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ぶっち博士の数学ナイト 数学で紐解く音楽 KABAF 2018-11-02 カマコン 岩淵 勇樹

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アウトライン 本日のお品書き そもそも「音」とは? 音高の数学 和音の数学 音律の数学

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自己紹介 岩淵 勇樹 ( IWABUCHI Yu(u)ki ) 金沢大学自然科学研究科修了 博士(工学) 面白法人カヤックにてWebのエンジニア7年目

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活動の紹介 幾何学図形を元にした音楽 「フラクタル音楽」 Instagram carpet_fractal

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そもそも 「音」とは? 各分野における「音」 認知科学的な「音」 物理的な「音」 工学的な「音」 音を構成する3要素

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認知科学的な「音」 聴覚としての知覚 鼓膜を伝って知覚される Blausen.com staff (2014). "Medical gallery of Blausen Medical 2014". WikiJournal of Medicine 1 (2). DOI:10.15347/wjm/2014.010. ISSN 2002-4436. [link]

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物理的な「音」 振動 空気の圧力の粗密が 波となって伝わる https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CPT-sound-physical- manifestation.svg

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工学的な「音」 時間を軸とした1次元信号 つまりグラフで表せる

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音を構成する3要素 音量 音高 ← 今日の話題はこれ 音色 ※音高のことを「音程」と呼ぶのは誤用です

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音高の数学 テルミン 音高と周波数 スペクトル フーリエ変換 音高は周波数で成立する

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テルミン 周波数をダイレクトに変化させる 電子楽器の元祖 明確なキーがない https://www.youtube.com/watch?v=w5qf9O6c20o

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音高と周波数 ● 繰り返す速さが違う ● 時間に対する振動数[Hz]が周波数 低い音 高い音

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音ってどこまで高く/低くなるの? ● 振動数[Hz]は0〜∞ ● 可聴域 ● モスキート音 https://www.youtube.com/watch?&v=4JZ73t6ElQg

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スペクトル ● 音楽プレイヤーの視覚エフェクトでよく見るやつ https://github.com/dpayne/cli-visualizer

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フーリエ変換 ● 音のグラフは周波数が違う波の足し合わせ ● sinとかcosとかの和になる

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フーリエ変換 ● 周波数が基本周波数、2倍、3倍、… ● 後述の「倍音」に関連

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スペクトル ● 周波数ごとの音高をグラフ化 ● これが先ほどの「スペクトル」の正体

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和音の数学 音高と周波数 オクターブ 音名の命名規則 倍音とは 周波数と倍音 基本音と倍音 起立、礼、着席 和音は倍音で成立する

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これってどういう法則? ● ド → 1 ● ミ → 5 ● ソ → 3

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オクターブ カラオケのキーを変えずにきれいにハマる高さの単位(ユニゾンというやつ) 音高が1周する間隔 http://www.publicdomainpictures.net/view-image.php?image=44326

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音名の命名規則 C D E F G A B ← Aを基準として440Hzにすることが多い ドレミファソラシ ← ドから始まるけどドはAじゃなくてC C0 C1 C2 C3 ← 区別のためオクターブ数を添えて書く時がある C♯ C♭ ← シャープとフラットは後ろに書く

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オクターブ数=周波数? オクターブ数は周波数に比例しない 等差数列ではない ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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オクターブ数=周波数? 周波数が2倍になると1オクターブUP 等比数列 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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倍音とは 基本音となる周波数の何倍か

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周波数と倍音 1倍音、2倍音、4倍音、8倍音… がオクターブ違い ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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周波数と倍音 3倍音、5倍音、6倍音、7倍音って? 「ド」以外の音が入る ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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基本音と倍音 3倍音、6倍音は「ラ」 5倍音は「ミ」 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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基本音と倍音 3倍音の「ラ」を基本音にすれば 6倍音は1オクターブ上 ※「ド」と周波数の対応はデタラメ

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ドレミは倍音! ● ド → 1倍音 ● ミ → 5倍音 ● ソ → 3倍音

