そろそろ「多項ロジットかネストロジ ットか」という話を更新しよう 多項ロジットからプロビット, そして最近 (?) の 動向へ Katagiri, Satoshi (ill-identified) 2021-03-06 (Tokyo.R #90) 1

初めに

自己紹介 • しがないサラリーマン • ブログで主語の大きい話するのが好き •『「全数調査なら何でもわかる」という誤解』 •『計量経済学と機械学習の関係』 •『おまえは万物を RSTUDIO で書ける』 • 最近は 3 つくらい書き溜めているが完成しない 2

宣伝 (1): R Markdown Cookbook 翻訳中 • CC-BY-NC-SA なので当然無料公開予定 • 現在 9 章を翻訳中 (全 17 章 + Appendix) • PDF のみ翻訳中のものを随時更新 • HTML 版をコンパイルすることも可 3

宣伝 (2): このスライドは rmdja パッケージで作成 されました • https://github.com/Gedevan-Aleksizde/rmdja •「R Markdown ソースから HTML も PDF も簡単に作 る」 「日本語表示にも対応」を目標に • ドキュメント • R Markdown 全般の解説も兼ねている • 今は Cookbook 翻訳のため開発停滞中 • 追加予定の機能は作業用ブランチにメモ 4

お買い得物件の話はどうなったの • 進捗が中途半端 • みなさんがお買い得物件を見つけるのにあまり役に 立たない • R と関係ない話が多い • 近いうちにブログのほうになにか書く 5

今回話すこと • 離散選択モデルの解説 • 混合ロジット, 多項プロビットと主要アルゴリズムの 性能比較 • そこまで目新しい内容ではない • 最新の手法が 2010 年提案 • 各手法のサーベイが 2017 年 • しかし日本語で言及してる教科書は少ない • 比較するのは R パッケージの範疇 • 自分で書くには時間がなかった 6

補足: 前回の LT との関係 • mns_econ さんの『需要関数推定入門』 • 多項ロジットとネストロジットの話で終わった • 今回の位置づけは「より発展したロジットモデル」 • 本人の名誉のため補足: • 彼が知らないことは無いはず • 引用している Nevo の論文 [15] にも書かれている • 5 分で全部紹介するのは無理 • 彼の発表でずっと前に調査放置してたのを思い出し た • 自分で発表する予定だったらごめん 7

ある程度知ってる人向けの前置き • だいぶ簡略化されてしまった多項プロビットの説明 1. IIA を気にしなくて良い 2. 5 通り以上の選択肢の計算は不可能 3. 計算が大変 しかし実はこの指摘はあまり本質的ではない 1. IIA と相関構造の対応 2. それは 80 年代の話 3. 最近もアルゴリズムが発展してる 8

認識共有

今回の話を概ねカバーしてる教科書 • 詳細は教科書に投げる • どれか 1 つで可 • Train [18], Ch.3-5 • Wooldridge [19], Ch.16 • Hansen [6], Ch.26 • Cameron and Trivedi [5], Ch.15 • Train, Hansen は PDF が一般公開 • Greene は読んだことがない • 日本語だと Hsiao [8]; 北村 [24]; 山本勲 [21] とか? • 日本語ではまだこの辺の話は少ない • 大昔に自分で書いたやつ1 (上記英書籍の要約) 1https://ill-identified.hatenablog.com/entry/2014/07/22/015018 9

潜在効用モデルから多項ロジット導く (1/2) • 効用理論に基づいて意思決定を分析するモデル • 𝐽 個の選択肢をに対して効用 (utility) 𝑈𝑗 があり, 𝑉𝑗 , 𝜀𝑗 に分解できると仮定 𝑈𝑗 = 𝑉𝑗 + 𝜀𝑗 , 𝑗 = 1, ⋯ , 𝐽 • 𝑉 は変数で表現できる部分 • 例: 商品の価格 • 𝜀 は誤差項と観察できない意思決定者の属性 • 年齢や性別は分かっても「好み」は調べにくい • 観測できれば 𝑉 に含めても良い (条件ロジット) 10

潜在効用モデルから多項ロジット導く (2/2) • 人は最も効用の大きい選択肢を選ぶ • 𝑗 が選ばれる確率 𝑝𝑗 は? 𝑝𝑗 = P(𝑉𝑗 > 𝑉𝑙 , ∀𝑙 ≠ 𝑗) • 𝜀𝑗 が互いに独立なガンベル分布 (Type-I 極値分布) と 仮定する • 極値分布: 複数の確率変数から最大値だけを選び続け たらどんな分布になる? 𝐹(𝜀) = exp(− exp(−𝜀)) 11

(補足) ガンベル分布の形状 • 正規分布と違い期待値がゼロではない • わかりにくいが少し歪んでいる • 相対的な比較なので問題にはならない -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 12

