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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第4部・「その先の解析学」への導入 ／ 第13回 複素関数論ダイジェスト(2) 孤立特異点と留数

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なにをするんでしたっけ？🤔🤔

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 3 まっとうには計算できません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C C 1 z4 + 1 dz 　 　 を計算すると 上の積分も求まる

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前回の復習 コーシーの積分定理

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 5 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 5 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分定理 5 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ず C f(z)dz = 0 積分定 　 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 積分は0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの話は 6 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの話は 6 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの話は 6 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 積分は？

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの話は 6 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 積分は？ 正則でない「穴」によって決まる

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f(z) = zn の積分

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに回って積分する

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 8 関数をべき級数で表して,各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1 正の向き

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 9 n = 0, 1, 2, … のとき f(z) = z0, z1, z2, … が単位円周C の内部で正則なので 。 C f(z)dz = 0 コーシーの積分定理により

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 10 n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて とおいて とする f(z) = 1 zn n = 1,2,3,…

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 10 n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて とおいて とする f(z) = 1 zn n = 1,2,3,… 経路 C 上では z = eiθ (0 θ < 2π) 実軸 虚軸 1 1 C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 10 n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて とおいて とする f(z) = 1 zn n = 1,2,3,… 経路 C 上では z = eiθ (0 θ < 2π) 実軸 虚軸 1 1 C 1 zn = 1 (eiθ)n = e−inθ つまり

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 10 n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて とおいて とする f(z) = 1 zn n = 1,2,3,… C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθieiθdθ = i 2π 0 ei(1−n)θdθ 経路 C 上では z = eiθ (0 θ < 2π) 実軸 虚軸 1 1 C 1 zn = 1 (eiθ)n = e−inθ つまり よって

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 10 n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて とおいて とする f(z) = 1 zn n = 1,2,3,… C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθieiθdθ = i 2π 0 ei(1−n)θdθ 経路 C 上では z = eiθ (0 θ < 2π) 実軸 虚軸 1 1 C 置換積分 1 zn = 1 (eiθ)n = e−inθ つまり よって

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 = i 2π 0 dθ = 2πi n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 = i 2π 0 dθ = 2πi n = 2, 3, … のとき n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 = i 2π 0 dθ = 2πi n = 2, 3, … のとき C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 = i 2π 0 dθ = 2πi n = 2, 3, … のとき C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 より n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 11 について f(z) = 1 zn C 1 z dz = i 2π 0 ei(1−n)θdθ n = 1 = i 2π 0 dθ = 2πi n = 2, 3, … のとき C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 より C 1 zn dz = 0 n = 1のとき

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 12 つまり C 1 zn dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 　 　 C 1 z dz =2πi

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 12 つまり C 1 zn dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 　 　 C 1 z dz =2πi また，a を中心とする半径1の円周をC とすると

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 12 つまり C 1 zn dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 　 　 C 1 z dz =2πi また，a を中心とする半径1の円周をC とすると 実軸 虚軸 C a

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 zn の積分を考える 12 つまり C 1 zn dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 　 　 C 1 z dz =2πi また，a を中心とする半径1の円周をC とすると C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 実軸 虚軸 C a

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コーシーの積分公式

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 14 正則関数の任意の点での値は，その点を囲む閉曲線上の値だけできまる 領域 D で正則な関数 f の，点 z における値 f(z) は， D 内で点 z を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ で表される z = 0 のときは,原点を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ で表される

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 正則関数の任意の点での値は，その点を囲む閉曲線上の値だけできまる

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 正則関数の任意の点での値は，その点を囲む閉曲線上の値だけできまる 正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから，

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 正則関数の任意の点での値は，その点を囲む閉曲線上の値だけできまる 正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから，

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 15 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 正則関数の任意の点での値は，その点を囲む閉曲線上の値だけできまる 正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから， 周囲（囲む閉曲線上）の値によって その中心の値が決まってしまっても 不思議ではない

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で 原点では正則でないが を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で 原点では正則でないが グレーの部分では正則 を積分 f(ζ) ζ 関数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 16 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ のほうの証明を考える O C Cr P Q 原点 こういう経路で 原点では正則でないが グレーの部分では正則 を積分 f(ζ) ζ 関数 コーシーの積分定理により， 積分＝０

