同期モータの電圧方程式 ー③d-q回転座標系 大阪府立大学 工学研究科 清水 悠生

2 本記事を読む前に ✓ 本記事はこちらの続きです ✓ 同期モータの電圧方程式①,② ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/18/voltageequation2/

3 同期モータの電圧方程式 ✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑤 ：u,v,w相電圧 𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 ：u,v,w相電流 𝛹𝑢 , 𝛹𝑣 , 𝛹𝑤 ：u,v,w相磁束鎖交数 𝑅𝑎 ：電機子抵抗 u相コイル u v w u相鎖交磁束 u相電圧 u相電流 v相 w相 電機子抵抗 ロータ ステータ

4 α-β座標系の電圧方程式 ✓ α,β座標系での電圧方程式は次式のように導出した 𝑣𝛼 𝑣𝛽 = 𝑅𝑎 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝜔𝛹𝑎 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 電圧降下 α相 コイル α α相電圧 𝑣𝛼 α相電流 𝑖𝛼 β相 電機子抵抗 𝑅𝑎 ロータ ステータ β インダクタンスによる誘導起電力 界磁磁束による 誘導起電力

5 α-β座標系⇒d-q回転座標系への変換 𝑪3 𝑣𝛼 𝑣𝛽 = 𝑅𝑎 𝑪3 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝑪3 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇𝑪𝟑 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝜔𝛹𝑎 𝑪3 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 ⇔ 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑪3 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝛹𝑎 𝑪3 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑪3 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 0 0 𝑑 𝑑𝑡 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝛹𝑎 𝑪3 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 ✓ 電圧方程式の両辺に変換行列𝑪3 を左から掛ける ✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照 ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/ 定数である 𝐿0 , 𝐿1 は微分演算子 𝑑 𝑑𝑡 の外に出るが 時間依存性のある 𝐶3 𝑇 や 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 が右から掛かるため 𝑑 𝑑𝑡 は残る （ここで 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 の時間依存性とは過渡状態を指している） 定義より 𝑪𝟑 𝑻𝑪𝟑 = 𝑰

6 誘導起電力の第1項目の計算 𝑪3 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 0 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑪3 𝑇 = 𝐿0 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 0 0 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝐿0 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝐿0 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 −cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝐿0 cos 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 −cos 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + sin 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 −sin 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + cos 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 −𝜔 𝜔 𝑑 𝑑𝑡 ✓ 誘導起電力の第1項目は次のように計算する 積の 微分

7 誘導起電力の第2項目の計算(1/3) 𝑪3 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 = 𝐿1 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝐿1 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝐿1 𝐴11 𝐴12 𝐴21 𝐴22 ✓ 誘導起電力の第2項目は次のように計算する ✓ 各成分を変数表示する

8 誘導起電力の第2項目の計算(2/3) 𝐴11 = cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 +cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 +cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 −cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐴21 = −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 = −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 −cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 = −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 = −sin 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = 𝜔 ✓ 各成分は次のように計算する 積の微分 積の微分

9 誘導起電力の第2項目の計算(3/3) 𝐴12 = −cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 +cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = −cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 −cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 +cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 − sin 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = 𝜔 𝐴22 = sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 −cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 sin 3𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 1 2 cos 3𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 = −sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜔𝑡 = −sin 𝜔𝑡 𝜔cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 − cos 𝜔𝑡 −𝜔sin 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = − 𝑑 𝑑𝑡 ✓ つづき 積の微分 積の微分

10 誘導起電力の第1,2項のまとめ 𝑪3 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 0 0 𝑑 𝑑𝑡 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 = 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 −𝜔 𝜔 𝑑 𝑑𝑡 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 𝜔 𝜔 − 𝑑 𝑑𝑡 = 𝐿0 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 −𝜔 𝐿0 − 𝐿1 𝜔 𝐿0 + 𝐿1 𝐿0 − 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 ✓ これまでの計算をまとめると次式のとおり

11 界磁磁束の計算 ✓ 界磁磁束ベクトルの変換式は下記のようになる 𝜔𝛹𝑎 𝑪3 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝜔𝛹𝑎 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝜔𝛹𝑎 0 1 = 0 𝜔𝛹𝑎

12 d-q回転座標系における電圧方程式 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑪3 𝐿0 𝑑 𝑑𝑡 0 0 𝑑 𝑑𝑡 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 sin 2𝜔𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝛹𝑎 𝑪3 −sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿0 + 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 − 𝐿0 − 𝐿1 𝜔 𝐿0 + 𝐿1 𝜔 𝐿0 − 𝐿1 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 0 𝜔𝛹𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 𝑑 𝑑𝑡 −𝜔𝐿𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 0 𝜔𝛹𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 ✓ 以上をまとめる ここで，d,q軸インダクタンス𝐿𝑑 , 𝐿𝑞 は次式のように 時間に依存しない定数として定義できる 𝐿𝑑 = 𝐿0 + 𝐿1 = 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 𝐿𝑞 = 𝐿0 − 𝐿1 = 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 + 3 2 𝐿𝑎𝑠

13 d-q回転座標系の電圧方程式の解釈 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 ✓ 電圧方程式から，図のような回転子に同期して回転する d,q相コイルが考えられる d q d相コイル q相コイル ロータ ステータ d相電圧 𝑣𝑑 d相電流 𝑖𝑑 電機子抵抗 𝑅𝑎 電圧降下 定常状態の誘導起電力 非定常状態の 誘導起電力

14 d-q座標上の定常状態のベクトル図 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 ⇔ 𝒗𝑎=𝑅𝑎 𝒊𝑎 + 𝒗𝑜 ✓ d,q軸電流の時間変化がない定常状態では 電圧方程式とベクトル図は下のようになる wYa vo va wLq iq wLd id Ra ia d軸 q軸 誘導起電力 電機子電圧 電圧降下 𝒗𝑎 : 電機子電圧ベクトル 𝒊𝑎 : 電機子電流ベクトル 𝒗𝑜 : 誘導起電力ベクトル

15 ✓ d-q座標がフェーザ図とみなせる理由はこちらも参照↓ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/04/motorphase/ d-q座標上の鎖交磁束と誘導起電力の関係 ✓ 鎖交磁束の微分から誘導起電力は導出されるため ベクトルが全て大きさ：ω倍，位相：+90°となる Ya Yo Ld id Lq iq vo wLq iq wLd id d軸 q軸 鎖交磁束 誘導起電力 wYa 時間微分 ⇒全てのベクトルが 大きさ：ω倍，位相：+90° 座標軸自体が角速度ωで回転しているため フェーザ図(複素数平面)のように考えられる

16 d-q回転座標系の定常状態のベクトル図 ✓ 電流ベクトルも追加するとこのようなベクトル図に Ya Yo Ld id Lq iq id iq ia vo va wLd id Ra ia d軸 q軸 鎖交磁束 電機子電流 電機子電圧 誘導起電力 電圧降下 wYa wLq iq

17 d-q回転座標系の非定常状態のベクトル図 ✓ 例えば 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 < 0, 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑞 > 0 のときの非定常(過渡)状態では ベクトル図は下図のようになる 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 ⇔ 𝒗𝑎=𝑅𝑎 𝒊𝑎 + 𝑝𝑳𝑎 𝒊𝑎 + 𝒗𝑜 𝑝: 時間微分演算子 𝑳𝑎 : インダクタンス行列 Ya Yo Ld id Lq iq id iq ia vo va wLd id Ra ia d軸 q軸 鎖交磁束 電機子電流 電機子電圧 誘導起電力 電圧降下 wYa pLq iq pLd id 電流変化による 誘導起電力 wLq iq