論文 Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion を読む (Part 1) Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会 2023 年 2 月 17 日（金） Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

基本情報 Title: Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion, Part 1: Theory and Application to Three Simple Gait Models Author: Twan Koolen, Tomas de Boer, John Rebula, Ambarish Goswami, and Jerry Pratt The International Journal of Robotics Research (IJRR) 31(9), pp.1094–1113, 2012 https://doi.org/10.1177/0278364912452673 ResearchGate で著者が無料公開： https://www.researchgate.net/publication/255757664_ Capturability-based_analysis_and_control_of_legged_locomotion_ Part_1_Theory_and_application_to_three_simple_gait_models Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

はじめに 概要：二足歩行ロボットの可捕性解析． 可捕性とは……平たく言えば「立ち止まれるかどうか」 論文では 3 つの二足歩行の低次元モデルを扱う． この資料では，1 つ目のモデルのみを解説し， 残りは比較結果だけ参照する． 発表者補足コメント 二足歩行の安定性解析の金字塔 被引用数 WoS 284 / Google Scholar 522 Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

モデル 考えるモデルは非線形かつハイブリッド： ˙ x = f(x, u) if hi (x) = 0 (1a) x ← gi (x) if hi (x) = 0 (1b) u ∈ U(x) (1c) x：状態，u：入力， U：許容入力集合，i ∈ I ⊂ N：添字集合． hi = 0：離散状態切り替え面，gi ：状態ジャンプ． 状態がジャンプ（離散的に遷移）するのは， 踏み替えをする（ステップを踏む）とき． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

N 歩可捕性 Def. 1: N-step capturable N ∈ N，Xfailed を系の失敗（転んだ）状態集合とする． 状態 x0 が Xfailed に対して N-step capturable であるとは， x0 から始まり，N 回の踏み替えを伴って， Xfailed に到達しない（転ばない）軌道が， 少なくとも 1 つ存在することである． viability kernel（失敗集合に達する軌道の補集合）の研究を 一般化した定義． ある種の「有限時間内」の安定性を与える． N → ∞ を考えることも可能． 例）受動歩行器は，止まれないが転ぶこともない． ただし，∞-step capturable ではない安定限界が存在する． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

N 歩捕点，可捕領域 Def. 2: N-step capture point, region x0 を初期状態，Xfailed を失敗状態集合とする． 点 r が N-step capture point であるとは，x0 から始まり， 足の位置を現在位置 r からどこか一点に踏み替えることで， Xfailed に到達せず（転ぶことなく） ， (N − 1)-step capturable な状態に到達する軌道が， 少なくとも 1 つ存在することを言う． N-step capture point の集合を N-step capture region とする． N 歩捕点は再帰的な定義になっている． 0 歩捕点は踏み替えずに転ばないでいられる点， すなわちピタッと立ち止まれる点を指す． Fig. 1, 2 参照． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

3D LIPM 3D linear inverted pendulum mode / 3 次元線形倒立モード. 重心まわりのトルク（角運動量）を無視， 重心の並進運動のみに着目 脚は点接触，脚の運動によって重心はある水平面に拘束 3D LIPM の定義では，重心がある平面上にあれば OK. 今回は簡単化のため水平面に限定している． 3D LIPM は二足歩行の低次元モデルであると同時に， 多体系力学の「固有モード」でもある． 角運動量がなく，環境との接触を伴う剛体を考えたとき， 3D LIPM は重心の運動方程式そのもの． （※ただし鉛直方向の運動には制限あり） ． Fig. 3 参照． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

運動方程式 重心の運動方程式： m¨ r = f + mg (2) m：系の総質量，r：重心位置，g：重力加速度，f：蹴り力． モーメントバランス（蹴り力はモーメントを発生させない） ： −(r − rankle ) × f = 0 (3) (2) は重心の鉛直位置の拘束（z = z0 ）を用いて， 3D LIPM に書き直せる： ¨ r = ω2 0 (P r − rankle ) (4) ω0 = g/z0 ：固有振動数，P ：x-y 平面への射影行列． (4) は線形システム！ Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

許容入力集合 現実的な入力の制約を考える必要がある． ここでは， 歩幅の上限：lmax ステップ間のインターバル（最小踏み替え時間） ：∆ts を考える． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

