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Espérance de vie Jusqu’à quel âge vivrez-vous ? Roger Mansuy

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Espérance de vie En 1965, l’espérance de vie est de 74,7 ans pour les femmes et 67,5 ans pour les hommes.

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Espérance de vie En 1965, l’espérance de vie est de 74,7 ans pour les femmes et 67,5 ans pour les hommes. En 2020, elle est de 85,3 ans pour les femmes et de 79,2 ans pour les hommes.

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Le point, 21/12/2011

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France Info, 05/05/2015

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France Info, 05/05/2015

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L’espérance de vie en 2020 est la moyenne des âges de décès lors de l’année 2020.

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L’espérance de vie en 2020 est la moyenne des âges de décès lors de l’année 2020. FAUX

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L’espérance de vie en 2020 est la moyenne des âges de décès de la dernière génération ayant totalement disparu.

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L’espérance de vie en 2020 est la moyenne des âges de décès de la dernière génération ayant totalement disparu. FAUX • guerres mondiales • apparition du SIDA • découverte de la pénicilline (1928) • obligation vaccinale contre la diphtérie (1938), contre le tétanos (1940), contre la poliomyélite (1964)

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L’espérance de vie en 2020 concerne les personnes nées durant cette année 2020.

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L’espérance de vie en 2020 concerne les personnes nées durant cette année 2020. Plutôt VRAI mais ne permet aucune prédiction

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L’espérance de vie est un indicateur complexe et les comparaisons de ses valeurs permettent de comprendre l’état d’une population.

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Espérance L’espérance de vie est une espérance au sens mathématique! Il s’agit alors d’une valeur théorique calculée dans le cadre d’un modèle mathématique. Monde réel observations Monde mathématique calculs, preuves modélisation interprétation

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Origine des probabilités Deux joueurs jouent à un jeu de hasard en 3 parties gagnantes, chacun ayant initialement misé la même somme m; le jeu est interrompu avant que l’un des deux joueurs ait obtenu 3 victoires et ainsi remporté la partie. Comment doit-on partager la totalité des enjeux, soit 2m?

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Origine des probabilités Deux joueurs jouent à un jeu de hasard en 3 parties gagnantes, chacun ayant initialement misé la même somme m; le jeu est interrompu avant que l’un des deux joueurs ait obtenu 3 victoires et ainsi remporté la partie. Comment doit-on partager la totalité des enjeux, soit 2m? ⇝ Problème déjà étudié par Pacioli, Tartaglia, Forestani, Cardan, Peverone... mais fondamentalement renouvelé au XVIIe

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B. Pascal à P. de Fermat, 29 juillet 1654 Posons que le premier en ait deux et l’autre une ; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l’argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles ; si l’autre la gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par conséquent, s’ils veulent se séparer, il faut qu’ils retirent chacun leur mise, savoir chacun 32 pistoles. Considérez donc, Monsieur, que si le premier gagne, il lui appartient 64 : s’il perd, il lui appartient 32. Donc s’ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : ”Je suis sûr d’avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne ; mais pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le hasard est égal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres”. Il aura donc 48 pistoles et l’autre 16.

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Si le score est 2 − 1 en faveur du joueur A au moment de l’interruption, il y a plusieurs évolutions possibles: • A emporte la partie suivante (et donc le match sur le score 3 − 1) • B emporte la partie suivante puis – A emporte la partie suivante (et donc le match sur le score 3 − 2) – B emporte la partie suivante (et donc le match sur le score 2 − 3)

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2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2

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Score Gain de A Probabilité Victoire 3 − 1 2m 1 2 Victoire 3 − 2 2m 1 4 Défaite 2 − 3 0 1 4 En moyenne, l’espérance de gain du joueur A est donc 1 2 · 2m + 1 4 · 2m + 1 4 · 0 = 3m 2 . Le partage équitable est donc de 3m 2 pour le joueur A et m 2 pour le joueur B.

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Comment partager les mises 2m entre les deux joueurs A et B si, à l’interruption, le joueur A mène 2 − 0?

