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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第4部・「その先の解析学」への導入 ／ 第15回 測度論ダイジェスト(2) ルベーグ積分

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依然， 積分に対する疑問🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q a

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 のところで幅0の直線を抜いても 積分の値は変わらない a 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 p q

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問（再び） 5 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問（再び） 5 この疑問に答えるために， と の間にある有理数全体が占める幅を考える p q 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問（再び） 5 この疑問に答えるために， と の間にある有理数全体が占める幅を考える p q 可算無限個ある 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 6 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 6 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 6 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度） 有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 6 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度） 有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの 「区間の長さの合計」の下限

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … を任意の正の数とすると ε

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … を任意の正の数とすると ε

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 を任意の正の数とすると ε

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 を任意の正の数とすると ε

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 を任意の正の数とすると ε

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε … その下限は0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅（再び） 7 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε … その下限は0 有理数全体のルベーグ測度は0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 8 この疑問はまだ解決していない。そもそも， 「有理数の位置にある可算無限個の直線を 抜いた」積分は，どうやって求めるのか？ p q ジョルダン測度にもとづく積分では，可算無限個の分割はできない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区分求積法で積分を求める（再び） 9 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて，

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区分求積法で積分を求める（再び） 9 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区分求積法で積分を求める（再び） 9 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 「極限」とは，無限ではなく有限

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度（再び） 10 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度（再び） 10 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度（再び） 10 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という ２次元の場合これを面積という

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度（再び） 10 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という ２次元の場合これを面積という ジョルダン測度が定まる図形（集合）をジョルダン可測という

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな関数の積分は 11 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな関数の積分は 11 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも，

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） x 0 1 x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） ジョルダン内測度 （内部の上限） x 0 1 x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） ジョルダン内測度 （内部の上限） x 0 1 x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x 一致しないので，ジョルダン可測でなく，リーマン積分はできない x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） ジョルダン内測度 （内部の上限） x 0 1 x 0 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 12 軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する x 一致しないので，ジョルダン可測でなく，リーマン積分はできない x 0 1 どんな区切りでも， ジョルダン外測度 （外部の下限） ジョルダン内測度 （内部の上限） ルベーグ測度にもとづくルベーグ積分を考える x 0 1 x 0 1

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ルベーグ積分🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 何がいけなかったのか 14 f(x) x p q f(x) x p q 区分求積をするときに，

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 何がいけなかったのか 14 軸上を無理に分割しようとするから， 有限個に分割できないとき困る x f(x) x p q f(x) x p q 区分求積をするときに，

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 何がいけなかったのか 14 軸上を無理に分割しようとするから， 有限個に分割できないとき困る x f(x) x p q f(x) x p q 区分求積をするときに， 軸上のほうを分割し， y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 何がいけなかったのか 14 軸上を無理に分割しようとするから， 有限個に分割できないとき困る x f(x) x p q f(x) x p q 区分求積をするときに， 軸のほうは，それに対応して分割されるようにすればいい x 軸上のほうを分割し， y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし これを各 について合計したものの，分割を細かくしたときの極限 yi 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×（ のルベーグ測度）を求める yi Ai がたとえ可算無限個に分れていても， ルベーグ可測なら完全加法性があるから合計できる Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし これを各 について合計したものの，分割を細かくしたときの極限 yi 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 α1 α2 α3

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 α1 α2 α3

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 　 A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 　 　 が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 　 A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 　 　 × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 　 A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 　 　 × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 　 A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 　 　 × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 ［単関数］： こういう階段状の関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) 　 　 　 A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 　 　 × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1，他は0 ［特性関数］ x Ai

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには， どのように 軸を分割しても，図の が可測でなければならない y Ai y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには， どのように 軸を分割しても，図の が可測でなければならない y Ai y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 任意の について が可測 a, b {x|a ≦ f(x) < b}

