解析力学入門 - Speaker Deck

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解析力学入門〜量子コンピュータを勉強するための基礎知識勉強会〜 Pre Nielsen - Chuang シリーズ ver1.4 2019/12/10 中井悦司 (Etsuji Nakai) 量子コンピューター仲間

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この資料の目的 2 ● Nielsen - Chuang の量子コンピューターの教科書を「しっかりと腹落ちして理解する」ために必要な基礎知識を広く勉強するための資料の一つです。 ● この資料では特に「解析力学」について、説明しています。（全体像は次ページを参照）

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量子回路計算の手順と量子アルゴリズムを理解する量子デバイスの動作原理を理解する線形代数古典物理学（解析力学）量子力学量子回路計算量子アルゴリズム量子デバイスの実装

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この勉強会の目的について 4 https://twitter.com/enakai00/status/1201412246817009664

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解析力学の歴史

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よくある誤解（？） 6

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実際のニュートンの仕事 ● 天体の運動を「幾何学的操作」によって導出する方法を整備 ● 「幾何学的操作」を解析学（微積分）の言葉で表現し直して一般化したものが「解析力学」 ● 解析力学から得られる公式の一つが有名な 7 https://digital.library.sydney.edu.au/nodes/view/7166

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解析力学の始祖「ラグランジュ」 ● 力学の根本法則を「ラグランジュ方程式」として定式化 ● 「幾何学的発想」に基づいた「最小作用の原理」からラグランジュ方程式が導出されることを発見 ● 大雑把にいうと「与えられた２点を移動する物体の軌跡は、ある量（作用）を最小にする軌跡に一致する」という原理 ● 現在は「ラグランジュ形式」の解析力学と呼ばれる 8

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ハミルトン形式の解析力学 ● 「ラグランジュ方程式」と数学的に同等な「ハミルトン方程式」を利用 ● 「座標と運動量」を用いた相空間での運動の記述、「エネルギー（ハミルトニアン）」を用いた物理系の定義など、解析力学の「物理的意味」がより明らかになる ● 統計力学や量子力学など、より現代的な物理学の基礎を与える ● 「多体系においても、単一のハミルトニアンで系全体の振る舞いが統合的に制御される」という視点は、量子ビットのエンタングルメントを理解するポイントになるかも？ 9

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力学系の記述方法

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力学のゴール ● 物体の「状態」が時間と共にどのように変化するかを数学的に予測する。 ● 物体の「状態」を数学的に記述する方法が必要。 ● 広がりのある物体の場合、物体の位置に加えて、配置方向や回転状態なども考える必要がある。 ● ここでは、広がりを無視して、物体の位置のみを記述することを考える。 ○ 広がりを考えない物体を「質点」と呼ぶ。 ○ 広がりのある物体は、多数の質点が集まったものとみなすこともできる。 11

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質点の記述方法 ● 質点の位置は、「座標値」で記述できる。 ● 座標の取り方は色々あるが、すべて互いに相互変換できる。（なので、どれか一つの座標で問題を解けば十分。） 12 デカルト座標極座標

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質点の運動法則に対する要請 ● 時刻　　　における座標値　　　　　　が分かれば、次の瞬間　　　　　の座標値は決定できるか？ ● できない。次の瞬間の位置は、その瞬間の速度　　　　　　にも依存する。 (*) 一般に時刻 t の関数を t で微分したものをドット記号で表す： ● （デカルト座標とは限らない）質点の座標を　　　　　　　として、質点の運動を決定する根本法則は、　　　　　　　　　　　　　を用いて表されるはずである。（厳密には、これに加えて、質点に加わる力も含まれる） 13

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最小作用の原理とラグランジュ方程式

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最小作用の原理 ● 唐突ですが。信じてください。 ● 時刻　に座標　　にあった質点が、時刻　に　　に到達したとする場合、ある関数　　　　　　があり、この質点は、次で計算される値 S が最小になる経路を通って運動する。 (*) ここでは複数の座標　　　　　　をまとめて　　と表記しています。） 15 ラグランジアン作用

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ラグランジュ方程式 ● 最小作用の原理は、微分方程式の形に書き直す事ができる。 ● 作用を最小にする経路を　　として、途中の経路をわずかに変化させる。 ● この時、作用の微小変化は次で計算される。（具体的な計算は後ほど） 16

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ラグランジュ方程式 ● もしも　　　　　　　だとすると、　　　となる変化　　が作れるので、最小作用の原理に反する。 ● したがって、すべての時刻において、次が成り立つ必要がある。 17 ：ラグランジュ方程式

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作用変分の計算 18

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● 外部からの力を受けずに　　平面上を運動する質点のラグランジアンは、次で与えられる。 ● ラグランジュ方程式は、次の2つになる。自由粒子のラグランジアン 19 等速直線運動質点の運動エネルギーに一致

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● y 軸方向に重力 mg を受ける質点のラグランジアンは、次で与えられる。 ● ラグランジュ方程式は、次の2つになる。放物運動 20 「運動エネルギー」-「位置エネルギー」ニュートンの運動方程式

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運動量保存則の一般化

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● y 軸方向に重力 mg を受ける質点のラグランジアン ● x に対するラグランジュ方程式 ● 一般にラグランジアンに変数 q が含まれない時、　　　　は保存量になることがわかる。一般化運動量 22 x 方向の運動量保存則一般化運動量

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● 原点からの距離 r のみに依存する位置エネルギー　　を持つ平面上の質点 ● 上式は、デカルト座標と極座標が混在しているので、極座標に統一すると次が得られる。（計算は次ページ） ● これは θ を含まないので、次の保存則が成り立つ。中心力を受ける質点 23 角運動量保存則

