KABAF Butchi's Math Night - Music Disclosed in Mathematics

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ぶっち博士の数学ナイト数学で紐解く音楽 KABAF 2018-11-02 カマコン岩淵勇樹

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アウトライン本日のお品書きそもそも「音」とは？音高の数学和音の数学音律の数学

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自己紹介岩淵勇樹 ( IWABUCHI Yu(u)ki ) 金沢大学自然科学研究科修了博士（工学）面白法人カヤックにてWebのエンジニア7年目

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活動の紹介幾何学図形を元にした音楽「フラクタル音楽」 Instagram carpet_fractal

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そもそも「音」とは？各分野における「音」認知科学的な「音」物理的な「音」工学的な「音」音を構成する3要素

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認知科学的な「音」聴覚としての知覚鼓膜を伝って知覚される Blausen.com staff (2014). "Medical gallery of Blausen Medical 2014". WikiJournal of Medicine 1 (2). DOI:10.15347/wjm/2014.010. ISSN 2002-4436. [link]

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物理的な「音」振動空気の圧力の粗密が波となって伝わる https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CPT-sound-physical- manifestation.svg

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工学的な「音」時間を軸とした1次元信号つまりグラフで表せる

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音を構成する3要素音量音高 ← 今日の話題はこれ音色 ※音高のことを「音程」と呼ぶのは誤用です

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音高の数学テルミン音高と周波数スペクトルフーリエ変換音高は周波数で成立する

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テルミン周波数をダイレクトに変化させる電子楽器の元祖明確なキーがない https://www.youtube.com/watch?v=w5qf9O6c20o

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音高と周波数 ● 繰り返す速さが違う ● 時間に対する振動数[Hz]が周波数低い音高い音

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音ってどこまで高く／低くなるの？ ● 振動数[Hz]は0〜∞ ● 可聴域 ● モスキート音 https://www.youtube.com/watch?&v=4JZ73t6ElQg

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スペクトル ● 音楽プレイヤーの視覚エフェクトでよく見るやつ https://github.com/dpayne/cli-visualizer

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フーリエ変換 ● 音のグラフは周波数が違う波の足し合わせ ● sinとかcosとかの和になる

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フーリエ変換 ● 周波数が基本周波数、2倍、3倍、… ● 後述の「倍音」に関連

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スペクトル ● 周波数ごとの音高をグラフ化 ● これが先ほどの「スペクトル」の正体

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和音の数学音高と周波数オクターブ音名の命名規則倍音とは周波数と倍音基本音と倍音起立、礼、着席和音は倍音で成立する

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これってどういう法則？ ● ド → 1 ● ミ → 5 ● ソ → 3

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オクターブカラオケのキーを変えずにきれいにハマる高さの単位（ユニゾンというやつ）音高が1周する間隔 http://www.publicdomainpictures.net/view-image.php?image=44326

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音名の命名規則 C D E F G A B ← Aを基準として440Hzにすることが多いドレミファソラシ ← ドから始まるけどドはAじゃなくてC C0 C1 C2 C3 ← 区別のためオクターブ数を添えて書く時がある C♯ C♭ ← シャープとフラットは後ろに書く

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オクターブ数＝周波数？オクターブ数は周波数に比例しない等差数列ではない ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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オクターブ数＝周波数？周波数が2倍になると1オクターブUP 等比数列 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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倍音とは基本音となる周波数の何倍か

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周波数と倍音 1倍音、2倍音、4倍音、8倍音… がオクターブ違い ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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周波数と倍音 3倍音、5倍音、6倍音、7倍音って？「ド」以外の音が入る ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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基本音と倍音 3倍音、6倍音は「ラ」 5倍音は「ミ」 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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基本音と倍音 3倍音の「ラ」を基本音にすれば 6倍音は1オクターブ上 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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ドレミは倍音！ ● ド → 1倍音 ● ミ → 5倍音 ● ソ → 3倍音

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純正律の対応表合唱などで使われる「純正律」は単純な分数比で構成される Note 音名 C D E F G A B C 計算式 (比率) 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 具体値 1 1.125 1.25 1.33 1.5 1.66 1.875 2

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スペクトルの復習周波数（音高）ごとの強さをグラフ化

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起立、礼、着席 E G C （ミソド） 5, 3, 1 → 5 : 3 : 4 D G B （レソシ） 9, 3, 15 → 3 : 4 : 5 E G C （ミソド） 5, 3, 1 → 5 : 3 : 4 ※ 全体を同じ数で割ったり　2を好きなだけ掛けたり割ったりしてよい https://www.youtube.com/watch?v=WMBgOAJmSHg

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音律の数学音律五度圏純正律 12平均律数学的特徴の強い変わった音律パッヘルベルのカノンコードおさらい動画音律も倍音で成立する

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音律音楽を構成する音高のセット代表的な音律 ● 純正律（合唱など） ● 12平均律（ピアノなど）

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五度圏ドとソの関係（3倍音）の連鎖でできる輪 https://ja.wikipedia.org/wiki/五度圏

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12平均律: 妥協の音律純正律音名 C D E F G A B C 計算式 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 具体値 1.0 1.125 1.25 1.33 1.5 1.66 1.875 2.0 12 平均律計算式 1 22/12 24/12 25/12 27/12 29/12 211/12 2 具体値 1.0 1.122 1.259 1.334 1.498 1.681 1.887 2.0

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数学的特徴の強い変わった音律ピタゴラス音律 2/3と3/2を繰り返し掛ける今はほとんど使われない https://www.youtube.com/watch?v=hq-SrgV7_Ow

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ピタゴラス音律の対応表 12 平均律音名 C D E F G A B C 計算式 1 22/12 24/12 25/12 27/12 29/12 211/12 2 具体値 1.0 1.122 1.259 1.334 1.498 1.681 1.887 2.0 ピタゴラス音律計算式 1 (3/2)2×2-1 (3/2)4×25 (3/2)-1×2 3/2 (3/2)3×2-1 (3/2)5×2-2 2 具体値 1.0 1.125 1.265 1.333 1.5 1.687 1.898 2.0

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パッヘルベルのカノン C→G→Am→Em→F→C→F→G https://www.youtube.com/watch?v=NlprozGcs80

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コードこれも倍音の組み合わせ C E G の3音を同時に弾いてC（メジャー）など「マイナー」は倍音の比率が「メジャー」と違う

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おさらい動画ピタゴラス音律五度圏カノン https://www.youtube.com/watch?v=YvKx4DvcTjM

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研究紹介博士論文 bion 倍音距離コトダマの可視化ぶっち博士渾身の成果

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博士論文「図形と音声の変換手法とその応用に関する研究」 http://butchi.jp/documents/d-thesis/ デモ: http://butchi.jp/documents/mus85demo/

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bion

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bion: 螺旋と放射

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bionと倍音

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bionと倍音ドミソ

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デモ https://butchi.github.io/bion-sound/

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倍音距離: 最近の独自研究音と音の間に距離を定義する ex: ドとオクターブ上のドは距離0、ドとソは近い、ドとド#は遠い etc… → 和音や音律を数学的に解析できる

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コトダマの可視化鎌倉が舞台の映画『きみの声をとどけたい』から着想を得た、声と音楽の可視化デモ: https://kotodamabu.github.io/interaction-ipsj-2018/ インタラクション2018「コトダマの可視化に関する一手法」岩淵勇樹, 小松原宏識, 西田涼麻, 中丸潤

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まとめ ● 音高は周波数が支配している ● 和音は倍音によって成立する ● 音律も倍音によって成立する

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ご清聴ありがとうございました