24 сентября 2021 [email protected], [email protected] Анастасия Андреевна Корепанова м.н.с. лаборатории ТиМПИ Модели распространения эпидемий Абрамов Максим Викторович доцент кафедры информатики

2/29 2/29 АКТУАЛЬНОСТЬ

3/29 3/29 НЕ ТОЛЬКО КОРОНАВИРУС

4/29 4/29 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭПИДЕМИЙ • Все общаются со всеми: oS(t) — восприимчивые (succeptible). Люди, которые не заражены на момент времени t и могут быть заражены. oI(t) — заражённые (infected). oR(t) — выздоровевшие (recovered). • Закрытая модель (не рассматриваем рождение и т.д.) • Дифференциальные уравнения.

5/29 5/29 SI 1/2

6/29 6/29 SI 2/2 S(t) – восприимчивые к заболеванию, I(t) – инфицированные 𝑆 → 𝐼 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 𝑁 𝜷 – infection rate, скорость, с которой происходит инфицирование. Количество заражений за момент времени. Инфецирование происходит в случае контакта. Уравнение: 𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝐼 𝑡 + 𝛽 𝑆 𝑡 𝑁 𝐼 𝑡 𝛿𝑡 Дифференциальное уравнение: 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆 𝑡 𝑁 𝐼(𝑡)

7/29 7/29 SI MODEL 1/2 Считаем в долях, нормализация: 𝑖 𝑡 = 𝐼 𝑡 𝑁 , 𝑠 𝑡 = 𝑆 𝑡 𝑁 ; Уравнения: 𝑑𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = −𝛽𝑠 𝑡 𝑖 𝑡 ; 𝑑𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠 𝑡 𝑖 𝑡 ; 𝑠 𝑡 + 𝑖 𝑡 = 1;

8/29 8/29 SI MODEL 2/2 Начальное значение – количество инфицированных 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 1 − 𝑖 𝑡 𝑖 𝑡 ; Решение: න 𝑑𝑖 1 − 𝑖 𝑖 = 𝛽 න 𝑑𝑡 + 𝐶 ; 𝑙𝑜𝑔 𝑖(𝑡) 1 − 𝑖(𝑡) = 𝛽𝑡 + 𝐶; Логистическая функция роста: 𝑖 𝑡 = 𝑖0 𝑖0 + (1 − 𝑖0 )𝑒−𝛽𝑡 ; 𝐼 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑁; 𝑆 𝑡 = 1 − 𝑖 𝑡 𝑁;

9/29 9/29 ЛОГИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РОСТА 1/2 График 𝑖0 = 0.05, 𝛽 = 0.8 Очень простая модель, но в ней содержится основная математика

10/29 10/29 ЛОГИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РОСТА 2/2 График с разными 𝑖0 𝛽 = 0.8

11/29 11/29 SIS Примеры?

12/29 12/29 SIS MODEL 1/2 S(t) – восприимчивы к заболеванию, I(t) – инфецированные 𝑆 → 𝐼 → 𝑆 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 𝑁 𝛽 – infection rate, скорость, с которой происходит инфицирование. 𝛾 − recovery rate, cкорость, с которой происходит выздоровление. Модель без иммунитета, подходит для компьютерных сетей 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 = −𝛽𝑠(𝑡)𝑖(𝑡) + 𝛾𝑖(𝑡) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠(𝑡)𝑖(𝑡) − 𝛾𝑖(𝑡) 𝑠(𝑡) + 𝑖(𝑡) = 1 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑖 𝑡 − 𝛾 − 𝑖 𝑡 𝑖(𝑡) 𝑑𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = −𝛽𝑠 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠 𝑡 𝑖 𝑡 𝑠(𝑡) + 𝑖(𝑡) = 1 SI: SIS:

13/29 13/29 SIS MODEL 2/2 Можно проинтергрировать, можно подставить 𝑖 𝑡 = 1 − 𝛾 𝛽 𝐶 𝐶 + 𝑒− 𝛽−𝛾 𝑡 , 𝐶 = 𝛽𝑖0 𝛽 − 𝛾 − 𝛽𝑖0 Предел 𝑡 → ∞ 𝛽 > 𝛾, 𝑖 𝑡 → 1 − 𝛾 𝛽 𝛽 < 𝛾, 𝑖 𝑡 → 𝑖0 𝑒 𝛽−𝛾 𝑡 → 0 𝛽 > 𝛾 𝐼 ∞ = 𝑁 1 − 𝛾 𝛽 𝑆 ∞ = 𝑁 𝛾 𝛽 𝛽 < 𝛾 𝐼 ∞ = 0 𝑆 ∞ = 𝑁 Это разумно?