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う −Cr f(ζ) ζ dζ = − Cr f(ζ) ζ dζ 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 17 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 　　　　　　打ち消し合う −Cr f(ζ) ζ dζ = − Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 つまり C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略）

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　 よって

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　 よって f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コーシーの積分公式 18 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 　 　 Cr f(0) ζ dζ 　 　 　 に収束する（詳細略） Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 　 　 よって f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ※コーシーの積分公式から， 　 「正則関数は何度でも微分できる」ことが 　 導かれる（概略は付録で）

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孤立特異点と ローラン級数展開

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの見通し 20 孤立特異点とは f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 こういう，正則関数にあいた「穴」 （１点を除いて正則）

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ここからの見通し 21 孤立特異点をもつ関数について 孤立特異点の周りの積分を使って 関数が級数に展開できる（ローラン級数展開） −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 ローラン級数を積分することで 孤立特異点の周りの積分は 「留数」だけで表されることがわかる 留数を別途求められれば，積分が簡単に求まる

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 22 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 前と同じ経路で f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 22 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 前と同じ経路で f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 22 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 前と同じ経路で f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 等比級数の和の形 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 等比級数の和の形 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 等比級数の和の形 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a ζ は外側の経路上だから a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 等比級数の和の形 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a ζ は外側の経路上だから a C Cʹ P Q Cʹʹ 絶対値が１より小さく，収束する

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 23 等比級数の和の形 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a ζ は外側の経路上だから a C Cʹ P Q Cʹʹ 絶対値が１より小さく，収束する 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · ·

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 24 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 24 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 　 　

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 24 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ こちらの ζ は内側の経路上 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 　 　 a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 24 f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ こちらの ζ は内側の経路上 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 　 　 a C Cʹ P Q Cʹʹ 1 ζ − z = −1 ζ − a 1 + ζ − a z − a + ζ − a z − a 2 + · · ·

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 25 以上から f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 25 以上から f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . ) 孤立特異点 a のまわりのローラン級数

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 26 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 26 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . ) ところで a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 26 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . ) ところで グレーの部分で f(z) は正則なので， コーシーの積分定理より 1 2πi C f(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0 (n = 1, 2, . . . ) a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 26 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . ) ところで グレーの部分で f(z) は正則なので， コーシーの積分定理より 1 2πi C f(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0 (n = 1, 2, . . . ) a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ローラン級数展開 26 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · an = 1 2πi C f(ζ) (ζ − a)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) a−n = 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . ) ところで グレーの部分で f(z) は正則なので， コーシーの積分定理より よって，a–n も an で表すことができて an = 1 2πi C f(ζ)(ζ − a)−n−1dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) 1 2πi C f(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1 2πi C′ f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0 (n = 1, 2, . . . ) a C Cʹ P Q Cʹʹ

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留数と「n位の極」

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi つまり

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi a−1 = 1 2πi C′′ f(z)dz 　 　 つまり

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi a−1 = 1 2πi C′′ f(z)dz 　 　 つまり f(z) の孤立特異点 a における［留数 (residue)］という

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi a−1 = 1 2πi C′′ f(z)dz 　 　 つまり f(z) の孤立特異点 a における［留数 (residue)］という Res(a; f)

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 留数 28 f(z) = · · · + a−n (z − a)n + a−(n−1) (z − a)n−1 + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · · 関数 f(z) をローラン級数展開して， C′′ に沿って積分 a C Cʹ P Q Cʹʹ 積分するとここしか残らない ここの積分は 2πi a−1 = 1 2πi C′′ f(z)dz 　 　 つまり f(z) の孤立特異点 a における［留数 (residue)］という Res(a; f) 留数を別の方法で求められれば， f(z) の積分は簡単に計算できる

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」 29 ローラン級数が（左側が…でなくて） a-n から始まるような孤立特異点を，［n位の極］という f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · ·

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」 29 ローラン級数が（左側が…でなくて） a-n から始まるような孤立特異点を，［n位の極］という f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · このとき，両辺を (z − a)n 倍すると

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」 29 ローラン級数が（左側が…でなくて） a-n から始まるような孤立特異点を，［n位の極］という f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · このとき，両辺を (z − a)n 倍すると つまり， lim z→a (z − a)n f(z) = a−n