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純正律の対応表 合唱などで使われる「純正律」は単純な分数比で構成される Note 音名 C D E F G A B C 計算式 (比率) 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 具体値 1 1.125 1.25 1.33 1.5 1.66 1.875 2

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スペクトルの復習 周波数(音高)ごとの強さをグラフ化

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起立、礼、着席 E G C (ミソド) 5, 3, 1 → 5 : 3 : 4 D G B (レソシ) 9, 3, 15 → 3 : 4 : 5 E G C (ミソド) 5, 3, 1 → 5 : 3 : 4 ※ 全体を同じ数で割ったり  2を好きなだけ掛けたり割ったりしてよい https://www.youtube.com/watch?v=WMBgOAJmSHg

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音律の数学 音律 五度圏 純正律 12平均律 数学的特徴の強い変わった音律 パッヘルベルのカノン コード おさらい動画 音律も倍音で成立する

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音律 音楽を構成する音高のセット 代表的な音律 ● 純正律(合唱など) ● 12平均律(ピアノなど)

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五度圏 ドとソの関係(3倍音)の連鎖でできる輪 https://ja.wikipedia.org/wiki/五度圏

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純正律の対応表 合唱などで使われる「純正律」は単純な分数比で構成される Note 音名 C D E F G A B C 計算式 (比率) 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 具体値 1 1.125 1.25 1.33 1.5 1.66 1.875 2

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12平均律: 妥協の音律 純 正 律 音名 C D E F G A B C 計算式 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 具体値 1.0 1.125 1.25 1.33 1.5 1.66 1.875 2.0 12 平 均 律 計算式 1 22/12 24/12 25/12 27/12 29/12 211/12 2 具体値 1.0 1.122 1.259 1.334 1.498 1.681 1.887 2.0

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数学的特徴の強い変わった音律 ピタゴラス音律 2/3と3/2を繰り返し掛ける 今はほとんど使われない https://www.youtube.com/watch?v=hq-SrgV7_Ow

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ピタゴラス音律の対応表 12 平 均 律 音名 C D E F G A B C 計算式 1 22/12 24/12 25/12 27/12 29/12 211/12 2 具体値 1.0 1.122 1.259 1.334 1.498 1.681 1.887 2.0 ピ タ ゴ ラ ス 音 律 計算式 1 (3/2)2×2-1 (3/2)4×25 (3/2)-1×2 3/2 (3/2)3×2-1 (3/2)5×2-2 2 具体値 1.0 1.125 1.265 1.333 1.5 1.687 1.898 2.0

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パッヘルベルのカノン C→G→Am→Em→F→C→F→G https://www.youtube.com/watch?v=NlprozGcs80

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コード これも倍音の組み合わせ C E G の3音を同時に弾いてC(メジャー)など 「マイナー」は倍音の比率が「メジャー」と違う

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おさらい動画 ピタゴラス音律 五度圏 カノン https://www.youtube.com/watch?v=YvKx4DvcTjM

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研究紹介 博士論文 bion 倍音距離 コトダマの可視化 ぶっち博士渾身の成果

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博士論文 「図形と音声の変換手法とその応用に関する研究」 http://butchi.jp/documents/d-thesis/ デモ: http://butchi.jp/documents/mus85demo/

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bion

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bion: 螺旋と放射

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bionと倍音

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bionと倍音 ド ミ ソ

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デモ https://butchi.github.io/bion-sound/

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倍音距離: 最近の独自研究 音と音の間に距離を定義する ex: ドとオクターブ上のドは距離0、ドとソは近い、ドとド#は遠い etc… → 和音や音律を数学的に解析できる

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コトダマの可視化 鎌倉が舞台の映画『きみの声をとどけたい』から 着想を得た、声と音楽の可視化 デモ: https://kotodamabu.github.io/interaction-ipsj-2018/ インタラクション2018「コトダマの可視化に関する一手法」 岩淵 勇樹, 小松原 宏識, 西田 涼麻, 中丸 潤

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まとめ ● 音高は周波数が支配している ● 和音は倍音によって成立する ● 音律も倍音によって成立する

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ご清聴ありがとうございました