rsa_understanding_memo - Speaker Deck

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RSA׬શཧղϝϞ 2021/11/26 ࣾ಺ษڧձ

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͸͡Ίʹ

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༻ҙ͢Δ΋ͷ • p, q Λ૬ҧͳૉ਺ͱͯ͠ n = pq ͱͳΔ੔਺ n • (p-1)(q-1) ͱޓ͍ʹૉͳ੔਺e • de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ͱͳΔ੔਺ d • n, eΛެ։伴ɺdΛൿີ伴ͱ͢Δ NPE͸৒༨ΛٻΊΔॲཧͰɺϓϩάϥϜͰ ΍Δԋࢉͱಉ͡ ৒༨ʹ͓͚Δ߹ಉ͸ӈͱࠨͷ৒༨͕౳͍͠ ͱ͍͏ҙຯ ͭ·ΓೃછΈ͋Δදݱʹ௚͢ͱ EF Q R Q R ͱͳ ΔE FΛ४උ͍ͤ΍ͱ͍͏͜ͱ EF㲇 NPE Q R Λຬͨ͢EΛٻΊ Δͷ͸֦ுϢʔΫϦουޓআ๏Λ͔ͭ͑͹ ΘΓͱαΫοͱͰ͖Δ ֦ுϢʔΫϦουޓআ๏ͰͳΜͰ͏·͍͘ ͔͘͸ϕζʔͷ౳ࣜͱ͔ͱབྷΉͷͰׂѪ ڵຯ͋Δਓ޲͚ͷϩʔυϚοϓʹؔ܎ੑΛ ·ͱΊͱ͖·͢

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͋ͱͰγϡͬͱͯ͠νϟͬͱ͢ΔΜͩΑʂ

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҉߸Խͷૢ࡞ • Ҏ߱͸ϓϨʔϯςΩετΛm, ҉߸ԽจࣈྻΛcͱ͠·͢ • RSAͷ҉߸Խ͸ Enc(m) := m^e mod n • Α͏͸mΛe৐ͯ͠%nͱΕ͹҉߸ԽͰ͖Δɻeͱn͸ެ։৘ใͳͷͰ୭ Ͱ΋҉߸ԽՄೳ

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෮߸ͷૢ࡞ • RSAͷ෮߸͸ Dec(c) := c^d mod n • ͜ΕͰmʹ΋ͲΔ • ͖ͬ͞ͷ෮߸ͱ͋Θͤͯ੔ཧ͢Δͱ (m^e mod n)^d mod n ͢Δͱm ʹ໭Δͱ͍͍ͬͯΔ • nΛ๏ͱ͢ΔmodͱΔૢ࡞͸్தͰ΍ͬͯ΋লུͯ͠΋݁Ռ͸͔ΘΒ ͳ͍ͷͰ (m^e)^d mod n ͱܭࢉͯ͠΋ಉ͡

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ͨΊͯ͠ΈΑ͏ • m = (m^e mod n)^d mod n ͕੒Γཱͭͱͯ͠ܭࢉͯ͠ΈΔ • ద౰ʹn=35, e=5, d=5, m=4ͱ͔Ͱࢼͯ͠ΈΔ • m^e mod n = 4^5 mod 35 = 1024 mod 35 = 9 • c^d mod n = 9^5 mod 35 = 59049 mod 35 = 4 • 0 < m < n ͷൣғʹ͓͍ͯ੒ཱ͢Δ

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(1) • ੔ཧͯ͠m^de ≡ m (mod n) • ͜͜Ͱ de ʹ͍ͭͯɺ de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ͱͳΔΑ͏ͳ਺͔ͩΒ ͳʹ͔͠Βͷ(p-1)(q-1)ͷഒ਺ʹ1଍ͨ͠஋Ͱ de = 1 + s(p-1)(q-1) ͱ ͔͚Δ • m^de = m^(1+s(p-1)(q-1)) = m(m^(p-1)(q-1))^s ͱ͔͚Δɻ͜ΕͰm ͷഒ਺ͷܗͰ͔͚ͨ

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(2) • ·ͱΊΔͱ m(m^(p-1)(q-1))^s ≡ m (mod n) ͱͳΕ͹Α͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘Ε Δͱm(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • ͦΜͳ౎߹ͷ͍͍͜ͱ…͋ΔΘ͚…͋ΔΘ͚…

