(2022) Le désordre n'existe pas

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Le désordre n’existe pas! un aperçu de théorie de Ramsey Roger Mansuy

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Qu’est-ce que le désordre?

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Qu’est-ce que le désordre?

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Activité 1 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible.

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Si vous avez trois points consécutifs de la même couleur, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné

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Si vous avez l’un des motifs suivants, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné ? ? ? ?

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Si vous avez l’un des motifs suivants, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné ? ? ? ? ? ? ? ?

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Voici un essai

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Voici un essai Il n’est pas tout à fait désordonné!

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Activité 2 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible.

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Activité 2 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible. On peut vériﬁer que le coloriage suivant est bien une solution.

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Théorème de van der Waerden, 1927 À partir de neuf points, il n’est pas possible de colorier avec deux couleurs de manière tout à fait désordonnée.

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Théorème de van der Waerden, 1927 À partir de neuf points, il n’est pas possible de colorier avec deux couleurs de manière tout à fait désordonnée. Le désordre total n’existe plus au delà de neuf points.

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Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1

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Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1 Par exemple, on ne peut avoir 1, 2 et 3 dans la même boite.

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Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1 Peut-on mettre le nombre 5?

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Activité 4 Mettre les nombres 2, 3, ... dans les trois boites suivantes en respectant la même consigne. 1

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Activité 4 Mettre les nombres 2, 3, ... dans les trois boites suivantes en respectant la même consigne. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente.

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Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente. • pour deux boites, on bloque à 5 • pour trois boites, on bloque à 14 • pour quatre boites, on bloque à 45 • pour cinq boites, on bloque à 161

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Activité 5 Mettre les nombres 2022, 2023... dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 2022

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Activité 5 Mettre les nombres 2022, 2023... dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 2022 Expliquer pourquoi on ne peut pas aller jusqu’à 10110. Peut-on aller jusqu’à 10109?

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Activité 6 Est-il possible de colorier les arêtes sans tracer de triangles d’une seule couleur?

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En revanche avec seulement cinq sommets, c’est possible.

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Activité 7 Est-il possible de prolonger le carré ”désordonné” exhibé en introduction?

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