各選択肢を選ぶ確率 • この仮定から 𝑝𝑗 を求めるとソフトマックス関数が 現れる 𝑝𝑗 = exp(𝑉𝑗 ) ∑𝐽 𝑙=1 exp(𝑉𝑙 ) • それぞれ 0 ≤ 𝑝𝑗 ≤ 1, かつ 𝑝1 , ⋯ , 𝑝𝐽 の合計が 1 • 確率として自然な制約になっている 13

多項ロジットとロジスティック分布 • 通常は 𝑉1 = 0 に固定, 他の 𝑉𝑗 はその相対値, ̃ 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗 − 𝑉1 で置き換える • 実際の計算を簡単にするため • 𝑈𝑗 の絶対値は重要でないため • 𝐽 = 2 だとロジスティック分布になる 0.0 0.5 1.0 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 p 14

多項ロジットモデルは最尤推定可能 • 個人 𝑖 が選んだ選択肢を 𝑦𝑖 と書く • 𝑉𝑗 = 𝑥⊤ 𝑗 𝛽 という線形モデルを考える • 以下のような対数尤度 • 凹関数になると証明されている [12] ので最尤法の計 算は簡単 LL = 𝑁 ∑ 𝑖=1 𝐽 ∑ 𝑗=1 1{𝑦𝑖 = 𝑗} ln 𝑝𝑖,𝑗 (𝑥⊤ 𝑗 𝛽) 𝑝𝑖,𝑗 (𝑥⊤ 𝑗 𝛽) = exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽) ∑ 𝑙 𝑥⊤ 𝑙 𝛽 15

MNL = ロジスティック/ソフトマックス回帰 • 𝐽 = 2 なら 𝑝2 はロジスティック分布になる 𝑝1 = 1 1 + exp( ̃ 𝑉2 ) , 𝑝2 = exp( ̃ 𝑉2 ) 1 + exp( ̃ 𝑉2 ) • 2 値ロジットは GLM のロジスティック回帰と同一 • 少し記号を置き換えるとよく見る対数損失の符 号逆転 LL = ∑ 𝑖 (𝑦𝑖 ln(𝑝𝑖 ) + (1 − 𝑦𝑖 ) ln(1 − 𝑝𝑖 )) • 𝐽 ≥ 2 の一般形なら機械学習のソフトマックス回帰 とほぼ同じ • 線形予測子を基準化するかどうかの違い 16

多項ロジットの暗黙の仮定 • 𝑝𝑗 対 𝑝ℎ の対数オッズ比 ln 𝑝𝑗 𝑝ℎ = (𝑥𝑗 − 𝑥ℎ )⊤𝛽, 𝑗 ≠ ℎ • オッズ比に 𝑗, ℎ 以外の他の選択肢の確率が含まれて いない • 無関係な選択肢からの独立の仮定 (IIA) 以降は各モデルの比較にオッズ比を見ていく 17

ちょっと待て何に使うんじゃ • 選択肢から選ぶタイプの意思決定全般を扱える • 就業・就学モデル • (山口先生のスライド [20] が比較的単純) •「どの商品を選ぶか」を考慮した需要関数の推定 • 商品選択 + 数量選択を考える (日本語の解説 [25]) • 交通工学? でも応用例 [23] • どの交通機関を選ぶかの意思決定を分析 • 交通政策や都市計画の参考に Q: 本当に何にでも使えるの? 18

IIA は直感と矛盾? (1/2) • バスか自家用車か [12] • 2/3 が自家用車を選ぶとする • 1/3 はバス • オッズ比は 1/2 • ではもう 1 つ別の交通会社のバスがあったら? • 2 つのバスはほとんど同一 • あなたならどうする? 19

IIA は直感と矛盾? (2/2) • 自然な予想: バスの 1/3 が均等に分かれる • IIA と矛盾 • 各オッズ比は他の選択肢に影響されない • 1/2, 1/4, 1/4 であるべき 表 1: IIA と直感の矛盾 Auto Bus1 Bus2 Auto:Bus1 のオッズ比 2 択 2/3 1/3 2 直感 2/3 1/6 1/6 4 IIA 1/2 1/4 1/4 2 20

脱 IIA: ネストロジット (NL) • みなさんが考えたのは段階的な意思決定 • バスか車か • バスならばどっちか • これは IIA を満たさない • IIA でない意思決定が存在する • ネスト (入れ子) 状の意思決定 • ネストロジットの出番 • 選択肢をネストしたモデル • ネストを深くすることも可 (一般化 NL) 21

