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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie L’autre problème de Kakeya Roger Mansuy Journée Maths-Monde et Séminaire IREM Paris 11 mars 2020 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Introduction Sōichi Kakeya (1886-1947) Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Question Quelle est la plus petite surface balayée lors d’un retournement d’une ai- guille de longueur 1 ? Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Question Quelle est la plus petite surface balayée lors d’un retournement d’une ai- guille de longueur 1 ? Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Question Quelle est la plus petite surface balayée lors d’un retournement d’une ai- guille de longueur 1 ? ▶ aire du disque : π 4 ▶ aire du triangle de Reuleaux : 1 2 (π − √ 3) ▶ aire du triangle équilatéral : 1 √ 3 ▶ aire de la deltoïde : π 8 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Question Quelle est la plus petite surface balayée lors d’un retournement d’une ai- guille de longueur 1 ? ▶ aire du disque : π 4 ≃ 0.785 ▶ aire du triangle de Reuleaux : 1 2 (π − √ 3)≃ 0.705 ▶ aire du triangle équilatéral : 1 √ 3 ≃ 0.577 ▶ aire de la deltoïde : π 8 ≃ 0.393 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Abram Besicovitch (1891-1970) a établi le résultat suivant. Proposition Pour tout ε > 0, il existe une surface qui convient d’aire inférieure à ε. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie En cheminant avec Kakeya, Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière, ENS Éditions, 2014. Ce livre, qui a reçu le Prix Tangente 2015, est en libre accès au format numérique sur la page des auteurs. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Le problème des sous-sommes On the Set of Partial Sums of an Infinite Series, S. Kakeya, 1914 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Définition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle. Un réel x est représenté par cette suite s’il existe une partie A ⊂ N telle que x = ∑ n∈A un. On note S(u) l’ensemble des réels représentés par la suite u. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Définition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle. Un réel x est représenté par cette suite s’il existe une partie A ⊂ N telle que x = +∞ ∑ n=0 n∈A un. On note S(u) l’ensemble des réels représentés par la suite u. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Définition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle. Un réel x est représenté par cette suite s’il existe une partie A ⊂ N telle que x = +∞ ∑ n=0 n∈A un. On note S(u) l’ensemble des réels représentés par la suite u. Question À quoi ressemble l’ensemble S(u) pour une suite u donnée ? Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Soit une suite réelle (un)n . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Soit une suite réelle (un)n . ▶ 0 ∈ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Soit une suite réelle (un)n . ▶ 0 ∈ S(u). ▶ S(u) ⊂ [ − +∞ ∑ n=0 u− n , +∞ ∑ n=0 u+ n ] avec des conventions naturelles d’écriture si les sommes sont infinies. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Soit une suite réelle (un)n . ▶ 0 ∈ S(u). ▶ S(u) ⊂ [ − +∞ ∑ n=0 u− n , +∞ ∑ n=0 u+ n ] avec des conventions naturelles d’écriture si les sommes sont infinies. ▶ Si la suite u est positive et S(u) admet un plus grand élément M, alors x ∈ S(u) ⇐⇒ M − x ∈ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Définition Soit (un)n une suite réelle. La série de terme général un ▷ est convergente si la suite ( n ∑ k=0 uk ) n converge, ▷ est absolument convergente si la suite ( n ∑ k=0 |uk| ) n converge, ▷ est semi-convergente si elle est convergente sans être absolument conver- gente. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Dans sa note, Sōichi Kakeya énonce quelques résultats : Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Dans sa note, Sōichi Kakeya énonce quelques résultats : ▶ Si la série de terme général un est absolument convergente, l’ensemble S(u) est fermé. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Dans sa note, Sōichi Kakeya énonce quelques résultats : ▶ Si la série de terme général un est absolument convergente, l’ensemble S(u) est fermé. ▶ Une condition suffisante pour que l’ensemble S(u) soit un intervalle est, pour tout n, Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Dans sa note, Sōichi Kakeya énonce quelques résultats : ▶ Si la série de terme général un est absolument convergente, l’ensemble S(u) est fermé. ▶ Une condition suffisante pour que l’ensemble S(u) soit un intervalle est, pour tout n, ▶ Une condition suffisante pour que l’ensemble S(u) soit d’intérieur vide est, pour tout n, l’inégalité contraire. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Dans sa note, Sōichi Kakeya énonce quelques résultats : ▶ Si la série de terme général un est absolument convergente, l’ensemble S(u) est fermé. ▶ Une condition suffisante pour que l’ensemble S(u) soit un intervalle est, pour tout n, ▶ Une condition suffisante pour que l’ensemble S(u) soit d’intérieur vide est, pour tout n, l’inégalité contraire. ▶ Une conjecture pour les autres cas... infirmée en 1980. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle et non stationnaire. Alors, les éléments de S(u) ne sont pas isolés. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle et non stationnaire. Alors, les éléments de S(u) ne sont pas isolés. Soit x ∈ S(u) et ε > 0. On dispose d’un entier N tel que 0 < |uN| < ε. Alors, l’un des réels x + uN ou x − uN appartient à S(u)∩]x − ε, x + ε[. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle telle que la série de terme général un converge absolument. Alors, S(u) est une partie fermée. Montrons ce résultat pour une suite (un)n positive. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Soit (xl)l une suite à valeurs dans S(u) qui converge vers x. Notons, pour tout l, Al ⊂ N une partie associée à la représentation de xl . Considérons A = lim sup Al , l’ensemble des indices qui apparaissent dans une infinité de parties Al . Montrons que x = ∑ n∈A un. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Supposons A majorée. Considérons m un entier au-delà de A. Les entiers hors de A et inférieurs à m appartiennent à un nombre fini de Ak . Pour tout j suffisamment grand, Aj ∩ [[0, m]] = A. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Supposons A majorée. Considérons m un entier au-delà de A. Les entiers hors de A et inférieurs à m appartiennent à un nombre fini de Ak . Pour tout j suffisamment grand, Aj ∩ [[0, m]] = A. Par conséquent, 0 ≤ xj − ∑ k∈A uk = ∑ k∈Aj uk − ∑ k∈A uk ≤ +∞ ∑ k=m+1 uk. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Supposons A majorée. Considérons m un entier au-delà de A. Les entiers hors de A et inférieurs à m appartiennent à un nombre fini de Ak . Pour tout j suffisamment grand, Aj ∩ [[0, m]] = A. Par conséquent, 0 ≤ xj − ∑ k∈A uk = ∑ k∈Aj uk − ∑ k∈A uk ≤ +∞ ∑ k=m+1 uk. Le terme de droite est le reste partiel d’une série convergente donc de limite nulle quand m → +∞. En conclusion, x = ∑ k∈A uk. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Supposons A non majorée ; notons (nk)k la suite croissante des valeurs de A. Pour tout k, considérons Ajk une partie ayant exactement les mêmes k premiers éléments que A, c’est-à-dire Ajk ∩ [[0, nk]] = {n0, . . . , nk}. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Supposons A non majorée ; notons (nk)k la suite croissante des valeurs de A. Pour tout k, considérons Ajk une partie ayant exactement les mêmes k premiers éléments que A, c’est-à-dire Ajk ∩ [[0, nk]] = {n0, . . . , nk}. Alors, 0 ≤ xjk − k ∑ l=0 unl ≤ ∞ ∑ l=nk+1 ul. En faisant tendre k → +∞, x = ∑ k∈A uk. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas intervalle Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas intervalle Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 2−(n+1) l’ensemble des réels représentés est Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas intervalle Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 2−(n+1) l’ensemble des réels représentés est S(u) = [0, 1]. Il s’agit de l’écriture dyadique des éléments de l’intervalle [0, 1]. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle telle que, pour tout n, |un| ≤ ∞ ∑ k=n+1 |uk|. Alors, S(u) est un intervalle. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Montrons cette proposition dans le cas où la suite (un)n est positive. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Montrons cette proposition dans le cas où la suite (un)n est positive. Proposition Soit (un)n une suite positive de limite nulle telle que, pour tout n, un ≤ ∞ ∑ k=n+1 uk. Alors, S(u) est l’intervalle [ 0, +∞ ∑ n=0 un ] (ou [0, +∞[ si la série diverge). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . ▶ prenons n0 , le plus petit entier m tel que um ≤ x Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . ▶ prenons n0 , le plus petit entier m tel que um ≤ x ▶ prenons n1 , le plus petit entier m > n0 tel que un0 + um ≤ x Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . ▶ prenons n0 , le plus petit entier m tel que um ≤ x ▶ prenons n1 , le plus petit entier m > n0 tel que un0 + um ≤ x ▶ ... Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . ▶ prenons n0 , le plus petit entier m tel que um ≤ x ▶ prenons n1 , le plus petit entier m > n0 tel que un0 + um ≤ x ▶ ... ▶ prenons nk , le plus petit entier m > nk−1 tel que k−1 ∑ j=0 unj + um ≤ x. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Mettons en place une stratégie gloutonne pour obtenir une représentation d’un réel x ∈ ] 0, +∞ ∑ n=0 un [ . ▶ prenons n0 , le plus petit entier m tel que um ≤ x ▶ prenons n1 , le plus petit entier m > n0 tel que un0 + um ≤ x ▶ ... ▶ prenons nk , le plus petit entier m > nk−1 tel que k−1 ∑ j=0 unj + um ≤ x. ▶ ... Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Si, pour un indice k, on a l’égalité k ∑ j=0 unj = x, alors, la construction s’arrête et on dispose d’une représentation de x. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Si, pour un indice k, on a l’égalité k ∑ j=0 unj = x, alors, la construction s’arrête et on dispose d’une représentation de x. ▷ Sinon, pour tout k ∈ N, k ∑ j=0 unj < x. La famille ainsi construite est infinie et, par passage à la limite, +∞ ∑ j=0 unj ≤ x. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie • Si la suite (nk)n comporte tous les entiers sauf un nombre fini, on note m le plus grand entier qui n’y apparaît pas et k tel que nk = m + 1. m m + 1 nk nk−1 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie • Si la suite (nk)n comporte tous les entiers sauf un nombre fini, on note m le plus grand entier qui n’y apparaît pas et k tel que nk = m + 1. m m + 1 nk nk−1 Alors, +∞ ∑ j=0 unj ≤ x < k−1 ∑ j=0 unj + um, Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie • Si la suite (nk)n comporte tous les entiers sauf un nombre fini, on note m le plus grand entier qui n’y apparaît pas et k tel que nk = m + 1. m m + 1 nk nk−1 Alors, +∞ ∑ j=0 unj ≤ x < k−1 ∑ j=0 unj + um, donc +∞ ∑ l=m+1 ul = +∞ ∑ j=k unj < um ce qui contredit l’inégalité en hypothèse au rang m. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie • Sinon, notons (mk)k la suite croissante des entiers qui n’apparaissent pas dans la suite (nk)k . Alors, pour tout k, +∞ ∑ j=0 nj

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie • Sinon, notons (mk)k la suite croissante des entiers qui n’apparaissent pas dans la suite (nk)k . Alors, pour tout k, +∞ ∑ j=0 nj

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle, décroissante en valeur absolue telle que S(u) est un intervalle. Alors, la condition de la proposition précédente est nécessaire, c’est-à-dire, pour tout n, |un| ≤ ∞ ∑ k=n+1 |uk|. Effectuons la preuve dans le cas d’une suite positive. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Par contraposition, supposons qu’il existe un indice n tel que +∞ ∑ k=n+1 uk < un . ▷ Les réels +∞ ∑ k=n+1 uk et un sont représentés. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Par contraposition, supposons qu’il existe un indice n tel que +∞ ∑ k=n+1 uk < un . ▷ Les réels +∞ ∑ k=n+1 uk et un sont représentés. ▷ Soit x strictement entre ces valeurs. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Par contraposition, supposons qu’il existe un indice n tel que +∞ ∑ k=n+1 uk < un . ▷ Les réels +∞ ∑ k=n+1 uk et un sont représentés. ▷ Soit x strictement entre ces valeurs. Dans une représentation de x par cette suite, il ne peut y avoir de terme d’indice inférieur ou égal à n puisque ces termes sont supérieurs à un donc strictement supérieurs à x (et la suite est positive) : ∀m ≤ n, um ≥ un > x. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Ainsi, il ne peut y avoir que des termes d’indices supérieurs à n + 1. Or la somme maximale de tous ces termes est +∞ ∑ k=n+1 uk et elle est strictement inférieure à x. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Ainsi, il ne peut y avoir que des termes d’indices supérieurs à n + 1. Or la somme maximale de tous ces termes est +∞ ∑ k=n+1 uk et elle est strictement inférieure à x. En conclusion, x n’est pas représenté par cette suite. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Ainsi, il ne peut y avoir que des termes d’indices supérieurs à n + 1. Or la somme maximale de tous ces termes est +∞ ∑ k=n+1 uk et elle est strictement inférieure à x. En conclusion, x n’est pas représenté par cette suite. Ainsi, S(u) ∩ ] un, +∞ ∑ k=n+1 uk [ = ∅. Par conséquent, S(u) n’est pas un intervalle. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 1 n + 1 l’ensemble des réels représentés est R+ . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 1 n + 1 l’ensemble des réels représentés est R+ . La suite est de limite nulle et l’inégalité est immédiatement vérifiée puisque, pour tout entier n, ∞ ∑ k=n+1 |uk| = +∞. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Notons (pn)n la suite croissante des nombres premiers. Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 1 pn l’ensemble des réels représentés est R+ . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = (−1)n n + 1 l’ensemble des réels représentés est R. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = (−1)n n + 1 l’ensemble des réels représentés est R. Avec la proposition, on obtient S(u+) = R+, S(u−) = R+ (S(−u−) = R− ) et, par suite, S(u) = R. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Avec la même méthode, on obtient un « analogue » du théorème de réar- rangement de Dirichlet. Proposition Soit une suite (un)n qui définit une série semi-convergente. Alors, tout réel est représenté par cette suite. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie L’exemple suivant, construit sur la suite de Fibonacci (Fn)n , est cité par Paulo Ribenboim dans son livre My Numbers, My Friends. Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 1 Fn l’ensemble des réels représentés est un segment [0, S]. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie L’exemple suivant, construit sur la suite de Fibonacci (Fn)n , est cité par Paulo Ribenboim dans son livre My Numbers, My Friends. Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 1 Fn l’ensemble des réels représentés est un segment [0, S]. Pour tout n, Fn+1 ≤ 2Fn donc un+1 ≥ 1 2 un . Par récurrence, pour tout l, un+l ≥ 1 2l un . Par conséquent, ∞ ∑ k=n+1 |uk| ≥ un ∞ ∑ l=1 1 2l = un. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Richard André-Jeannin a établi en 1989 que la constante S = ∞ ∑ n=1 1 Fn est irrationnelle. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par u0 = 2 et ∀n ∈ N∗, un = 2−n, l’ensemble des réels représentés est Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par u0 = 2 et ∀n ∈ N∗, un = 2−n, l’ensemble des réels représentés est la réunion de ▶ l’intervalle [0, 1] pour les réels dont la représentation n’utilise pas u0 , 0 1 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par u0 = 2 et ∀n ∈ N∗, un = 2−n, l’ensemble des réels représentés est la réunion de ▶ l’intervalle [0, 1] pour les réels dont la représentation n’utilise pas u0 , ▶ l’intervalle [2, 3] pour ceux dont la représentation utilise u0 , 0 1 2 3 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Pour la suite (un)n donnée par u0 = 2 et ∀n ∈ N∗, un = 2−n, l’ensemble des réels représentés est la réunion de ▶ l’intervalle [0, 1] pour les réels dont la représentation n’utilise pas u0 , ▶ l’intervalle [2, 3] pour ceux dont la représentation utilise u0 , 0 1 2 3 S(u) = {0, 2} + [0, 1]. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie On adapte cet exemple pour obtenir la proposition suivante. Proposition Soit (un)n une suite réelle de limite nulle telle qu’il existe N tel que, pour tout n ≥ N, |un| ≤ ∞ ∑ k=n+1 |uk|. Alors, S(u) est une réunion finie d’intervalles (disjoints). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Soit α > 1 et (un)n la suite définie par un = 1 (n+1)α . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Soit α > 1 et (un)n la suite définie par un = 1 (n+1)α . On peut estimer le reste partiel de la série associé par comparaison se- rie/intégrale : +∞ ∑ k=n+1 1 kα ≥ ∫ +∞ n+1 dt tα = 1 α − 1 · 1 (n + 1)α−1 . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Soit α > 1 et (un)n la suite définie par un = 1 (n+1)α . On peut estimer le reste partiel de la série associé par comparaison se- rie/intégrale : +∞ ∑ k=n+1 1 kα ≥ ∫ +∞ n+1 dt tα = 1 α − 1 · 1 (n + 1)α−1 . À partir d’un certain rang, l’inégalité suivante est vérifiée : 1 α − 1 · 1 (n + 1)α−1 ≥ 1 nα . Par conséquent, l’ensemble S(u) est réunion finie d’intervalles disjoints. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas Cantor Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas Cantor Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 2 · 3−(n+1), l’ensemble des réels représentés est Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas Cantor Exemple Pour la suite (un)n donnée par ∀n ∈ N, un = 2 · 3−(n+1), l’ensemble des réels représentés est l’ensemble triadique de Cantor. 0 1 1 3 2 3 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle, terme général d’une série absolument conver- gente et telle que, pour tout n, |un| > ∞ ∑ k=n+1 |uk|. Alors, S(u) est un ensemble de Cantor. Pour la démonstration, on suppose la suite positive. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Notons, pour tout entier n, Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Notons, pour tout entier n, ▶ An l’ensemble (fini) des réels qui peuvent être représentés avec les premières valeurs de la suite : u0 , …, un , Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Notons, pour tout entier n, ▶ An l’ensemble (fini) des réels qui peuvent être représentés avec les premières valeurs de la suite : u0 , …, un , ▶ Rn le reste partiel ∞ ∑ k=n+1 uk. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Puis, pour tout entier n, ▶ pour tout x ∈ An , Jx,n l’intervalle [x, x + Rn]. Pour n = 0, on obtient les deux intervalles [0, R0], [u0, u0 + R0]. Pour n = 1, on obtient les quatre intervalles [0, R1], [u1, u1 +R1], [u0, u0 +R1], [u0 +u1, u0 +u1 +R1]. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Puis, pour tout entier n, ▶ pour tout x ∈ An , Jx,n l’intervalle [x, x + Rn]. Pour n = 0, on obtient les deux intervalles [0, R0], [u0, u0 + R0]. Pour n = 1, on obtient les quatre intervalles [0, R1], [u1, u1 +R1], [u0, u0 +R1], [u0 +u1, u0 +u1 +R1]. ▶ Kn = ∪ x∈An Jx,n . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Remarquons que, pour tout n et tout x ∈ An , l’intervalle Jx,n contient les deux intervalles Jx,n+1 = [x, x + Rn+1], Jx+un+1,n+1 = [x + un+1, x + un+1 + Rn+1], x x x + Rn+1 x + un+1 x + Rn x + un+1 + Rn+1 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Remarquons que, pour tout n et tout x ∈ An , l’intervalle Jx,n contient les deux intervalles Jx,n+1 = [x, x + Rn+1], Jx+un+1,n+1 = [x + un+1, x + un+1 + Rn+1], x x x + Rn+1 x + un+1 x + Rn x + un+1 + Rn+1 et ces deux intervalles sont disjoints puisque un+1 > Rn+1. On a enlevé une zone centrale de longueur un+1 − Rn+1 . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Remarquons que, pour tout n et tout x ∈ An , l’intervalle Jx,n contient les deux intervalles Jx,n+1 = [x, x + Rn+1], Jx+un+1,n+1 = [x + un+1, x + un+1 + Rn+1], x x x + Rn+1 x + un+1 x + Rn x + un+1 + Rn+1 et ces deux intervalles sont disjoints puisque un+1 > Rn+1. On a enlevé une zone centrale de longueur un+1 − Rn+1 . Par conséquent, Kn est la réunion de 2n+1 intervalles disjoints de lon- gueur Rn+1 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Remarquons que, pour tout n et tout x ∈ An , l’intervalle Jx,n contient les deux intervalles Jx,n+1 = [x, x + Rn+1], Jx+un+1,n+1 = [x + un+1, x + un+1 + Rn+1], x x x + Rn+1 x + un+1 x + Rn x + un+1 + Rn+1 et ces deux intervalles sont disjoints puisque un+1 > Rn+1. On a enlevé une zone centrale de longueur un+1 − Rn+1 . Par conséquent, Kn est la réunion de 2n+1 intervalles disjoints de lon- gueur Rn+1 et la suite (Kn)n est décroissante pour l’inclusion. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Remarquons que, pour tout n et tout x ∈ An , l’intervalle Jx,n contient les deux intervalles Jx,n+1 = [x, x + Rn+1], Jx+un+1,n+1 = [x + un+1, x + un+1 + Rn+1], x x x + Rn+1 x + un+1 x + Rn x + un+1 + Rn+1 et ces deux intervalles sont disjoints puisque un+1 > Rn+1. On a enlevé une zone centrale de longueur un+1 − Rn+1 . Par conséquent, Kn est la réunion de 2n+1 intervalles disjoints de lon- gueur Rn+1 et la suite (Kn)n est décroissante pour l’inclusion. L’ensemble K = ∩ n Kn est un ensemble de Cantor. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn : il existe xn ∈ An tel que a ∈ Jxn,n Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn : il existe xn ∈ An tel que a ∈ Jxn,n c’est-à-dire xn ≤ a ≤ xn + Rn. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn : il existe xn ∈ An tel que a ∈ Jxn,n c’est-à-dire xn ≤ a ≤ xn + Rn. Pour tout n, a − Rn ≤ xn ≤ a, et Rn → 0 : la suite (xn)n converge vers a. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn : il existe xn ∈ An tel que a ∈ Jxn,n c’est-à-dire xn ≤ a ≤ xn + Rn. Pour tout n, a − Rn ≤ xn ≤ a, et Rn → 0 : la suite (xn)n converge vers a. Or, la suite (xn)n est à valeurs dans S(u) qui est fermé : donc a ∈ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie ▷ Par construction, on obtient l’inclusion S(u) ⊂ K. ▷ Soit a ∈ K. Pour tout n, a ∈ Kn : il existe xn ∈ An tel que a ∈ Jxn,n c’est-à-dire xn ≤ a ≤ xn + Rn. Pour tout n, a − Rn ≤ xn ≤ a, et Rn → 0 : la suite (xn)n converge vers a. Or, la suite (xn)n est à valeurs dans S(u) qui est fermé : donc a ∈ S(u). En conclusion, S(u) = K. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Pour une suite (un)n vérifiant les conditions de la proposition précédente, la mesure (de Lebesgue) de S(u) est la limite lim 2n+1Rn. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie En conservant les notations de la démonstration, on obtient toujours : Proposition Soit (un)n une suite réelle, terme général d’une série absolument conver- gente. Alors, S(u) = K. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie En conservant les notations de la démonstration, on obtient toujours : Proposition Soit (un)n une suite réelle, terme général d’une série absolument conver- gente. Alors, S(u) = K. C’est la nature de l’ensemble K qui change... Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Le dessin suivant explique la situation pour une suite positive : ▶ Si un > Rn , x x + Rn x + un x + un + Rn ▶ Si un = Rn , ▶ Si un < Rn , Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Le dessin suivant explique la situation pour une suite positive : ▶ Si un > Rn , x x + Rn x + un x + un + Rn ▶ Si un = Rn , x x + Rn x + un x + un + Rn ▶ Si un < Rn , x x + Rn x + un x + un + Rn Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Soit (un)n une suite réelle définissant une série absolument convergente et telle que, pour tout une infinité de n, |un| > ∞ ∑ k=n+1 |uk|. Alors, S(u) admet une infinité de composantes connexes. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas hybride Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas hybride Proposition Soit ρ ∈]0, 1[. Pour la suite géométrique u = (ρn)n , l’ensemble des réels représentés est ▶ un intervalle si ρ ≥ 1 2 , ▶ un ensemble de Cantor si ρ < 1 2 . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Cas hybride Proposition Soit ρ ∈]0, 1[. Pour la suite géométrique u = (ρn)n , l’ensemble des réels représentés est ▶ un intervalle si ρ ≥ 1 2 , ▶ un ensemble de Cantor si ρ < 1 2 . Pour tout n, ∞ ∑ k=n+1 ρk = ρn+1 1 − ρ et ce terme est ▶ soit toujours supérieur à ρn si ρ 1−ρ ≥ 1, c’est-à-dire ρ ≥ 1 2 , ▶ soit toujours strictement inférieur à ρn. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Voici un exemple typique des cas « intermédiaires ». Exemple Considérons la suite (décroissante) (un)n≥1 définie, pour tout n, par u2n−1 = 3 · 4−n, u2n = 2 · 4−n. Alors, pour tout n, u2n = 2 · 4−n > 5 3 · 4−n = +∞ ∑ k=2n+1 uk mais u2n−1 = 3 · 4−n < 11 3 · 4−n = +∞ ∑ k=2n uk Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k 3 4l+1 + 2 4n+1 . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Voici une utilisation de cette remarque pour obtenir une représentation par la suite (un)n d’un nombre à partir de son écriture en base 4 : 3 4 + 2 42 + 1 43 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Voici une utilisation de cette remarque pour obtenir une représentation par la suite (un)n d’un nombre à partir de son écriture en base 4 : 3 4 + 2 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 1 42 + 1 43 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Voici une utilisation de cette remarque pour obtenir une représentation par la suite (un)n d’un nombre à partir de son écriture en base 4 : 3 4 + 2 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 1 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 4 43 + 1 43 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Voici une utilisation de cette remarque pour obtenir une représentation par la suite (un)n d’un nombre à partir de son écriture en base 4 : 3 4 + 2 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 1 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 4 43 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 3 43 + 2 43 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Remarquons que, pour tous k ≤ n et tout c ∈ {1, 2, 3}, c 4k + 1 4n+1 = c − 1 4k + n ∑ l=k u2l+1 + u2(n+1) . Voici une utilisation de cette remarque pour obtenir une représentation par la suite (un)n d’un nombre à partir de son écriture en base 4 : 3 4 + 2 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 1 42 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 4 43 + 1 43 = 3 4 + 1 42 + 3 43 + 2 43 = 2 4 + 3 42 + 2 42 + 3 43 + 2 43 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Prenons un autre exemple : 3 4 + 2 42 + 1 43 + 1 44 + 1 46 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Prenons un autre exemple : 3 4 + 2 42 + 1 43 + 1 44 + 1 46 = 3 4 + 2 42 + 1 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Prenons un autre exemple : 3 4 + 2 42 + 1 43 + 1 44 + 1 46 = 3 4 + 2 42 + 1 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 = 3 4 + 1 42 + 3 43 + 2 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Prenons un autre exemple : 3 4 + 2 42 + 1 43 + 1 44 + 1 46 = 3 4 + 2 42 + 1 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 = 3 4 + 1 42 + 3 43 + 2 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 = 2 4 + 3 42 + 2 42 + 3 43 + 2 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) Prenons un autre exemple : 3 4 + 2 42 + 1 43 + 1 44 + 1 46 = 3 4 + 2 42 + 1 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 = 3 4 + 1 42 + 3 43 + 2 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 = 2 4 + 3 42 + 2 42 + 3 43 + 2 43 + 3 45 + 3 46 + 2 46 Le procédé termine par une représentation lorsque le premier « chiffre » ne devient pas 1 (ici car il est initialement égal à 3). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) On en déduit, par récurrence sur n ≥ 1, que tous les nombres de la forme 3 4 + n ∑ k=2 ck 4k avec, pour tout k, ck ∈ {0, 1, 2, 3}, se représentent avec la suite finie (ul)l≤2n . Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) On en déduit, par récurrence sur n ≥ 1, que tous les nombres de la forme 3 4 + n ∑ k=2 ck 4k avec, pour tout k, ck ∈ {0, 1, 2, 3}, se représentent avec la suite finie (ul)l≤2n . Comme S(u) est fermé, en passant à la limite, on obtient [3 4 , 1] ⊂ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) De même, on montre que tous les nombres dont l’écriture en base 4 com- mence par 3 42 appartiennent à S(u) d’où [ 3 42 , 1 4 ] ⊂ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) De même, on montre que tous les nombres dont l’écriture en base 4 com- mence par 3 42 appartiennent à S(u) d’où [ 3 42 , 1 4 ] ⊂ S(u). On peut poursuivre ainsi et montrer que, pour tout entier k, [ 3 4k+1 , 1 4k ] ⊂ S(u). Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple (suite) De même, on montre que tous les nombres dont l’écriture en base 4 com- mence par 3 42 appartiennent à S(u) d’où [ 3 42 , 1 4 ] ⊂ S(u). On peut poursuivre ainsi et montrer que, pour tout entier k, [ 3 4k+1 , 1 4k ] ⊂ S(u). On peut également construire d’autres intervalles inclus dans S(u) en trans- latant un intervalle [ 3 4k+1 , 1 4k ] avec une somme de termes 2 4l pour des l < k. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition Il existe une suite (un)n de limite nulle telle que ▶ S(u) est un compact non vide, ▶ S(u) n’est pas une réunion finie d’intervalles, ▶ S(u) est d’intérieur non vide donc n’est pas un ensemble de Cantor. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie En étant un peu plus soigneux, on établit ainsi le résultat suivant. Proposition Il existe une suite (un)n de limite nulle telle que ▶ S(u) est un compact non vide, ▶ S(u) est l’adhérence de son intérieur, ▶ toute extrémité d’une composante non réduite à un point de S(u) est point d’accumulation de composantes réduites à un point. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Définition Un cantorvalle est une partie A de R telle que ▶ A est un compact non vide, ▶ A est l’adhérence de son intérieur, ▶ toute extrémité d’une composante non réduite à un point de A est point d’accumulation de composantes réduites à un point. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Un cantorvalle peut être construit en partant de l’ensemble triadique de Cantor et en rajoutant les parties centrales enlevées aux étapes impaires. Ensemble de Cantor Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Exemple Un cantorvalle peut être construit en partant de l’ensemble triadique de Cantor et en rajoutant les parties centrales enlevées aux étapes impaires. Ensemble de Cantor Cantorvalle Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition ▷ Deux ensembles de Cantor sont homéomorphes. ▷ Deux cantorvalles sont homéomorphes. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition ▷ Deux ensembles de Cantor sont homéomorphes. ▷ Deux cantorvalles sont homéomorphes. Voici un schéma pour comprendre la construction d’un homéomorphisme entre deux ensembles de Cantor : Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition ▷ Deux ensembles de Cantor sont homéomorphes. ▷ Deux cantorvalles sont homéomorphes. Voici un schéma pour comprendre la construction d’un homéomorphisme entre deux ensembles de Cantor : Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Proposition ▷ Deux ensembles de Cantor sont homéomorphes. ▷ Deux cantorvalles sont homéomorphes. Voici un schéma pour comprendre la construction d’un homéomorphisme entre deux ensembles de Cantor : Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Énonçons la classification de Guthrie, Nymann et Sáenz (1989 et 2000). Proposition Soit (un)n une suite réelle positive telle que la série de terme général un converge. Alors, S(u) est homéomorphe à l’un des trois ensembles suivants ▶ une réunion finie d’intervalles disjoints, ▶ un ensemble de Cantor, ▶ un cantorvalle. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Bilan Le théorème précédent indique les différentes topologies possibles pour l’ensemble S(u) : la classification est terminée. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Bilan Le théorème précédent indique les différentes topologies possibles pour l’ensemble S(u) : la classification est terminée... mais, sauf dans quelques cas particuliers, on ne sait pas déterminer pour une suite donnée où se trouve S(u) dans cette classification. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Bibliographie ▶ On the Set of Partial Sums of an Infinite Series, S. Kakeya, Proceedings of the Tokyo Mathematico-Physical Society. 2nd Series, 1913-1914, Volume 7, Issue 14, pp.250–251 ▶ Über beliebige Teilsummen absolut konvergenter Reihen, H. Hornich, Monatshefte für Mathematik und Physik, 1941, Volume 49, Issue 1, pp.316–320 ▶ The topological structure of the set of subsums of an infinite series, J. A. Guthrie, J. E. Nymann, 1989, Colloq. Math. 55, pp.323–327 ▶ On a paper of Guthrie and Nymann on subsums of infinite series, J. E. Nymann, R. Sáenz, Colloquium Mathematicae, 2000, Volume 83, Issue 1, pp.1–4 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Bibliographie ▶ Achievement Sets of Sequences, R. Jones, The American Mathematical Monthly, 2011, Volume 118, Number 6, pp.508–521 ▶ Cantorvals and Subsum Sets of Null Sequences, Z. Nitecki, The American Mathematical Monthly, 2015, Volume 122, Number 9, pp.862–870 ▶ Topological and algebraic aspects of subsums of series A. Bartoszewicz, M.E. Filipczak, F. Prus-Wisniowski, in Traditional and present-day topics in real analysis, 2013, pp.345–366 Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction Sous-sommes Cas intervalle Cas Cantor Cas hybride Bibliographie Envoi Exercice Déterminer les suites réelles (un)n pour lesquelles il existe σ, une permu- tation de N, telle que (u σ(n) )n est croissante à partir d’un certain rang. Roger Mansuy L’autre problème de Kakeya