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」 29 ローラン級数が（左側が…でなくて） a-n から始まるような孤立特異点を，［n位の極］という f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · このとき，両辺を (z − a)n 倍すると つまり， lim z→a (z − a)n f(z) = a−n a が1位の極なら lim z→a (z − a)f(z) = a−1

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 30 さて， a が n位の極のとき， f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · 両辺を (z − a)n 倍して

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 30 さて， a が n位の極のとき， f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · 両辺を (n – 1) 回微分すると (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · 両辺を (z − a)n 倍して

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 30 さて， a が n位の極のとき， f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · 両辺を (n – 1) 回微分すると dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · 両辺を (z − a)n 倍して

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 30 さて， a が n位の極のとき， f(z) = a−n (z − a)n + · · · + a−1 z − a + a0 + a1(z − a) + · · · 両辺を (n – 1) 回微分すると dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · 微分によって， の手前の項まで消える a−1 (z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · · 両辺を (z − a)n 倍して

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 31 dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · ·

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 31 dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · z→a とすると，これらの項は0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 31 dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · z→a とすると，これらの項は0 つまり留数は Res(a; f) = a−1 = 1 (n − 1)! lim z→a dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z)

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 31 dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · z→a とすると，これらの項は0 つまり留数は Res(a; f) = a−1 = 1 (n − 1)! lim z→a dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) 1位の極なら Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z)

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「n位の極」と留数 31 dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) = (n − 1)!a−1 + n! 1! a0(z − a) + (n + 1)! 2! a1(z − a)2 + · · · z→a とすると，これらの項は0 つまり留数は Res(a; f) = a−1 = 1 (n − 1)! lim z→a dn−1 dzn−1 (z − a)nf(z) 以上から， 孤立特異点を囲んだ閉曲線上の f(z) の積分は留数で表され， しかも n 位の極については，留数は別途求まるので，積分は求まる 1位の極なら Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z)

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 孤立特異点がいくつあっても 32 b 1 C C 1 b 2 C 2 b 3 C 3

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 孤立特異点がいくつあっても 32 b 1 C C 1 b 2 C 2 b 3 C 3 C f(z)dz − C1 f(z)dz − C2 f(z)dz − · · · = 0

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 孤立特異点がいくつあっても 32 b 1 C C 1 b 2 C 2 b 3 C 3 C f(z)dz − C1 f(z)dz − C2 f(z)dz − · · · = 0 1 2πi C f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 孤立特異点がいくつあっても 32 いくつかの孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は， それぞれの孤立特異点での留数がわかれば求められる b 1 C C 1 b 2 C 2 b 3 C 3 C f(z)dz − C1 f(z)dz − C2 f(z)dz − · · · = 0 1 2πi C f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·

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ようやく，最初の問題へ

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 こんな積分は 34 まっとうには計算できません。 そこで ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx 1 x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C C 1 z4 + 1 dz 　 　 を計算すると 上の積分も求まる

