 . La probabilité d’avoir joué avec la pièce truquée sachant ce résultat est P(C1 |E) = 1 × 1 2 1 × 1 2 + 1 27 × 1 2 = 128 129 ≃ 0, 992.

Nombre de Piles 1 2 3 4 5 6 7 · · · P(C1 |E) 0,67 0,80 0,89 0,94 0,97 0,98 0,99 · · ·

Retour sur l’affaire Sally Clark Selon le pédiatre Roy Meadows (entendu au procès), la probabilité de deux morts naturelles de nourrisson au sein d’un même foyer est 1 73000000 . Cette probabilité est tellement faiblement qu’elle incite intuitivement à rejeter l’hypothèse d’une mère innocente (sophisme du procureur).

Royal Statistical Society, 23 Octobre 2001 In the recent highly-publicised case of R v. Sally Clark, a medical expert witness drew on published studies to obtain a figure for the frequency of sudden infant death syndrome (SIDS, or ”cot death”) in families having some of the characteristics of the defendant’s family. He went on to square this figure to obtain a value of 1 in 73 million for the frequency of two cases of SIDS in such a family. This approach is, in general, statistically invalid. It would only be valid if SIDS cases arose independently within families, an assumption that would need to be justified empirically. Not only was no such empirical justification provided in the case, but there are very strong a priori reasons for supposing that the assumption will be false. There may well be unknown genetic or environmental factors that predispose families to SIDS, so that a second case within the family becomes much more likely. The well-publicised figure of 1 in 73 million thus has no statistical basis.

Examinons la question de la culpabilité avec la formule de Bayes. • Cause C1: Sally Clarke est meurtrière • Cause C2: Sally Clarke est innocente • Effet E: les deux enfants meurent en bas âge

Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789 Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie.

Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789 Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie. P(C1 ) = 1 2000000000 , Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et d’applications en matière de preuves médico-légales

Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1789 Art. 9. Tout homme étant présumé innocent jusqu’à ce qu’il ait été déclaré coupable Code de procédure pénale Articles préliminaires. III.-Toute personne suspectée ou poursuivie est présumée innocente tant que sa culpabilité n’a pas été établie. P(C1 ) = 1 2000000000 , P(C2 ) = 1 − 1 2000000000 Estimation par Pr. Alicia L. Carriquiry, directrice du centre de statistiques et d’applications en matière de preuves médico-légales

Par définition, P(E|C1 ) = 1.

Par définition, P(E|C1 ) = 1. D’après Roy Meadows, P(E|C2 ) = 1 73000000 .

Par définition, P(E|C1 ) = 1. D’après Roy Meadows, P(E|C2 ) = 1 73000000 . P(C1 |E) = 1 × 1 2000000000 1 × 1 2000000000 + 1 73000000 × 1999999999 2000000000

Par définition, P(E|C1 ) = 1. D’après Roy Meadows, P(E|C2 ) = 1 73000000 . P(C1 |E) = 1 × 1 2000000000 1 × 1 2000000000 + 1 73000000 × 1999999999 2000000000 ≃ 0, 035

En admettant la valeur (erronée) proposée par Roy Meadows, quelle serait la valeur de P(C1 ) pour que la probabilité donnée par la formule de Bayes soit 1 2 ?

En admettant la valeur (erronée) proposée par Roy Meadows, quelle serait la valeur de P(C1 ) pour que la probabilité donnée par la formule de Bayes soit 1 2 ? Après calculs, on obtient P(C1 ) = 1, 3 × 10−8.

En admettant la valeur (erronée) proposée par Roy Meadows, quelle serait la valeur de P(C1 ) pour que la probabilité donnée par la formule de Bayes soit 1 2 ? Après calculs, on obtient P(C1 ) = 1, 3 × 10−8. Dans cette formule, pour obtenir une forte probabilité de culpabilité, il faut que la probabilité P(E|C2 ) > > P(C1 ).

Conclusion

Conclusion • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des probabilités de causes sachant un effet observé.

Conclusion • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des probabilités de causes sachant un effet observé. • Il faut estimer les probabilités a priori (sans tenir compte de l’effet).

Conclusion • La formule de Bayes permet dans une certaine modélisation de calculer des probabilités de causes sachant un effet observé. • Il faut estimer les probabilités a priori (sans tenir compte de l’effet). • Il faut estimer les probabilités que chaque cause entraîne l’effet.

Rapport de MM. les experts Appel-Darboux-Poincaré Le calcul des probabilités n’est pas, comme on paraît le croire, une science merveilleuse qui dispense le savant d’avoir du bon sens.