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(2) • ·ͱΊΔͱ m(m^(p-1)(q-1))^s ≡ m (mod n) ͱͳΕ͹Α͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘Ε Δͱm(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • ͦΜͳ౎߹ͷ͍͍͜ͱ…͋ΔΘ͚…͋ΔΘ͚… େ਺ֶऀϑΣϧϚʔ ࢴ͕͘͢ͳ͍͜ͱͰ༗໊ ͋ΔͰ

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ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • p͸ૉ਺, a͸੔਺Ͱޓ͍ʹૉͱ͢Δͱ͖ҎԼ͕੒Γཱͭ • a^(p-1) ≡ 1 (mod p) • ূ໌΋঺հ͍͚ͨ͠Ͳۮવʹ΋खݩʹࢴ͕ແ͍ͷͰলུ͠·͢ • ͦͦ͜͜؆୯ͳͷͰ͕࣌ؒ༨ͬͨΒܰ͘঺հ͢Δ͔΋

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(3) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) Λͱ͘ • ํ਑ͱͯ͠͸ͳΜ΍͔΍ͯ͠ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) ͰׂΓ੾Ε Δ͜ͱΛ֬ೝ͢Δํ޲ͰؤுΔ • ↑͕੒Γཱͯ͹มܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͕ٻ·Δ

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(4) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) Λͱ͘ • (m^(p-1))^(q-1) ͱมܗͯ͠ߟ͑Δ • q͸ૉ਺͔ͩΒɺmࣗ਎͕qͷഒ਺Ͱͳ͍ݶΓ m^(p-1) ͱ͸ޓ͍ʹૉ ͳͷͰɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΑΓ (m^(p-1))^(q-1) ≡ 1 (mod q) • ׂΓ੾ΕΔܗʹ੔ཧ͢Δͱ (m^(p-1))^(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) • m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) ͕ࣔͤͨ … (i

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(5) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) Λͱ͘ • (m^(q-1))^(p-1) ͱมܗͯ͠ߟ͑Δ • p͸ૉ਺͔ͩΒɺmࣗ਎͕pͷഒ਺Ͱͳ͍ݶΓ m^(q-1) ͱ͸ޓ͍ʹૉ ͳͷͰɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΑΓ (m^(q-1))^(p-1) ≡ 1 (mod p) • ׂΓ੾ΕΔܗʹ੔ཧ͢Δͱ (m^(q-1))^(p-1) -1 ≡ 0 (mod p) • m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod p) ͕ࣔͤͨ … (ii

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(6) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) Λͱ͘ • (i, (ii ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 ͸pͰ΋qͰ΋ׂΓ੾ΕΔ • p, q͸૬ҧͳૉ਺ͳͷͰ໿਺͕ଘࡏ͠ͳ͍ɻͦͷͨΊͲͪΒͰ΋ׂΓ ੾ΕΔͱ͍͏͜ͱ͸ m^(p-1)(q-1) -1 ͸ pq ͷഒ਺Ͱ͋Δ • Ҏ্ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • มܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔʂ …(iii

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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(7) • m(m^(p-1)(q-1))^s ≡ m (mod n) ͱͳΕ͹Α͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘ΕΔͱ m(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • pqͱޓ͍ʹૉͳmͳΒ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔͷͰˢ͕੒ཱ͢Δʂূ ໌͓ΘΓ • ͪͳΈʹpqͱm͕ૉ͡Όͳ͍ͱ͖͸ϑΣϧϚʔͷখఆཧͱ͔ߟ͑ͳͯ͘Αͯ͘ m͕p, qͰׂΓ੾ΕΔ͜ͱΛར༻ͯ͠୯ʹnͷഒ਺+mͷܗʹ੔ཧͰ͖Δ

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໰୊ • 1~26ͷ਺ࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓ౰ͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23, 24, 1

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໰୊ • 1~26ͷ਺ࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓ౰ͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23, 24, 1 • ώϯτ1: c^d mod n Ͱ෮߸Ͱ͖Δɻd͸ de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) • ώϯτ2: n = pq ͱͳΔpqʹૉҼ਺෼ղͰ͖Ε͹͋ͱ͸ܭࢉ͢Δ͚ͩ