一般化極値 (GEV) モデル • 順序ロジットというのもある • 例: 寿司のグレード • 優先順位がある選択肢も IIA ではない • 一般化極値モデル [13] • 選択肢どうしで独立していない • = 相関関係があるという設定のモデルの総称 • よって順序/ネストは MNL の拡張 • 分散不均一なモデル (HEV) も含まれる •「GEV モデルを推定するアルゴリズム」はない • GEV モデル全般の研究は進んでない? • 現状 GLM のようなカテゴリと言う位置づけ? 22

特定化の検定とネストロジット • 特定化の検定 [7] • 帰無仮説が IIA の仮定に対応 • ロジット系は同じ数式に一般化できる • ネストロジットのパラメータが特定の値なら多項に • 棄却されたらネストロジットのほうが好ましい 23

多項ロジットの「認識共有」の要約 [18] • 多項ロジットが推定できないケース 1. IIA を満たさない意思決定 2. random taste variation のある意思決定 3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ る推定 • ネストロジット (or GEV) は (1) のみ対処可能 • Hausman 検定で多項ロジットかネストロジットか の判断が可能 24

認識更新 1: 理論面での進展

多項プロビットモデル (1/2) • 効用最大化のモデル 𝑈 = 𝑉 + 𝜀 まで共通 • ロジットモデル = 誤差項がガンベル分布 • プロビットモデル = 誤差項が多変量正規分布 • 単なる 𝐽 個の独立正規分布ではダメ • cf. 「IIA は選択肢どうしの独立性に対応」 • cf 𝜙(𝜀) = 1 (2𝜋)(𝐽/2) det(Σ)1/2 exp(− 𝜀⊤Σ−1𝜀 2 ) 𝜀 = [𝜀1 ⋯ 𝜀𝐽 ] ⊤ 25

多項プロビットモデル (2/2) • 同じように選択確率を求めても閉形式にできない • 𝐽 個の 𝜀𝑗 に対する積分が必要 • オッズ比 𝑝𝑗 /𝑝ℎ は全ての選択確率に依存しうる • IIA は要求されない 𝑝𝑗 =P(𝑈𝑗 > 𝑈ℎ ∀ℎ ≠ 𝑗) = ∫ 1(𝑈𝑗 > 𝑈ℎ ∀ℎ ≠ 𝑗)𝜙(𝜀)𝑑𝜀 = ∫ 𝜀∈𝐵𝑗 𝜙(𝜀)𝑑𝜀, 𝐵𝑗 ∶= {𝜀 ∶ 𝑉𝑗 + 𝜀𝑗 > 𝑉ℎ + 𝜀ℎ ∀ℎ ≠ 𝑗} 26

多項プロビットモデルの特徴 • 意思決定が IIA でなくてもよい • オッズ比が全ての選択肢に依存しうるため それだけではない • ネストロジットや GEV が対処できない 2 つのケース も対処可能 [18] 2. random taste variation のある意思決定 3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ る推定 • 説明してると時間足りないので省略 • 離散選択の応用ではいろいろな状況を考える必要 27

MLP のまとめ • 多変量正規分布を使うといろいろな利点 • IIA の仮定なし • 様々な状況に対応しやすい • 逆に問題点 • 計算が複雑に • そもそもの効用モデルと定式化が違う 28

ロジットはもう要らない? -> 混合ロジット • McFadden and Train [14] で整備される • 一部の分野で latent class model と呼ばれているもの と同じ? • 多項ロジットの係数 𝛽 を確率変数にする 𝑝𝑗 = exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽) ∑ ℎ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽)) 従来の多項ロジット 𝑝𝑗 = ∫ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽) ∑ ℎ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽)) 𝑓(𝛽)𝑑𝛽 混合ロジット 29

混合ロジットの性質 • Mixed だと閉形式でなくなってしまう • MLP に対する優位が消えてない? 1. IIA の制約が消える • オッズ比に現れる 2. 標準的なロジットを近似できる [18] • ランダム効用モデル本来の仮定に沿ったモデル • 一般論としては近似的な数値計算がないほうが望 ましい 30

なぜ混合ロジットなら IIA の仮定が不要になるか • 𝑥⊤ 𝑗 𝛽 が 𝜀𝑗 同様ランダムに • 多項ロジットはオッズ比 𝑝𝑗 /𝑝ℎ は確定的だった • 今度は確率的なので相関関係に注意 • ヒント: 共分散は Cov(𝑈𝑗 , 𝑈ℎ ) = 𝑥⊤ 𝑗 V(𝛽)𝑥ℎ 31

混合ロジットの「混合」とは • 𝑓(𝛽) をどうする? 1. 有限混合 2. 無限混合ガウシアン (普通はこちらを mixed という) 𝑝𝑗 = 𝑀 ∑ 𝑚=1 𝑓𝑚 exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽 𝑚 ) ∑ ℎ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽 𝑚 )) 有限混合 𝑝𝑗 = ∫ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽) ∑ ℎ exp(𝑥⊤ 𝑗 𝛽)) 𝜙(𝛽)𝑑𝛽 無限混合 32

