大改造!! 劇的ビフォーアフター @curekoshimizu リフォーム依頼 番組ではリフォームをお考えの 級数さまを大募集！ あなたもこの番組で腕をふるう「匠」に 大改造を依頼してみませんか？ 級数を 第8回日曜数学会 (2017/01/07)

匠の技を魅せるための 物件(級数)紹介

𝜋 = 4 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛+1 ライプニッツ級数 𝜋 = 4 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 ラマヌジャンの円周率級数 匠の技を魅せるための 物件(級数)紹介 どちらも円周率に収束する級数

𝜋 = 4 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛+1 ライプニッツ級数 匠にリフォームを望む級数 𝜋 = 4 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 ラマヌジャンの円周率級数 理想的高級級数 匠の技を魅せるための 物件(級数)紹介

𝜋 ≈ 4 𝑛=0 0 −1 𝑛 2𝑛+1 = 4.00000.... ライプニッツ級数 𝜋 ≈ 4 𝑛=0 0 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 = 3.1415850400.. ラマヌジャンの円周率級数 𝒏 = 𝟎 までによる 𝝅 の近似値

𝜋 ≈ 4 𝑛=0 1 −1 𝑛 2𝑛+1 = 2.666666.... ライプニッツ級数 𝜋 ≈ 4 𝑛=0 1 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 = 3.141592653597.. ラマヌジャンの円周率級数 𝒏 = 𝟏 までによる 𝝅 の近似値 さすがはラマヌジャン

𝜋 ≈ 4 𝑛=0 2 −1 𝑛 2𝑛+1 = 3.466666.... ライプニッツ級数 𝜋 ≈ 4 𝑛=0 2 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 = 3.141592653589 793229.... ラマヌジャンの円周率級数 お!? 𝒏 = 𝟐 までによる 𝝅 の近似値

𝜋 ≈ 4 𝑛=0 3 −1 𝑛 2𝑛+1 = 2.89523.... ライプニッツ級数 𝜋 ≈ 4 𝑛=0 3 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛 8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4 = 3.141592653589 7932384626531.. ラマヌジャンの円周率級数 あああ... 𝒏 = 𝟑 までによる 𝝅 の近似値

ライプニッツ級数の 収束の遅さをみよ！ 2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで 𝜋 = 4 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛+1 ライプニッツ級数

2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで 3.1315929035585527643 3.0418396189294022111 𝒏 = 𝟏𝟎 まで 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 まで 3.1414926535900432384 3.1405926538397929259 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 まで 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 まで 𝒑桁計算するのに 𝒏 = 𝟏𝟎𝒑+𝟏 まで 計算が必要な予感!?

しかし

匠は

なんと

2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで この全然円周率っぽくない ものたちだけを使って 劇的ビフォーアフター してみせます！

アルゴリズム紹介 (epsilon算法) 匠 の 技

○ □ △ □ + 𝟏 △−○ この計算をしていく ここがないときは 0 とみなす

STEP0 2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで

2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 1.2500000000000000000 -1.749999999999999999 2.2500000000000000002 -2.749999999999999999 -0.750000000000000000 -3.749999999999999999 3.2500000000000000001 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで 4.2500000000000000005 -4.750000000000000000 𝟎 + 𝟏 △−○ STEP1 △ ○

-0.750000000000000000 2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 4.0000000000000000000 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 3.2837384837384837384 3.0170718170718170717 2.9760461760461760461 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝒏 = 𝟕 まで 1.2500000000000000000 -1.749999999999999999 2.2500000000000000002 -2.749999999999999999 -3.749999999999999999 3.2500000000000000001 2.6666666666666666667 3.4666666666666666667 2.8952380952380952381 3.3396825396825396825 3.2837384837384837384 2.9760461760461760461 3.1666666666666666667 3.1333333333333333334 3.1452380952380952381 3.1396825396825396825 3.1408813408813408812 3.1427128427128427128 3.2523659347188758952 3.0418396189294022110 𝒏 = 𝟖 まで 𝒏 = 𝟗 まで 4.2500000000000000005 -4.750000000000000000 3.1420718170718170717 3.1412548236077647841 STEP2 △ ○ □ □ + 𝟏 △−○

STEP3

STEP4

STEP5+STEP6

STEP5+STEP6 0・1桁精度 2・3桁精度 4・5桁精度 5・6・7桁精度

なんということでしょう

匠の技で あんなにも収束の遅かった ライプニッツ級数が

BEFORE

BEFORE AFTER 3.141592079353... 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎までより 精度よく求まっている

最後に このアルゴリズムを使って

おもしろい応用が できることに 気がついたので紹介

𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・ = 𝒏=𝟎 ∞ −𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏) 発散級数

-1 2 -2 3 1 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 4 -3 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟐 + 𝟑

-1 2 -2 3 1 𝒏 = 𝟎 まで 𝒏 = 𝟏 まで 𝒏 = 𝟐 まで 𝒏 = 𝟑 まで 𝒏 = 𝟒 まで 4 -3 𝒏 = 𝟓 まで 𝒏 = 𝟔 まで 1/3 -1/4 1/5 -1/6 -1/2 1/7 666666666 66666667 3.4666666 666666666 667 2.8952380 952380952 381 3.3396825 396825396 825 1/5 2/7 2/9 3/11 3/13 12 -16 20 -24 666666666 667 2.8952380 952380952 381 2.8952380 952380952 381 1/4 1/4 1/4 おや!?

つまり

𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・ = 𝒏=𝟎 ∞ −𝟏 𝒏 𝒏 + 𝟏 = 𝟏 𝟒 発散級数 = 𝟏 𝟒 !?

𝟏−𝒛 + 𝟐−𝒛 + 𝟑−𝒛 + ・・・ = (𝟏 − 𝟐𝟏−𝒛)𝜻(𝒔) ゼータ函数を使うと ある意味 ¼ と解釈ができるかもしれない？ 𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・ = −3𝜻 −𝟏 = −𝟑 × − 𝟏 𝟏𝟐 = 𝟏 𝟒 𝜻 −𝟏 = − 𝟏 𝟏𝟐 を使った この式を使うと

つまり

匠の技は 発散級数にも ある意味使える!?

以上 収束をはやくする 匠の技でした +もしかすると発散級数に対しても 使えるのでは？ という話つき 第8回日曜数学会 (2017/01/07)

自己紹介+ブログ宣伝 @curekoshimizu • 京都大学理学部 数学科で解析学を主に専攻してました！ 後期入試最高得点入学！ (tan1°問題の年) • 京都大学大学院 情報学研究科 複雑系科学専攻 数値解析・丸め誤差に関わる研究 それをやりながらコンピューターにも興味をもつ • 現在ソフトウェアエンジニア！ ここで紹介したような技を使って さまざまなアルゴリズムを高速化してます！ 数学をつかった高速化が大好き！！！ 数学と関係する略歴 http://math.koshimizu.hatenablog.jp 数学とコンピューターの間を埋めるような そんなブログをはじめました！ 2016年 日曜数学アドベントカレンダー にも投稿したよ