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数 17 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには， どのように 軸を分割しても，図の が可測でなければならない y Ai y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 任意の について が可測 a, b {x|a ≦ f(x) < b} ［可測関数］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 18 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 18 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) 可測関数のルベーグ積分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 18 単関数で近似 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) 可測関数のルベーグ積分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 18 単関数で近似 一番よい近似のとき 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) 可測関数のルベーグ積分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n 軸をこのように分割し，単関数で近似 y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n 軸をこのように分割し，単関数で近似 y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n 軸をこのように分割し，単関数で近似 y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n 軸をこのように分割し，単関数で近似 y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞ 単関数が に 各点収束する f(x)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか？ sup k/2n 軸をこのように分割し，単関数で近似 y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞ 単関数が に 各点収束する f(x) （もうすこし詳しくは テキストで）

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積分に対する疑問の答💡💡

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 有理数のルベーグ測度は0 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディリクレ関数の積分 21 有理数のルベーグ測度は0 h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数　 ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x つまり， をどんな積分区間で積分しても0 h(x)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここまでのまとめ 22 ルベーグ積分 　 軸を細かく分割するのではなく， 　 軸を分割して，それにしたがって 軸が分割される x y x 軸でなくても 　ルベーグ可測な集合に対する可測関数ならOK 　例：事象の集合と確率 x 分割された 軸の区間の長さはルベーグ測度で測るから， 区間が可算無限個あってもよい x

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確率と可測集合🎲🎲

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める 12

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める 12 針と０時の位置との間が，ある角度になる確率？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める 12 針と０時の位置との間が，ある角度になる確率？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 この角度は標本空間だが，「0°〜360°の実数の集合」 なので，要素が可算でない すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める 12 針と０時の位置との間が，ある角度になる確率？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本空間 24 この角度は標本空間だが，「0°〜360°の実数の集合」 なので，要素が可算でない すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で，いずれも 「同様に確からしい」と考えて，それぞれに確率1/6を割り当てている （ラプラスの定義） ［標本空間］ さいころ🎲🎲の各目が出る確率は，いずれも1/6？ 連続的に動く時計の針を，目を閉じて止める 12 針と０時の位置との間が，ある角度になる確率？ 確率を割り当てることはできない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ ［σ-集合体］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ 標本空間全体（［全事象］）には確率を割り当てる ［σ-集合体］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ 標本空間全体（［全事象］）には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の補集合 （［余事象］）には確率を割り当てる ［σ-集合体］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 事象 25 - 「1または2の目」（が出る） - 「1時から3時の間の角度」（に止まる） ［事象］ 標本空間の要素ではなく，標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は， これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき，次の集合族（部分集合の集合） に限る Ω ℱ 標本空間全体（［全事象］）には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の補集合 （［余事象］）には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の和集合 （［和事象］）には確率を割り当てる ［σ-集合体］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1（「何でもよいから何かがおきる」確率は1）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1（「何でもよいから何かがおきる」確率は1）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1（「何でもよいから何かがおきる」確率は1） （つまり「完全加法性」）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度 26 標本空間 と，σ-集合体 の組 を［可測空間］という Ω ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 （［確率測度］）を， 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について，P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1（「何でもよいから何かがおきる」確率は1） （つまり「完全加法性」） 標本空間 と，σ-集合体 ，確率測度 の組 を［確率空間］という Ω ℱ P (Ω, ℱ, P)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T}

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω}

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら，p = 1 2 ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら，p = 1 2 一方， ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら，p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方， ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら，p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方， としても， は確率空間に なっている (Ω, ℱ, P) ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH，裏が出るという事象をT 標本空間 Ω = {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して，確率測度 を P と割り当てると， は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら，p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方， としても， は確率空間に なっている (Ω, ℱ, P) （この続きは「解析応用」テキストで） ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)

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問題について🌀🌀

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 ここは0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 条件1より だから P( ⋅ ) ≧ 0 P(∅) = 0 ここは0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の(1) 29 確率空間 について，集合 のとき， を証明せよ (Ω, ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … （問題(2)〜（５）についてはテキストの解答例で） Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合（和事象）に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 条件1より だから P( ⋅ ) ≧ 0 P(∅) = 0 ここは0