Tweet
Tweet

Slide 1

Slide 1 text

GROUP, LIE GROUP, AND E8 數學小聚 #0 / TW BIOART Created by / pm5 @pm5

Slide 2

Slide 2 text

參考資料 , . 2011. Albert W. Stetz Lie Groups in Modern Physics

Slide 3

Slide 3 text

數學小聚 https://www.facebook.com/groups/twm9s/

Slide 4

Slide 4 text

群 GROUP https://zh.wikipedia.org/wiki/File:The_Swarm_novel_cover.jpg

Slide 5

Slide 5 text

數學上的講法 一個集合 G ，加一個運算 * ，而且 1. a , b in G , then a * b in G . 2. a * ( b * c ) = ( a * b ) * c for all a , b , c in G . 3. There is e in G such that a * e = e * a = a for all a in G . 4. For all a in G there is a - 1 in G such that a * a - 1 = a - 1 * a = e .

Slide 6

Slide 6 text

數學上的例子 整數 Z ，與加法 + 有理數不含零 Q × ，與乘法 × e （( Z , + ) 的 0、( Q × , × ) 的 1）稱作單位元素。

Slide 7

Slide 7 text

可以想成是 ↑↑↓ ↓ ←→ ←→ a b b a https://en.wikipedia.org/wiki/File:Famicom-Console-Set.png

Slide 8

Slide 8 text

可以想成是 旋轉 https://github.com/vim-scripts/TeTrIs.vim

Slide 9

Slide 9 text

可以想成是 多維度的旋轉 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rubik's_cube.svg

Slide 10

Slide 10 text

以上兩個旋轉都是有限的 任天堂的例子，還有整數與有理數不含零的例子， 是可數無限。

Slide 11

Slide 11 text

不可數無限的群

Slide 12

Slide 12 text

數學上的例子 實數 R ，與加法 + 行列式不為零的矩陣 M n ( R ) ，與矩陣乘法

Slide 13

Slide 13 text

旋轉 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_Sphere.gif

Slide 14

Slide 14 text

實數 那有沒有辦法抓起來微分？

Slide 15

Slide 15 text

函數 f ( x ) = y

Slide 16

Slide 16 text

參數化 f ( α) = α

Slide 17

Slide 17 text

掌握不可數無限群的方法 用可微分函數，把它參數化。

Slide 18

Slide 18 text

何必自找麻煩？

Slide 19

Slide 19 text

方向、變化率 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_Sphere.gif

Slide 20

Slide 20 text

最簡單的 LIE GROUP 實數 R ，與加法 + 用 f ( α) = α 參數化 one-parameter Lie group

Slide 21

Slide 21 text

李群 LIE GROUP

Slide 22

Slide 22 text

數學上的講法 一個流形（manifold）G ，同時是個群 ( G , * ) ，而且 1. f ( X , Y ) = X * Y 函數可微分 2. g ( X ) = X - 1 函數可微分

Slide 23

Slide 23 text

流行形？

Slide 24

Slide 24 text

回想一下參數化的例子

Slide 25

Slide 25 text

旋轉 就是用旋轉角度來表示啊，不然要幹嘛？

Slide 26

Slide 26 text

旋轉

Slide 27

Slide 27 text

參數化 所以我們只能顧好自己鄰近，不能跑太遠。

Slide 28

Slide 28 text

投影 每個鄰近可以用一套投影（projection）覆蓋。每套投影 把一個鄰近參數化。 我們需要一組投影，才能覆蓋整個形狀。 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mercator_projection_SW.jpg

Slide 29

Slide 29 text

流行形？ 基本上就是可以用一組投影覆蓋的形狀。 局部而言，與 n 維實數空間 R n 「一樣」。 「一樣」的意思是，有反函數而且正反函數都可微分。

Slide 30

Slide 30 text

李群 基本上是一個「形狀」，同時又是個群。 圓圈（1 維球）S 1 是李群 圓球（2 維球）S 2 不是李群 @%$&)@?（3 維球）S 3 是李群（因為 ） 旋轉（ ）是李群 四元數 S O ( n )

Slide 31

Slide 31 text

李代數 LIE ALGEBRA

Slide 32

Slide 32 text

實數 N 維李代數 REAL LIE ALGEBRA OF DIMENSION N 一個 n 實數向量空間 L （想成 R n ）， 一個「交換子」（commutator） [ X , Y ] ，而且 1. [ X , Y ] in L for all X , Y in L . 2. [ a X + b Y , Z ] = a [ X , Z ] + b [ Y , Z ] for all X , Y , Z in L . 3. [ X , Y ] = - [ Y , X ] for all X , Y in L . 4. [ X , [ Y , Z ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] = 0 for all X , Y , Z in L .

Slide 33

Slide 33 text

李群和李代數的關係 為李群選擇一組參數化，透過李群在 e 附近的行為 （偏導數）可以計算出它的李代數。 從一個李代數出發，「基本上」可以重建出原本的李群。

Slide 34

Slide 34 text

E 附近的行為 可以想成「原點附近的行為」可以決定整個群的行為。 因為群的結構可以把原點附近的行為 「複製」到所有局部。

Slide 35

Slide 35 text

對李代數的研究 大概是這樣： 1. 計算出來的李代數，基本上是一個偏導函數構成的矩陣 （回想一下微積分計算 Jacobian 的時候） 2. 可以把所有李代數化約成一組不可約的李代數的「某種 乘積」（可以想成整數可以因式分解） 3. 不可約的李代數，可以計算出它們的矩陣特徵值 （eigenvalue） 4. 這些特徵值可以決定李代數的分類。這些值就是根系 root system

Slide 36

Slide 36 text

根系 ROOT SYSTEM http://www.wikiwand.com/en/Root_system