ロジット・プロビットのまとめ • 多項 L: 最も単純, IIA や個別効果があるとやりづらい • ネスト L: IIA に対処, 計算も比較的簡単 • 混合 L: IIA に対処, 計算大変? • 多項 P: IIA に対処, 計算大変? • 理論面では 2000 年までにだいたい固まっている • ではどういうアルゴリズムで計算するか 33

認識更新 2: アルゴリズムの進展

多項プロビットは計算量が多い? • 𝐽 − 1 次元の数値積分と 𝐽(𝐽 − 1)/2 − 1 個の共分散行 列パラメータ • 今はノート PC でも MCMC できる • 𝐽 ≥ 5 だと計算困難 • それはたぶん 80 年代頃の話 • 応用例自体がなかった? • 現在は新しいアルゴリズムもある • 精度にも注意すべき • 統計的性質 / 数値計算の精度 34

代表的なアルゴリズム (古い順) 1. 受容-棄却 (A-R) 法 (80 年代) * 古いので詳細略 2. GHK (Geweke, Hajivassiliou, Keane) (80-90s) 3. マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) (90-00s) 4. 最大近似合成周辺尤度推定法 (MACML) (10s-) 35

MLP のアルゴリズム 1: GHK • 別名, シミュレーション最尤法 (Simulated Maximum Likelihood) • 誤差項が互いに相関しているのがネック • コレスキ分解で相関関係を打ち消して各 𝑝𝑗 をモンテ カルロ積分 (分からない) • 長くなるので教科書を読んでください ([18], § 5.6) 36

MLP のアルゴリズム 2: MCMC • 文字通り有名な MCMC で計算 [11] • 今井 & van Dyk[10, 9] の実装 • data augmentation [17] + M-H sampler • MNP パッケージとして CRAN に登録 • Stan は時間がなかったので省略 37

MLP のアルゴリズム 3: MACML • 最大近似合成周辺尤度推定法 ([3, 4]) • 日本語の解説スライド [26] • 𝑝𝑗 の近似計算を最小自乗法の応用で GHK より効率 化してるらしい • 尤度の同時分布も (時間とか個人とかで) 分解し次元 を減らす • 交通工学? 分野で普及し始めてる? • 最近少し批判的な話 [2] が出たらしいが読めてない 38

性能比較の実験 (未完成)

モデル/アルゴリズムはどれがいいの? • 先行研究: • 数値積分も工夫した GHK より MACML が精度も計算 時間も優れ, MCMC も場合によっては同等に優秀 [16] • GHK や MCMC より変分ベイズが 16 倍速い [1] • 他にもありそうだが読んでない •「多項プロビット vs 混合ロジット」という論点は ない? • MNL, NL, 3 種の MNP で性能比較 39

試すモデルとアルゴリズム • MNL (最尤法): mlogit::mlogit • Mixed Logit: mlogit + rpar オプション • MLP: • GHK: mlogit + probit オプション • MCMC: MNP::mnp • MACML: 著者のソースコード2 • 実験のソースコードはここ 2https://www.caee.utexas.edu/prof/bhat/MACML.html 40

データ • MACML 著者のデータセット使用 • MACML だけパッケージ化されてない • true value のわかる実験用データ 41

構文の例 mnl <- mlogit(choice ~ ., data = df) mixl <- mlogit(choice ~ ., data = df, rpar = c(x1 = "n", ...), R = 10 ) mnp <- mlogit(choice ~ ., data = df_mlogit, probit = T, R = 10) ↪ mnp2 <- mnp(choice ~ 1, choiceX = list( c1 = cbind(x1.c1, ...), c2 = cbind(x1.c2, ...) ), cXnames = c("x1", ...), data = df_wide 42

結果 (作業中) 43

さいごに • MACML の実装がアレなので遅い • 逆に言えば C++ なら相当速いはず •「IIA の制約があるから使いにくい」はよくない • Hansen「全部試したほうがいいよ」 • MNL は IIA を満たしているかの検証に使える 44

わからなかったこと • 𝐽 をめちゃくちゃ大きくした場合の挙動 • 誰かの卒論? 修論?[22] では 𝐽 = 8 でも普通にできる らしい • MNP は実装でどれだけ変わるか • 共役事前分布? あるいは別の事前分布? • 計算効率化のための新機能の効果は? • 変分ベイズも試してない • MACML を C++ とかで書き直すべき • 混合ロジット versus 多項プロビット • 交通系の人はロジットに執着がない? 45

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