14/29 14/29 ЛОГИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 𝛽 > 𝛾, 𝑖 𝑡 → 1 − 𝛾 𝛽 насыщение затухание 𝛽 < 𝛾, 𝑖 𝑡 → 𝑖0 𝑒 𝛽−𝛾 𝑡 → 0

15/29 15/29 ЧТО ЕЩЁ БЫВАЕТ SIR Susceptible Infectious Recovered Susceptible Infectious Recovered Susceptible Infectious Recovered Exposed SIRS SEIRS

16/29 16/29 SEIR-V Susceptible Infectious Recovered Exposed Deaths Vulnerable exposed Vulnerable infectious Vulnerable recovered Vulnerable deaths

17/29 17/29 SEIHURD Susceptible Infectious asympt Recovered Exposed Infectious sympt Hospitalaised ICU units Deaths

18/29 18/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ До этого рассматривали связь всех со всеми, теперь переходим к социальным сетям. • Ненаправленная сеть контактов (матрица смежности A)

19/29 19/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ: ПАРАДОКС ДРУЖБЫ 1/4 Какой узел занимает более выгодную/уязвимую позицию?

20/29 20/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ: ПАРАДОКС ДРУЖБЫ 2/4 Парадокс дружбы: твои друзья популярнее, чем ты!

21/29 21/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ: ПАРАДОКС ДРУЖБЫ 3/4 Распространение гриппа в Гарварде в 2009 году

22/29 22/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ: ПАРАДОКС ДРУЖБЫ 4/4 Источник: Christakis NA, Fowler JH (2010) Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks. PLoS ONE 5(9): e12948. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012948

23/29 23/29 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА СЕТЯХ До этого рассматривали связь всех со всеми, теперь переходим к социальным сетям. • Ненаправленная сеть контактов (матрица смежности A) • Вероятностная модель, то есть рассматриваем вероятности того, что узел находится в определённом состоянии: • 𝑠𝑖 𝑡 — вероятность, что узел восприимчив • 𝑥𝑖 𝑡 — вероятность, что узел заражён • 𝑟𝑖 𝑡 — вероятность, что узел выздоровел • Рассматриваем связную компоненту

24/29 24/29 SI МОДЕЛЬ 1/2 𝑆 → 𝐼 Теперь у нас вероятности, вероятности прописаны для каждого из узлов: 𝑠𝑖 𝑡 + 𝑥𝑖 𝑡 = 1; 𝑥𝑖 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 + 𝛽𝑠𝑖 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝛿𝑡; Уравнение заражения: 𝑑𝑥𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠𝑖 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 ; 𝑑𝑠𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡 = −𝛽𝑠𝑖 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 ;

25/29 25/29 SI МОДЕЛЬ 2/2 Дифференциальное уравнение: 𝑥𝑖 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝛽 1 − 𝑥𝑖 𝑡 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝛾𝑥𝑖 ;

26/29 26/29 SIS МОДЕЛЬ 1/2 𝑆 → 𝐼 → 𝑆 Теперь у нас вероятности, вероятности прописаны для каждого из узлов: 𝑠𝑖 𝑡 + 𝑥𝑖 𝑡 = 1; Уравнения заражения: 𝑑𝑥𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠𝑖 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑡 − 𝛾𝑥𝑖 ; 𝑑𝑠𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡 = −𝛽𝑠𝑖 ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝛾𝑥𝑖 ;

27/29 27/29 SIS МОДЕЛЬ 2/2 Дифференциальное уравнение: 𝑥𝑖 𝑡 + 𝛿𝑡 = 𝛽(1 − 𝑥𝑖 𝑡 ) ෍ 𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝛾𝑥𝑖 ;

28/29 28/29 ЗАДАНИЕ import networkx as nx import EoN import matplotlib.pyplot as plt G = nx.configuration_model([1,5,10]*100000) initial_size = 10000 gamma = 1. tau = 0.2 t, S, I = EoN.fast_SIS(G, tau, gamma, tmax = 10, initial_infecteds = (initial_size)) plt.plot(t, I) Взять любой граф, промоделировать распространение эпидемии с разными параметрами, визуализировать график и состояние графа в какой-то ммоент времени

24 сентября 2021 [email protected], [email protected] Анастасия Андреевна Корепанова м.н.с. лаборатории ТиМПИ Модели распространения эпидемий Абрамов Максим Викторович доцент кафедры информатики