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2 − 0 3 − 0 2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

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2 − 0 3 − 0 2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 · 2m + 1 4 · 2m + 1 8 · 2m + 1 8 · 0 = 7 4 m

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2 − 0 3 − 0 2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

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Traité du triangle arithmétique Blaise Pascal, 1665

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De ratiociniis in ludo aleae Christian Huygens, 1657

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Définition. L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs que peut prendre cette variable pondérée avec les probabilités associées. Cette définition est bien correcte lorsque la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs mais peut aussi être adaptée au cas d’un infinité de valeurs.

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Définition. L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs que peut prendre cette variable pondérée avec les probabilités associées. Cette définition est bien correcte lorsque la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs mais peut aussi être adaptée au cas d’un infinité de valeurs. Si la variable est notée X et qu’elle prend des valeurs entières, E(X) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + · · · P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + · · · .

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Définition. L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs que peut prendre cette variable pondérée avec les probabilités associées. Cette définition est bien correcte lorsque la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs mais peut aussi être adaptée au cas d’un infinité de valeurs. Si la variable est notée X et qu’elle prend des valeurs entières, E(X) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + · · · P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + · · · . Avec des notations mathématiques courantes, E(X) = ∑ n∈N nP(X = n).

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Modèle mathématique Pour mourir à 44 ans, il faut • survivre à la première année après la naissance

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Modèle mathématique Pour mourir à 44 ans, il faut • survivre à la première année après la naissance • sachant que l’on a survécu à la première, survivre à la deuxième

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Modèle mathématique Pour mourir à 44 ans, il faut • survivre à la première année après la naissance • sachant que l’on a survécu à la première, survivre à la deuxième • sachant que l’on a survécu à la deuxième, survivre à la troisième

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Modèle mathématique Pour mourir à 44 ans, il faut • survivre à la première année après la naissance • sachant que l’on a survécu à la première, survivre à la deuxième • sachant que l’on a survécu à la deuxième, survivre à la troisième • …

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Modèle mathématique Pour mourir à 44 ans, il faut • survivre à la première année après la naissance • sachant que l’on a survécu à la première, survivre à la deuxième • sachant que l’on a survécu à la deuxième, survivre à la troisième • … • sachant que l’on a survécu à la 44-ième année, ne pas survivre à la 45-ième

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2 – . . .

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2 – . . . – s’il a atteint k ans, il survit à la (k + 1)-ième année avec probabilité pk

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2 – . . . – s’il a atteint k ans, il survit à la (k + 1)-ième année avec probabilité pk – . . .

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2 – . . . – s’il a atteint k ans, il survit à la (k + 1)-ième année avec probabilité pk – . . . • On définit X la variable aléatoire donnant l’âge du décès.

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• On fixe des quantités p0 , p1 , p2 , …entre 0 et 1 • On crée une expérience aléatoire avec un individu fictif tel que – il survit à sa première année avec probabilité p0 – s’il a atteint 1 an, il survit à la deuxième année avec probabilité p1 – s’il a atteint 2 ans, il survit à la troisième année avec probabilité p2 – . . . – s’il a atteint k ans, il survit à la (k + 1)-ième année avec probabilité pk – . . . • On définit X la variable aléatoire donnant l’âge du décès. • On calcule l’espérance mathématique E(X) et on appelle ”espérance de vie à la naissance” le résultat obtenu.

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Par construction, pk est la probabilité de survivre à la (k + 1)-ième année sachant que l’on a atteint la k-ième année.

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Par construction, pk est la probabilité de survivre à la (k + 1)-ième année sachant que l’on a atteint la k-ième année. Ainsi, 1 − pk est la probabilité de mourir dans la (k + 1)-ième année.

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Par construction, pk est la probabilité de survivre à la (k + 1)-ième année sachant que l’on a atteint la k-ième année. Ainsi, 1 − pk est la probabilité de mourir dans la (k + 1)-ième année. Avec les notations mathématiques, pk = P(X ≥ k + 1|X ≥ k).