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 35 C 1 z4 + 1 dz 　 　 　 を計算する 経路は y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 35 C 1 z4 + 1 dz 　 　 　 を計算する 経路は 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 35 C 1 z4 + 1 dz 　 　 　 を計算する 経路は 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) 1 + i √ 2 , −1 + i √ 2 , −1 − i √ 2 , 1 − i √ 2 孤立特異点 は，すべて1位の極 y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 35 C 1 z4 + 1 dz 　 　 　 を計算する 経路は 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) 1 + i √ 2 , −1 + i √ 2 , −1 − i √ 2 , 1 − i √ 2 孤立特異点 は，すべて1位の極 展開するまでもなく y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから Res( 1 + i √ 2 ; f) = lim z→ 1+i √ 2 (z − 1 + i √ 2 )f(z) = 1 (1+i √ 2 − −1+i √ 2 )(1+i √ 2 − −1−i √ 2 )(1+i √ 2 − 1−i √ 2 ) = −1 − i 4 √ 2 Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) Res( 1 + i √ 2 ; f) = lim z→ 1+i √ 2 (z − 1 + i √ 2 )f(z) = 1 (1+i √ 2 − −1+i √ 2 )(1+i √ 2 − −1−i √ 2 )(1+i √ 2 − 1−i √ 2 ) = −1 − i 4 √ 2 Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) Res( 1 + i √ 2 ; f) = lim z→ 1+i √ 2 (z − 1 + i √ 2 )f(z) = 1 (1+i √ 2 − −1+i √ 2 )(1+i √ 2 − −1−i √ 2 )(1+i √ 2 − 1−i √ 2 ) = −1 − i 4 √ 2 Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 36 経路の内部にある孤立特異点は２つ それぞれ留数を求める 1位の極だから 1 z4 + 1 = 1 (z − 1+i √ 2 )(z − −1+i √ 2 )(z − −1−i √ 2 )(z − 1−i √ 2 ) Res( −1 + i √ 2 ; f) = 1 − i 4 √ 2 同様に Res( 1 + i √ 2 ; f) = lim z→ 1+i √ 2 (z − 1 + i √ 2 )f(z) = 1 (1+i √ 2 − −1+i √ 2 )(1+i √ 2 − −1−i √ 2 )(1+i √ 2 − 1−i √ 2 ) = −1 − i 4 √ 2 Res(a; f ) = a−1 = lim z→a (z − a)f(z) y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 37 よって 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 + i √ 2 ; f) + Res( −1 + i √ 2 ; f) = − i 2 √ 2 　 　 　 C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 　 　 y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 37 よって 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 + i √ 2 ; f) + Res( −1 + i √ 2 ; f) = − i 2 √ 2 　 　 　 C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 　 　 では ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx は？ y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 37 よって 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 + i √ 2 ; f) + Res( −1 + i √ 2 ; f) = − i 2 √ 2 　 　 　 C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 　 　 では ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx は？ r→∞ のとき，実軸上以外は0 （略，テキストで） y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 複素関数にして積分する 37 よって 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 + i √ 2 ; f) + Res( −1 + i √ 2 ; f) = − i 2 √ 2 　 　 　 C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 　 　 では ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx は？ r→∞ のとき，実軸上以外は0 （略，テキストで） ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx = π √ 2 よって y 0 –1+i r x √2 1+i √2 –r r+ri –r+ri C

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問題🌀🌀 （さわりだけ）

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 39 次の積分（ は原点を中心とする半径2の円周）を求めてください。 C なお，複素三角関数は，三角関数と指数関数の関係を拡張して， を複素数とするとき，下のように定義する z cos z = eiz + e−iz 2 sin z = eiz − e−iz 2i −1 2πi C sin z cos z dz

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 40 次の積分（ は原点を中心とする半径2の円周）を求めてください。 C の孤立特異点は， となる点（零点） sin z cos z cos z = 0 −1 2πi C sin z cos z dz 　 とおくと で，両辺に をかけると は周期 の周期関数（なぜならば， ）で，また より すなわち cos z = eiz + e−iz 2 = 0 eiz + e−iz = 0 eiz e2iz + 1 = 0 eiθ 2π eiθ = cos θ + i sin θ eiπ + 1 = 0 2iz = i(π ± 2nπ) z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…)

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 41 次の積分（ は原点を中心とする半径2の円周）を求めてください。 C −1 2πi C sin z cos z dz 　 原点を中心とする半径2の円の内部で， を 満たす は z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z z = π 2 , − π 2 あとはテキスト （演習問題の解答例）で

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 41 次の積分（ は原点を中心とする半径2の円周）を求めてください。 C −1 2πi C sin z cos z dz 　 原点を中心とする半径2の円の内部で， を 満たす は z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z z = π 2 , − π 2 あとはテキスト （演習問題の解答例）で これが孤立特異点，すなわち「穴」

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 41 次の積分（ は原点を中心とする半径2の円周）を求めてください。 C −1 2πi C sin z cos z dz 　 原点を中心とする半径2の円の内部で， を 満たす は z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z = π 2 ± nπ (n = 0,1,2,…) z z = π 2 , − π 2 よって， C sin z cos z dz = 2πi Res( π 2 ; sin z cos z ) + Res(− π 2 ; sin z cos z ) あとはテキスト （演習問題の解答例）で これが孤立特異点，すなわち「穴」

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42 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 42 孤立特異点とローラン級数展開 　孤立特異点の周りの積分を使って 　関数を級数に展開することができる 留数 　ローラン級数の形で積分すると 　孤立特異点の周りの積分は留数で表せる 留数を使って積分を求める 　n位の極については，留数を別の方法で求めることで， 積分が簡単に求められる