Coqの公理 Masaki Hara (qnighy) 2016/04/23

型システムと公理系 Coqの型システム (CIC/pCIC) 強正規化性により 正当化 Coqの公理系 集合モデルにより 正当化 HoTTの公理系 ∞-亜群モデルにより 正当化 両立しない

Coqの公理 同一性 2つの値の同一性を 保証する。 構成 何らかの値の存在を 保証する。 古典論理 選択 記述 真偽に基づく 2択の提供 存在するものを 集める Coqの項として 書ける

同一性の公理 関数の外延性 各点で等しい関数は等しい FunctionalExtensionality.functional_extensionality 命題の外延性 同値な命題は等しい 対応する公理なし Coq.Sets.Ensembles.Extensionality_Ensembles の帰結 証明非依存性 証明は区別できない ProofIrrelevance.proof_irreleavance JM同値性 集合間の同値性はただ1つ JMeq.JMeq_eq

値の強さ ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。

一意選択 ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。 一意選択 各点で一意存在するなら一様に存在 ClassicalUniqueChoice.unique_choice

選択 ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。 選択 各点で存在するなら一様に存在 ClassicalChoice.choice

関係選択 ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。 関係選択 各点での存在を一意存在に絞れる RelationalChoice.relational_choice

記述 ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。 記述 各点での一意存在を具体的な項に Description.constructive_definite_description

不定記述 ∀, ∃, , ∀, ∃! , , ∀, , ∀, , ∃, ∀, , 各点での存在のみ。 各点での一意存在。 一様に存在。 具体的な項。 具体的な項。 不定記述 各点での存在を具体的な項に IndefiniteDescription.constructive_indefinite_description

古典論理 古典論理 命題の真偽で場合分けする証明 Classical.classic 情報つき排中律 命題の真偽で場合分けする構成 対応する公理なし ClassicalDescription.excluded_middle_informative

非古典論理のもとでの不定記述 不定記述 各点での存在を具体的な項に IndefiniteDescription.constructive_indefinite_description ヒルベルトの 「酒場のパラドックス」型不定記述 Epsilon.epsilon_statement 非古典論理では不定記述より強い