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0 RIP 1 RIP 2 RIP 3 1 − p0 p0 1 − p1 p1 1 − p2 p2

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Pour tout k ∈ N, P(X = k) = p0 p1 · · · pk−1 (1 − pk )

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Pour tout k ∈ N, P(X = k) = p0 p1 · · · pk−1 (1 − pk ) = (1 − pk ) k−1 ∏ j=0 pj ,

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Pour tout k ∈ N, P(X = k) = p0 p1 · · · pk−1 (1 − pk ) = (1 − pk ) k−1 ∏ j=0 pj , E(X) = +∞ ∑ k=1 kP(X = k)

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Pour tout k ∈ N, P(X = k) = p0 p1 · · · pk−1 (1 − pk ) = (1 − pk ) k−1 ∏ j=0 pj , E(X) = +∞ ∑ k=1 kP(X = k) = +∞ ∑ k=1 k(1 − pk ) k−1 ∏ j=0 pj .

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Pour tout k ∈ N, P(X ≥ k) = p0 p1 · · · pk−1

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Pour tout k ∈ N, P(X ≥ k) = p0 p1 · · · pk−1 = k−1 ∏ j=0 pj ,

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Pour tout k ∈ N, P(X ≥ k) = p0 p1 · · · pk−1 = k−1 ∏ j=0 pj , E(X) = +∞ ∑ k=1 P(X ≥ k)

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Pour tout k ∈ N, P(X ≥ k) = p0 p1 · · · pk−1 = k−1 ∏ j=0 pj , E(X) = +∞ ∑ k=1 P(X ≥ k) = +∞ ∑ k=1 k−1 ∏ j=0 pj .

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Il reste à bien choisir les probabilités pk !

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Il reste à bien choisir les probabilités pk ! Pour le calcul de l’espérance de vie à l’année n, on considère que la probabilité pk définie par la proportion des gens d’âge k qui ont survécu à l’année n (et donc atteint l’âge k + 1).

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Une longue histoire de calculs d’après les tables de mortalité. Essai sur les probabilités de la durée de la vie humaine Antoine Deparcieux, 1746

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https://www.insee.fr/fr/statistiques/5233892?sommaire=5007726 Le quotient de mortalité à un âge mesure la probabilité, pour les personnes survivantes à cet âge, de décéder avant l’âge suivant.

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Avec les quotients de mortalité, on obtient les probabilités pk puis l’espérance de vie. On vérifie à partir des données INSEE les résultats suivants. En 2019, • 85,6 ans pour les femmes • 79,8 ans pour les hommes En 2020, • 85,3 ans pour les femmes • 79,2 ans pour les hommes

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Avec les quotients de mortalité, on obtient les probabilités pk puis l’espérance de vie. On vérifie à partir des données INSEE les résultats suivants. En 2019, • 85,6 ans pour les femmes • 79,8 ans pour les hommes En 2020, • 85,3 ans pour les femmes • 79,2 ans pour les hommes On a déjà connu des baisses ponctuelles de l’espérance de vie, la dernière en France date de 2015.

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Effectuons quelques expériences de pensée à partir des données INSEE (pour les hommes métropolitains de moins de 100 ans en 2019).

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Effectuons quelques expériences de pensée à partir des données INSEE (pour les hommes métropolitains de moins de 100 ans en 2019). • on remplace p0 par 0, 9p0 • on remplace p44 par 0, 8p44 • on remplace p80 par 0

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Effectuons quelques expériences de pensée à partir des données INSEE (pour les hommes métropolitains de moins de 100 ans en 2019). • on remplace p0 par 0, 9p0 72,0 ans • on remplace p44 par 0, 8p44 72,3 ans • on remplace p80 par 0 73,6 ans

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En se limitant à une population donnée, on peut obtenir les pk correspondant à cette population puis déduire l’espérance de vie pour ce groupe.

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En se limitant à une population donnée, on peut obtenir les pk correspondant à cette population puis déduire l’espérance de vie pour ce groupe. Les exemples fréquents dans la presse sont • les hommes ou les femmes • une classe d’âge • une classe sociale • les titulaires d’un certain niveau de diplômes

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En se limitant à une population donnée, on peut obtenir les pk correspondant à cette population puis déduire l’espérance de vie pour ce groupe. Les exemples fréquents dans la presse sont • les hommes ou les femmes • une classe d’âge • une classe sociale • les titulaires d’un certain niveau de diplômes On peut aussi chercher non le décès mais la perte d’autonomie ou une dégradation significative de santé; on obtient avec le même algorithme une espérance de vie ”en bonne santé”.