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運動量の極座標表示 24

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● ラグランジュ方程式は、最小作用の原理（「幾何学的」な原理）から得られるもので、座標の取り方に関係なく同じ形が使える。 ● ラグランジアンが与えられると、その系の振る舞いは、原理的にすべて決定される。（たとえば、運動量保存則が成り立つかどうかは、ラグランジアンを見ればわかってしまう。）ラグランジュ形式のポイント（まとめ） 25

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ハミルトン形式への移行

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● ラグランジアン　　　は、　と　を独立変数とみなした関数 ● 新しい変数（一般化運動量）を次で導入して・・・ ● これを　について解いて、　　　という形に変形すると、　を　　　で書き直す事ができる。独立変数の取り替え 27

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● 　　を変数とする新しい関数（ハミルトニアン）を次式で定義する。 ● この時、ラグランジュ方程式と等価な次の方程式が得られる。（証明は次ページ参照。数学的にはルジャンドル変換に相当。）独立変数の取り替え 28 ：ハミルトン方程式

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ハミルトン方程式の導出 29

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放物運動 30 運動エネルギー位置エネルギーハミルトニアンは、系全体のエネルギーに一致する

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放物運動 31 ● x 方向のハミルトン方程式 ● y 方向のハミルトン方程式通常の意味での運動量の定義 x 方向の運動量保存通常の意味での運動量の定義 y 方向のニュートン方程式

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中心力を受ける質点 32

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中心力を受ける質点 33 ● θ 方向のハミルトン方程式 ● r 方向のハミルトン方程式通常の意味での角運動量の定義角運動量保存遠心力！一定半径を保って運動する条件は・・・遠心力＝向心力

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エネルギー保存則と相空間による運動の記述

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エネルギー保存則 35 ● ハミルトニアンの値は変数　　　のみを通じてのみ変化するとする。（たとえば、位置エネルギーが時間に陽に依存する場合は除く。） ● この時、ハミルトン方程式より次が成り立つ。 ● ・・・ハミルトニアンは、必ずエネルギーに一致するの？？？エネルギー保存則！

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エネルギー保存則の考え方 36 ● 「すべての物理系には、対応するハミルトニアンが存在して、その系はハミルトン方程式にしたがって運動する」と、まずは信じる。 ● ある系の運動を観測して、その運動を正しく導くハミルトニアンを発見する。 ● 得られたハミルトニアンをその系の「エネルギー」と定義する。この定義により、系のエネルギーは必ず保存する。

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（参考）時空間の対称性と保存則の関係 37 ● ハミルトニアンがある座標に依存しない時、対応する一般化運動量は保存する。 ● 中心力を受ける質点の場合、ハミルトニアンは θ に依存しないので、それに対応して、角運動量が保存した。 ● つまり、空間をある方向に動かしても、系の性質（ハミルトニアン）が変化しなければ、対応する保存量が必ず存在する。 ● 同様に、ハミルトニアンが時刻に依存しない、すなわち、時刻を変えても系の性質が変わらないことに対応して、エネルギーが保存すると言える。

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調和振動子 38 ● バネ定数 k のバネに接続された質点には　　　　　の力が働くので、対応する位置エネルギーは ● ハミルトニアンとハミルトン方程式は x 0

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調和振動子 39 ● 一般解は、A と δ を任意の定数として、 ● この時、ハミルトニアン（エネルギー）の値は、 ● これより、点　　　　は、ある楕円上を回転運動することがわかる。（楕円の大きさはエネルギーによって決まる。）

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多体系（練成調和振動子） 40 結合項（質点間の相互作用を記述）

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相空間 41 ● 一般に多数の質点が存在する「多体系」においても、すべての質点の一般化座標・一般化運動量　　　　　　　　　　で表される「単一のハミルトニアン　　　　　　　　　　　によって、系全体の運動は決定される。 ● さらに、系全体の運動は、　　　　　　　　　を座標とする「多次元空間上の１点」の動きとして捉える事ができる。この空間を相空間と言う。 ● エネルギー保存則により、この点は、相空間上の「等エネルギー曲面」上を移動する。

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（参考）リウビルの定理 42 ● 相空間の連結部分の各点が運動方程式に従って移動する時、連結部分の体積は不変に保たれる。 ● 一次元　　　の場合で証明する ○ 密度　　　　で相空間に分布する点の集合の運動は、連続方程式を満たす ○ これを用いると密度関数の時間発展は次式になる ○ ハミルトン方程式を代入すると、上記は 0 になる。つまり、相空間に分布する点は密度を一定に保って運動するので、体積が増減することはない

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● 多体系の振る舞いは、その系のハミルトニアンによって一意に決定される。 ● 言い換えると、その系のハミルトニアンを決定することが、その系の運動を決める根本原理を理解することにつながる。（ハミルトン方程式から決まる運動が、実際に観測される運動に一致するようなハミルトニアンを探す。） ● 多体系の運動は、相空間の等エネルギー曲面上の「点」の運動として理解できる。ハミルトン形式のポイント（まとめ） 43

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● 量子力学においても、系の運動はハミルトニアンによって一意に決定される。 ● 量子力学では、エネルギーの値は自由にとることができず、一定の条件を満たすエネルギー値のみが存在する。（エネルギーの量子化） ● 量子力学では、座標と運動量の値を同時に決定することができない。つまり、相空間上の点として、系の状態を記述することはできない。代わりに、ヒルベルト空間上の点、もしくは、波動関数を用いて、系の状態を記述する。量子力学へのヒント 44

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Thank You.