Великая теорема Ферма

Пифагоровы тройки. В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Помимо прочего, члены этого братства изучали целочисленные тройки - комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x²+y²=z². Таких троек было найдено бесконечное множество. Один из способов получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток.

Пьер де Ферма. Пьер де Ферма – французский математик, родился 17 августа 1601 года на юге Франции в городе Бомон-де-Ломань. По профессии он был юристом, математика всегда была для него лишь увлечением, но он заложил основы многих ее областей: аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей.

Определение теоремы. При чтении II-й книги «Арифметики» Диофанта, Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Вместо уравнения Пифагора x²+y²=z², Ферма занялся рассмотрением его варианта x3+y3=z3. Было обнаружено, что найти числа, удовлетворяющие этому уравнению, непросто. Позже Ферма заменил степень 2 на целые числа большие 3, и решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению: xn + yn = zn, где n = 3, 4, 5, ... . Доказательство теоремы в общем случае Ферма не оставил.

Определение теоремы. При чтении II-й книги «Арифметики» Диофанта, Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Вместо уравнения Пифагора x²+y²=z², Ферма занялся рассмотрением его варианта x3+y3=z3. Было обнаружено, что найти числа, удовлетворяющие этому уравнению, непросто. Позже Ферма заменил степень 2 на целые числа большие 3, и решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению: xn + yn = zn, где n = 3, 4, 5, ... . Доказательство теоремы в общем случае Ферма не оставил.

Поиск доказательства. • Леонард Эйлер, 1770 г. - доказательство для n = 3 • Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле, 1825 г. - доказательство для n = 5 • Габриель Ламе, 1839 г. - доказательство для n = 7 Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста. Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Эрнст Куммер

В 1954 году два японских математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Один из этих математиков, Танияма, сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Оказалось, что они совпадают. Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи. После тщательной проверки была выдвинута гипотеза: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но долгое время не была доказана. Ютака Танияма Горо Симура

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Он преобразовал исходное уравнение Ферма к виду: y2 = x3 + (AN — BN)·x2 — ANBN. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. С этого времени Великая теорема Ферма была связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, можно сделать вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось. Герхард Фрей Кен Рибет

С самого детства Эндрю Уайлс занимался математикой. Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс начал работать над доказательством гипотезы Таниямы–Симуры. Через семь лет работы Уайлс завершил доказательство. В 1993 году он представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма. Началась серьёзная работа по проверке доказательства. Оказалось, что данное решение содержит ошибку, хотя в целом и верно. С помощью известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора в 1994 году было написано исправленное и дополненное доказательство теоремы. В 1995 году в свет вышел окончательный, «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.