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Données actualisées le 29 mars 2021 https://www.insee.fr/fr/statistiques/2416631

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Alternative L’espérance de vie concerne une population (plus ou moins grande) pas un individu donné.

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Alternative L’espérance de vie concerne une population (plus ou moins grande) pas un individu donné. Voici quelques questions d’une déclaration d’état de santé pour obtenir une assurance de prêt:

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The Lancet, 08/08/2015

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• Collecte d’informations déclaratives de 498103 patients âgés entre 40 et 70 ans pendant 5 ans (8532 morts) • Constitution et assainissement de la base de données • Analyse statistique des liens entre données collectées et mortalité • Détermination et calcul d’un prognostic score de mortalité à partir d’un questionnaire (13 questions pour les hommes et 11 pour les femmes)

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En complément de cet article, a figuré un questionnaire en ligne utilisable par tout internaute. Voici le questionnaire pour un homme britannique entre 40 et 70 ans: • Quel est votre âge ? • Fumez-vous du tabac actuellement ? • Dans le passé, à quelle fréquence avez-vous fumé du tabac ? • Un médecin vous a-t-il déjà dit que vous étiez diabétique ? • Un médecin vous a-t-il déjà dit que vous aviez eu un cancer ? • Comment décririez-vous votre rythme de marche habituel ? • Comment qualifieriez-vous votre état de santé général ?

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• Au cours des deux dernières années, avez-vous connu l’une des situations suivantes: maladie grave, blessure ou agression; maladie grave, blessure ou agression d’un proche parent; décès d’un proche parent; décès d’un conjoint ou d’un partenaire; séparation/divorce; difficultés financières?

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• Au cours des deux dernières années, avez-vous connu l’une des situations suivantes: maladie grave, blessure ou agression; maladie grave, blessure ou agression d’un proche parent; décès d’un proche parent; décès d’un conjoint ou d’un partenaire; séparation/divorce; difficultés financières? • En vous incluant, combien de personnes vivent dans votre foyer ?

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• Au cours des deux dernières années, avez-vous connu l’une des situations suivantes: maladie grave, blessure ou agression; maladie grave, blessure ou agression d’un proche parent; décès d’un proche parent; décès d’un conjoint ou d’un partenaire; séparation/divorce; difficultés financières? • En vous incluant, combien de personnes vivent dans votre foyer ? • Quel est le lien de parenté entre les autres personnes qui vivent avec vous ? enfant, parent, petit-enfant, autre personne sans lien de parenté?

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• Au cours des deux dernières années, avez-vous connu l’une des situations suivantes: maladie grave, blessure ou agression; maladie grave, blessure ou agression d’un proche parent; décès d’un proche parent; décès d’un conjoint ou d’un partenaire; séparation/divorce; difficultés financières? • En vous incluant, combien de personnes vivent dans votre foyer ? • Quel est le lien de parenté entre les autres personnes qui vivent avec vous ? enfant, parent, petit-enfant, autre personne sans lien de parenté? • Combien de voitures ou de fourgonnettes sont possédées, ou disponibles pour être utilisées, par vous ou par les membres de votre foyer ?

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Conclusion • L’espérance de vie est un indicateur construit sur un modèle probabiliste

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Conclusion • L’espérance de vie est un indicateur construit sur un modèle probabiliste • Comme tous les résultats issus d’une modélisation, l’interprétation de cet indicateur dépend des hypothèses et de la qualité de la modélisation

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Conclusion • L’espérance de vie est un indicateur construit sur un modèle probabiliste • Comme tous les résultats issus d’une modélisation, l’interprétation de cet indicateur dépend des hypothèses et de la qualité de la modélisation • Cet indicateur permet essentiellement de comparer son évolution dans le temps ou les valeurs prises pour des populations distinctes

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Conclusion • L’espérance de vie est un indicateur construit sur un modèle probabiliste • Comme tous les résultats issus d’une modélisation, l’interprétation de cet indicateur dépend des hypothèses et de la qualité de la modélisation • Cet indicateur permet essentiellement de comparer son évolution dans le temps ou les valeurs prises pour des populations distinctes • Pour obtenir des prédictions sur un individu donné, il existe d’autres outils (avec d’autres mathématiques)