2024年度秋学期　統計学　第13回　不確かな測定の不確かさを測る－不偏分散とt分布 (2024. 12. 18)

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関西大学総合情報学部浅野　晃統計学 2024年度秋学期第13回不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布

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ちょっと（ほんのちょっと）前回までの復習

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 3 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわかっているものとする σ2 （説明の都合です）標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃区間推定の考え方 4 数値をいくつか抽出して標本平均標本平均にすることでばらつきが小さくなる母平均（実際にはわからない）のまわりにばらついている標本平均の期待値＝母平均標本平均の分散＝母分散÷標本サイズ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃区間推定の考え方 5 標本平均の左右に区間をつける区間は母平均を母平均どの回の区間が母平均を含むか・含まないかはわからないが確率95%で母平均を含むように区間の幅を設定できる X 含む含む含まない含む（実際にはわからない）標本平均はばらついているが，前後に区間をつければ，母平均はたいていその区間に入っているようにできる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃信頼区間 6 区間は母平均を母平均 X 含むだろう含む含まない含む（実際にはわからない） 95%という大きな確率で母平均を含むように設定した区間だから，その１回でも含むと信じる母平均の［信頼係数］95%の［信頼区間］という（［95%信頼区間］）

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不偏分散💡💡

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 8 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわかっているものとする σ2 （説明の都合です）標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃母分散は，ふつうはわからない 9 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない（わからないから，いま推定しようとしている）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない母集団全体は調べていないし，母平均もわからない（わからないから，いま推定しようとしている）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない母集団全体は調べていないし，母平均もわからない（わからないから，いま推定しようとしている）母分散の「代用品」を，標本を使って計算できないか。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）データ：　標本 , ... X1 Xn

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）データ：　標本 , ... X1 Xn データの平均：

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）データ：　標本 , ... X1 Xn データの平均：本当は母平均だが，

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。分散＝(偏差)2の平均（データの各数値）ー（データの平均）データ：　標本 , ... X1 Xn わからないので標本平均で代用 ¯ X データの平均：本当は母平均だが，

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 分散＝(偏差)2の平均だから当然だけど…

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 分散＝(偏差)2の平均だから当然だけど… 本当にこれでいいの？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 X1

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 X1 X2 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X2 標本平均とのへだたり母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 標本平均とのへだたり母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 標本平均とのへだたり母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X1 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 母平均

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 母平均母平均はわからないから，が偏った標本かどうかはわからないが， X1 , X2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 12 標本サイズとする n = 2 標本は X1 , X2 ¯ X X1 X2 母平均とのへだたり（偏差） X1 X2 ¯ X 標本平均とのへだたり X2 X1 ¯ X 標本平均とのへだたりのほうがたいてい小さい母平均母平均はわからないから，が偏った標本かどうかはわからないが， X1 , X2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布これなら「標本平均との隔たり」と「母平均との隔たり」はかわらない ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布これなら「標本平均との隔たり」と「母平均との隔たり」はかわらない ¯ X ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本平均を用いた偏差 13 別の説明母集団の度数分布これなら「標本平均との隔たり」と「母平均との隔たり」はかわらない ¯ X こんなふうに偏っていると「標本平均との隔たり」のほうが小さい ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 14 母平均との隔たりよりも標本平均との隔たりのほうがたいてい小さい標本平均との隔たりを使って分散を計算すると，母分散よりもたいてい小さめになる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 14 母平均との隔たりよりも標本平均との隔たりのほうがたいてい小さい標本平均との隔たりを使って分散を計算すると，母分散よりもたいてい小さめになるでは，計算のときに少し大きめにしておけば？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ－ 1)で割る

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ－ 1)で割るこれを不偏分散（不偏標本分散）といい，母分散の代用に用いる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 + · · · + (Xn − ¯ X)2 （標本サイズ－ 1)で割るこれを不偏分散（不偏標本分散）といい，母分散の代用に用いる「不偏」とは？

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？標本平均との隔たりを使って分散を計算すると，母分散よりもたいてい小さめになる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？標本平均との隔たりを使って分散を計算すると，母分散よりもたいてい小さめになる母分散と一致するわけではないが母分散より大きくも小さくも平等にはずれる

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？標本平均との隔たりを使って分散を計算すると，母分散よりもたいてい小さめになる母分散と一致するわけではないが母分散より大きくも小さくも平等にはずれる「不偏」とは「えこひいきしない」こと

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃標本サイズ=2のときに，式で書いてみると 17 標本サイズ=2のとき，標本を，標本平均をとすると不偏分散は X1 , X2 ¯ X s2 s2 = 1 2 − 1 (X1 − ¯ X)2 + (X2 − ¯ X)2 {}内は，2つの「へだたり」の2乗の和？を代入すると ¯ X = X1 + X2 2 s2 = 1 2 − 1 (X1 − X1 + X2 2 )2 + (X2 − X1 + X2 2 )2 = 1 2 − 1 X1 − X2 2 2 + X2 − X1 2 2 = 1 2 − 1 (X1 − X2)2 2 「へだたり」は，ひとつしかないだから，2で割らずに1で割る

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不偏分散を用いた区間推定💡💡

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 19 前回の例題ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して，この人たちの点数を平均したところ50点でした。この試験の受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっているとき，受験者全体の平均点の95%信頼区間を求めてください。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 20 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわかっているものとする σ2 （説明の都合です）標本平均 ¯ X

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 21 考え方標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散がになる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 22 考え方標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散がになる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない不偏分散で代用する

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n 不偏分散

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃本当は，母分散はわからない 23 Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1) 本当は母分散はわからない不偏分散で代用する t = ¯ X − µ s2/n 不偏分散は何分布にしたがう？ t

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t = ¯ X − µ s2/n t統計量

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量（「スチューデントのt分布」という）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 24 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量（「スチューデントのt分布」という）発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 25 テキストの例題ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して，この人たちの点数を平均したところ50点でした。この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点の95%信頼区間を求めてください。

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 26 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので，

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 26 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので，不偏分散で代用 s2

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 は自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 27 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が面積=95% 境界の値はいくら？ t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 28 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく［上側2.5%点］

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 29 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) −t0.025 (n − 1) t(n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 がとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では標本平均=50 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では標本平均=50 不偏分散=25 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 31 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ 例題では標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 上側2.5%点　　は？ t0.025 (n − 1) P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% t0.025 (n − 1)

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値例題では n − 1 = 9 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値例題では n − 1 = 9 0.025 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 32 面積=2.5% パーセントの値例題では n − 1 = 9 0.025 t0.025 (9) = 2.262 t0.025 (n − 1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では標本平均=50 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では標本平均=50 不偏分散=25 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 33 例題では標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 計算すると，例題の答は「46.4以上53.6以下」（ [46.4, 53.6] ）の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ

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34 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回の例題と比較 34 不偏分散は，母分散の推定量なので，不確かどちらも標本平均=50 不偏分散=25　のとき標本サイズ=10 母分散=25　のとき母平均の95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6] →信頼区間が広い