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傾向スコア定理の補足(定理2:条件付き独立性の証明)
{Y1, Y0} ⊥ T | e(X)
(証明){Y1, Y0} ⊥ T | e(X) ⇔ P(T=1|{Y1, Y0}, e(X)) = P(T=1|e(X)) …(*)
と書けるので,これを示す.バランシングの証明の(2)式より
(*) ⇔ P(T=1|{Y1, Y0}, e(X)) = e(X) …(**)
ここで
P(T=1|{Y1, Y0}, e(X))
= E[P(T=1|{Y1, Y0}, X)|{Y1, Y0}, e(X)]
= E[P(T=1|X)|{Y1, Y0}, e(X)] ∵ 条件2:(共変量の)条件付き独立性
= E[e(X)|{Y1, Y0}, e(X)] = e(X)
(**)が示されたので,(*)が示された■