統計学入門講座 第7回　母分散, 母比率の検定 てくますプロジェクト 

てくますプロジェクトについて ● てくますプロジェクトは, 「考える楽しさを探そう！」が合言葉の, 数学と情報科学の学習コミュニティです. ● 数学や情報科学は, 誰にとっても役立ち, 趣味としても楽しめるものです. その魅力を伝えるために, 私たちは活動しています. ● 輪読会や講座の実施, 記事などのコンテンツ制作を行っています. ● X などで宣伝いただけると大変嬉しいです. （#てくますプロジェクト） ● 講師はゆっきん（桑原）が担当します. ○ 数学教師→システムエンジニア→プログラミング講師 ○ 数学, プログラミング, ボードゲームが好きです. ○ てくますプロジェクトやボードゲームコミュニティの運営を 行っています. 

本講座について ● 本講座は統計学を初めて学ぶ方や, 学び直したい方を対象としています. 本講座の前半は高校数学レベル, 後半は大学教養レベルです. 統計検定２級を目指す方にも適した内容です. ● 本講座は各回, 前半で知識のインプット, 後半で問題演習を行います. ● 高校や大学以外で数学を学ぶことのできる貴重な場です. 数学を学びたい人たちが集まっていますので, ぜひ交流してください！ ● 本講座作成にあたり, 特に参考にした本を 右に挙げておきます. ２冊ともオススメです. ● 後ろから顔が映らないように写真を撮ることがあります. ご了承ください. 

スケジュール 第１回 データの整理 2024/10/07 第４回 確率分布 2024/12/02 第３回 確率の基本 2024/11/18 第２回 データの散らばり 2024/10/28 第５回 検定の枠組み 2024/12/16 第８回 2標本t検定 2025/02/10 第６回 母平均の検定 2025/01/06 第７回 母分散, 母比率の検定 2025/01/27 本講座は全８回です. 各回の内容は以下の通りです. 

目次 1. 母比率の検定 母比率を検定する方法を学びます. ベースはこれまでに学んできた検定と同様です. 2. 母分散の検定 　 分布を導入し, 母分散を検定する方法を学びます. 

母比率の検定 

投票に行く予定の人数　 は二項分布に従います.（平均値は　 , 分散は ） 試行回数　が大きい場合には, 二項分布は正規分布で近似できます. よって, 標本比率 の分布は ● 平均値： ● 分散： の正規分布として考えることができます. ある地域の住民1000人を対象に投票の意向を調査しました. その結果, 600人が「次回の選挙で投票に行く予定がある」と回答しました. 母比率　 の95%信頼区間を求めなさい. 母比率の区間推定 今回の問題の場合 ● 試行回数 ● 母比率 　 ←調べたい ● 標本比率 

　 を標準化します. ある地域の住民1000人を対象に投票の意向を調査しました. その結果, 600人が「次回の選挙で投票に行く予定がある」と回答しました. 母比率　 の95%信頼区間を求めなさい. 母比率の区間推定 試行回数　が大きい場合には, 分母の　を　 にしても問題ないことが知られています. よって, ゆえに, 母比率　 の95%信頼区間は　　　　　　　　　　 となります. 今回の問題の場合 ● 試行回数 ● 母比率 　 ←調べたい ● 標本比率 

ある地域の住民1000人を対象に投票の意向を調査しました. その結果, 600人が「次回の選挙で投票に行く予定がある」と回答しました. 母比率　 が0.5であるか検定しましょう.　有意水準は 5%（両側検定）とします. 母比率の検定 0.5 は母比率　 の95%信頼区間　　　　　　　　　　 に入っていません. よって, 母比率　 が0.5である仮説は棄却されます. ※母比率の検定は, 第1回でガイダンスとして行った「表が出やすいコインか」の検定（二項検定）と 　似ていますね. 二項分布を使って検定するか, 正規分布近似で検定するかの違いです. 　標本サイズが大きい今回のような場合は, 正規分布を使った方が簡単に計算できます. 

母分散の検定 

　 分布とは 標準正規分布（平均値0, 標準偏差1の正規分布）からデータをn個観測したとします. これらのデータをそれぞれ2乗して足し合わせた値　 は, 自由度 n の　 分布 に従います. この　 分布を用いて, 母分散の検定を行います. 自由度 　 分布は正規分布や t 分布と異なり, 左右非対称です. 左側と右側に2.5％ずつ棄却域を設ける場合は, 0.975と0.025の列の値を使いましょう. 

ある生物学の実験で, 5匹の実験動物の体重を無作為に収集した. 得られたデータは以下の通りです. 55, 62, 59, 60, 64 母平均　 は未知とし, 母集団は正規分布に従うと仮定します. 母分散　 の95%信頼区間を求めましょう. 母分散の区間推定 はいずれも標準正規分布上のデータと考えられます. よって,　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 は自由度 5 の　 分布に従います. しかし, 母平均　 が未知であることから, この方法では, 母分散　　の信頼区間を求めることができません. そのため, 母平均　 を標本平均　 で代用することを考えます. は自由度 5 - 1 = 4 の　　分布に従います！ 

ある生物学の実験で, 5匹の実験動物の体重を無作為に収集した. 得られたデータは以下の通りです. 55, 62, 59, 60, 64 母平均　 は未知とし, 母集団は正規分布に従うと仮定します. 母分散　 の95%信頼区間を求めましょう. 母分散の区間推定 が自由度 4 の　 分布に従うので, ゆえに, 母分散　 の95%信頼区間は　　　　　　　　　　 となります. 

ある生物学の実験で, 5匹の実験動物の体重を無作為に収集したところ, 標本分散は 11.5 でした. 母平均　 は未知とし, 母集団は正規分布に従うと仮定します. 母分散　 の95%信頼区間を求めましょう. 母分散の区間推定 なお, 個々のデータの値が分かっていなくても, 標本分散が分かっていれば, 母分散は推定できます. の式は, 分母の　 を　　　に書き換えると, 標本分散　 を求める式になります. つまり, 一般的に以下の式が成り立ちます. 整理をして, この式を使うことで,　　　　　　　　　　　 となります.　以降は先ほどと同様です. 

まとめ ● 母比率の区間推定：　　　　　 が標準正規分布に従うことを利用しましょう. ● 母分散の区間推定 ○ 母平均が既知の場合 　　　　　　　　　　　　　　　　　が自由度 n の　 分布に従うことを利用しましょう ○ 母平均が未知の場合 　　　　　　　　　　　　　　　　　が自由度 n-1 の 　 分布 に従うことを利用しましょう. 

演習問題を解こう！