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ͨ͑͜ • n ͸35͔ͩΒୈ࿡ײͰ 5 * 7 ͷૉҼ਺෼ղͰ͖Δ • Αͬͯd͸ 5d ≡ 1 mod (5 - 1)(7 - 1) • ܭࢉ͢Δͱ5d - 1 ≡ 0 mod 24 ͱͳΓɺd = 5 ͕͋ͯ͸·Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • ͋ͱ͸ 23^5 mod 35, 24^5 mod 35, 1^5 mod 35 ΛٻΊΔ͚ͩɻखͰ΍Δ ͱ͖͍͚ͭͲΪϦࠜੑͰղ͚Δൣғ • ղ͘ͱ 18, 19, 1 ʹͳͬͯṖͷจࣈίʔυʹরΒ͠߹ΘͤΔͱ RSA ʹͳΔʂ

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ϋϯζΦϯ͔ΒΘ͔Δ͜ͱ • ૉҼ਺෼ղ͑͞Ͱ͖ͨΒޙ͸ܭࢉ͢Δ͚ͩ • ୯७ܭࢉ͸ίϯϐϡʔλͷಘҙͱ͢Δͱ͜ΖͳͷͰͦ͜·Ͱ͍͚͹ νϣϩ͍ • RSAͷ೉͠͞͸ૉҼ਺෼ղͷࠔ೉͞ʹґڌ͍ͯ͠Δɻ͕͜͜ಥഁ͞Ε Δͱγϡοͱൿີ伴͕ܭࢉ͞ΕͪΌ͏

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ૉҼ਺෼ղͷࠔ೉ੑͱ҆શૉ਺

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ૉҼ਺෼ղ͖ͪʔͧʂ • ଟ߲ࣜ࣌ؒͰͱ͚ΔΞϧΰϦζϜΈ͔ͭͬͯͳ͍ͷ… • ࢦ਺͔͔࣌ؒΔ͔ΒͭΒ͍ͷ… • ର৅ͱͳΔૉ਺ͷܻ͕૿͑Ε͹૿͑Δ΄ͲΞϗΈ͍ͨʹ͔͔࣌ؒΔ • 200ܻ * 200ܻ͙Β͍ͩͱ͍·ͷεύίϯͰ΋਺ԯ೥͔͔ΔΑ͏Ͱ͢ (ࢦ਺͔͔࣌ؒΔͱ͍͏ͱ͜Ζ·Ͱ͔͠௥ͬͯͳ͍͔ΒͲ͏͍͏ܭࢉ Ͱ਺ԯ೥ͱ͍ͬͯΔͷ͔͸஌Βͳ͍)

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ૉҼ਺෼ղޮ཰Α͘Ͱ͖ͳ͍ʁ • p-1๏ͱ͍͏ͷ͕͋Δ • ͘Θ͘͠͸๻΋௥͍͔͚Εͯͳ͍͚ͲɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΛ͔ͭͬ ͨߟ͑ํͰɺૉ਺p͔Β-1ͨ͠ͱ͖ʹখ͞ͳૉ਺Ͳ͏͠ͷੵʹͳͬͯ Δͱޮ཰Α͘ܭࢉͰ͖ΔΒ͍͠ • Ͱ͔͍ૉҼ਺͕;͘·ΕͯΔͱp-1๏͸ޮ཰Α͘Ͱ͖ͳ͍

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҆શૉ਺ͱ͸ • p, qͷ૬ҧͳૉ਺͕͋ͬͨͱ͖ p = 2q +1 ͱͳΔૉ਺ • p-1๏͸p-1ʹͰ͔͍ૉҼ਺͕͋Δͱޮ཰͕͋Βͳ͍ͷΛࢥ͍ग़͢ͱɺ҆શ ૉ਺͸p-1๏ʹͱ͔ͬͯͳΓ૬खͨ͘͠ͳ͍਺(p-1ͷૉҼ਺ʹ͍͍ͩͨp/2 ͷαΠζͷόΧσΧૉ਺͕͋ΔͷͰ) • ҉߸తͳڧ౓Λ΋ͭૉ਺ੜ੒ͱ͸ɺे෼େ͖͍҆શૉ਺Λͭͬͯ͘͘ΕΔ ͬͯ͜ͱͩͧʂ͜͜ςετʹग़·͢ • े෼ͳܻ਺ͷ҆શૉ਺ͷੵ͸·͋ૉҼ਺෼ղ͢Δͷແཧ΍Ζͱͳ͍ͬͯΔ