無次元化 パラメータ不変な系の振る舞いを見るため， 無次元化したモデルを作る． r = r z0 , rankle = rankle z0 , t = ω0 t とおくと， ˙ r = d dt r = ˙ r ω0 z0 ¨ r = d dt ˙ r = ¨ r ω2 0 z0 = ¨ r g ここで r = x y 1 T となる． 無次元化した運動方程式： ¨ r = P r − rankle (5) Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

瞬間捕点 LIPM の軌道エネルギー（ハミルトニアン）を考える． ELIP,x = 1 2 ˙ x 2 + 1 2 (x − xankle )2 (6a) 重心が足首の方向に動くとき…… 1 ELIP,x > 0：x は xankle を通過する． 2 ELIP,x < 0：x は xankle に届かない． 3 ELIP,x = 0：x はちょうど xankle で止まる． 3 番目で，逆に x が止まれるような xankle は？ ⇔ 瞬間捕点 ric = P r + ˙ r (7) ric = P r + ˙ r ω0 (8) 今，瞬間捕点に足をおけば止まれる (1-step capturable)！ Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

瞬間捕点のダイナミクス (1/2) 瞬間捕点に足をおけなかった場合，瞬間捕点はどうなるか？ (5) の 1 行目から，xankle を入力とした状態方程式を得る： ˙ x ¨ x = 0 1 1 0 x ˙ x + 0 −1 xankle (9) 線形システムの A 行列の固有値は ±1． 固有ベクトルを用いた座標変換が可能． x1 x2 = 1 1 1 −1 x ˙ x (10) ˙ x1 ˙ x2 = 1 0 0 −1 x1 x2 + −1 1 xankle (11) 不安定固有値を持つ状態変数 x1 が瞬間捕点に一致する． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

瞬間捕点のダイナミクス (2/2) x 方向と y 方向は同様に考えられるから， (11) の 1 行目を用いて瞬間捕点のダイナミクスを得る． ˙ ric = ric − rankle (12) Theorem 1 瞬間捕点は，自身と足の位置を結ぶ線上を動く． そして瞬間補点の速度は，それら二点間の距離に比例する． 足首位置が固定されている場合，系は線形なので， 瞬間捕点は具体的に以下の式で計算可能． ric (∆t ) = [ric (0) − rankle ] e∆t + rankle (13) Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

可捕性解析 (1/3) 可補領域の「幅」di を考える． 0-step capturability 足が点なので，可捕領域は広がりを持たない（d0 = 0） ． i.e. 0-step capturable ⇔ 瞬間捕点が足首位置に一致する． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

可捕性解析 (2/3) N-step capturability 定義から，1 歩で (N − 1)-step capturable になる必要がある． ric (∆ts ) − rankle ≤ dN−1 + lmax (14) この式のお気持ち： 「踏み替えにかかる時間 ∆ts 経過後の瞬間捕点と， 今の足の位置との距離が， (N − 1)-step capture region + 歩幅 以下であれば OK」 (13) 式（ric の解析解）を用いると ric (0) − rankle ≤ (dN−1 + lmax )e−∆ts = dN (15) 再帰表現が得られた： dN = (dN−1 + lmax )e−∆ts , d0 = 0 (16) Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

可捕性解析 (3/3) 再帰表現から，可捕性の距離の変化がわかる． dN+1 − dN = (dN − dN−1 )e−∆ts (17) e−∆ts = e− g/z0∆ts が， 歩数を重ねる毎に，可捕領域の幅を増幅/減衰させる． ∞-step capturability は閉形式で書ける． d∞ = d0 + ∞ N=0 [dN+1 − dN ] (18a) = lmax · e−∆ts 1 − e−∆ts (18b) 最大歩幅 lmax が大きいほど良い！ 踏み替え時間 ∆ts が小さいほど良い！ と言える． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

ほか2つのモデル 足が面積を持つ場合のモデル （足首のトルクが使える） 重心まわりの角運動量が使える場合のモデル （脚が重い，腕を振る，等） それぞれの場合の解析もされている（スライドでは省略） ． 操作できる量が多ければより良さそうである (Sec. 8)． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

まとめ まとめ 二足歩行ロボットが転ばない条件を解析的に導出した． 理論から実際のロボットの仕様に関する指針が出た． 歩幅が大きくできると嬉しい → 脚長を長く 踏み替え時間を小さくできると嬉しい → 脚の関節速度上限を上げる（減速比高すぎるとダメ） 謝辞 神戸大学の田崎勇一先生に感謝． 本資料の作成にあたって，一部，田崎先生による ヒューマノイド・ロボティクス 2019 夏の学校の 講義資料を参考にした． Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会