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ਂງΓ͍ͨਓ޲͚ RSAཧղ΁ͷϩʔυϚοϓ

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҉߸Խ/෮߸͕੒ཱ͢Δ͜ͱ Λཧղ͢ΔͨΊʹඞཁͬΆ͍΍ͭ • ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • ؆୯Ί • ΦΠϥʔͷఆཧ • ϑΣϧϚʔͷఆཧ͸๏p͕ૉ਺Ͱ͋Δඞཁ͕͚͋ͬͨͲɺͦΕΛҰ ൠʹ֦ுͯ͠ޓ͍ʹૉͳa, nͰ͋Ε͹੒ཱ͢ΔΑ͏ʹͨ͠΍ͭ • ͜ΕͰূ໌ͯ͠Δ͜ͱ΋ଟ͍͚ͲϑΣϧϚʔͷখఆཧͱେମ͓ͳ͡

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de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ΛٻΊΔํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍΍ͭ • ܈, ؀, ମͷݴ༿ͷఆٛ͘Β͍ • ͷͪͷূ໌ʹ͠Εͬͱग़͖ͯͯͳΜͩ͜ΕͱͳΔ • ୯Ґݩ, ٯݩ͋ͨΓ΋ݴ༿ͷҙຯ͕Θ͔ΔͱΑ͛͞ • ϕζʔͷ౳ࣜ • ax+by=c͕࣮਺ղΛ࣋ͭͳΒc͸gcd(a,b)ͷഒ਺ͩͧͱ͍͏΍ͭɻݸਓతʹ͸ࠓճಡΜͩূ໌ͰҰ൪Ή͔ͣͬͨ • ϢʔΫϦουޓআ๏ • gcd(a,b)Λޮ཰Α͘΋ͱΊΔΞϧΰϦζϜɻ͜Ε΋ূ໌͕؆୯ • ֦ுϢʔΫϦουޓআ๏ • ϕζʔͷ౳ࣜΛຬͨ͢ղΛ୳ࡧͰ͖Δɻ࣮૷ͱͯ͠͸ϢʔΫϦουޓআ๏ʹໟ͕ੜ͑ͨఔ౓ • ͍ͭ͜Ͱ৒༨؀ͷٯݩ͕ͩͤΔઆ໌͸ผ్ಡ·ͳ͍ͱΘ͔Β͵͔΋

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҆શͳn=pqΛ࡞Δํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍΍ͭ • ૉ਺ੜ੒ΞϧΰϦζϜ͸ਖ਼௚͓͍͖Εͯͳ͍ • ద౰ͳૉ਺ͬΆ͍਺ͭ͘Δ -> ߴ଎ͳૉ਺൑ఆʂͷྲྀΕ͕͓͓͍ɻߴ଎ͳૉ ਺൑ఆ͸֬཰తͳΞϧΰϦζϜ͹͔ͬΓ͔ͩΒෳ਺ճ܁Γฦͯ͠ޡݕ஌཰Λ ͛͞Δ(n=10ͱ͔) • Miller-Rabin๏: ૉ਺͡Όͳ͍਺ʹOKग़ͪ͠Ό͏ͷ͸25%ҎԼ • Baillie-PSW๏: ͍͔ͭ͘ͷૉ਺൑ఆΞϧΰϦζϜΛ૊Έ߹Θͤͯຐվ଄ͨ͠ Έ͍ͨͳ΍ͭʁͪΌΜͱ௥ͬͯͳ͍͚ͲGoͱ͔Ͱ࢖ΘΕͯΔ͔ΒΑͦ͞͏ ͪͳΈʹ҆શૉ਺ͷੜ੒ʹ͍ͭͯ͸͋Μ· Γ͏·͘΍ͬͯͳ͍ؾ͕͍ͯͯ͠ɺ ૉ௚ʹ೚ҙͷૉ਺൑ఆͰૉ਺RΛͭͬͨ͘ޙ R͕ૉ਺͔͓͔ΘΓ൑ఆͯ͠ૉ਺ͩͬͨ Β͍ͦͭΛQͱͯ͠ฦ͢Έ͍ͨͳงғؾ͕͋ Δ ͪΌΜͱௐ΂͖Εͯͳ͍͚Ͳ௚ײతʹ΋ͦ Ε͕ૣͦ͏