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Fast Fourier Transform Jongwook Choi 2012 SNUPS Seminar Seoul National University August 4, 2012 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Fourier Transform ? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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!?!?!?!?!??? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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!?!?!?!?!??? F[x(t)] = ∞ −∞ x(t)e−jωtdt = 2 1 0 (1 − t) cos(ωt)dt = 2 1 0 cos(ωt)dt − 1 0 t cos(ωt)dt = 2 ω sin(ω) − 1 0 t d sin(ωt) = 2 ω sin(ω) − t sin(ωt) 1 0 − 1 0 sin(ωt)dt = 2 ω2 cos(ωt) 0 1 = 2 ω2 (1 − cos(ω)) = 2 ω 2 sin2 ω 2 = sin2 (πf) (πf)2 = · · · Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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다항식 곱 두 다항식 A(z), B(z) 의 곱 C(z) = A(z)B(z)을 구하고 싶다. A(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + an−1zn−1 = n−1 j=0 ajzj B(z) = b0 + b1z + b2z2 + · · · + bn−1zn−1 = n−1 j=0 bjzj Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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다항식 곱 두 다항식 A(z), B(z) 의 곱 C(z) = A(z)B(z)을 구하고 싶다. A(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + an−1zn−1 = n−1 j=0 ajzj B(z) = b0 + b1z + b2z2 + · · · + bn−1zn−1 = n−1 j=0 bjzj =⇒ C(z) = A(z)B(z) = c0 + c1z + · · · + c2n−2z2n−2, where ci = a0bi + a1bi−1 + · · · + aib0 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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평범한 방법 O(n2) C(z) = A(z)B(z) = c0 + c1z + · · · + c2n−2x2n−2, where ci = a0bi + a1bi−1 + · · · + aib0 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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평범한 방법 O(n2) C(z) = A(z)B(z) = c0 + c1z + · · · + c2n−2x2n−2, where ci = a0bi + a1bi−1 + · · · + aib0 좀 더 빠르게 하고 싶습니다. FFT! (Fast Fourier Transform) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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신묘한 방법 Idea. m − 1차 다항식은 m개의 점에서의 함수값이 결정되면 유일하게 결정된다 (Lagrange’s Interpolation). Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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신묘한 방법 Idea. m − 1차 다항식은 m개의 점에서의 함수값이 결정되면 유일하게 결정된다 (Lagrange’s Interpolation). C(z) 의 degree 는 (at most) 2n − 2 이므로, 서로 다른 2n − 1 개의 점에 대해 C 의 함수값만 알면 되겠다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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신묘한 방법 Idea. m − 1차 다항식은 m개의 점에서의 함수값이 결정되면 유일하게 결정된다 (Lagrange’s Interpolation). C(z) 의 degree 는 (at most) 2n − 2 이므로, 서로 다른 2n − 1 개의 점에 대해 C 의 함수값만 알면 되겠다. 서로 다른 2n − 1 개의 점 z0, z1, · · · , z2n−2 에 대해, A(z0), A(z1), · · · , A(z2n−2) 와 B(z0), B(z1), · · · , B(z2n−2) 를 안다면, C(z0), C(z1), · · · , C(z2n−2) 를 빠르게 계산할 수 있지 않을까? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Multiplication by FFT 서로 다른 2n − 1 개의 점 z0, z1, · · · , z2n−2 에 대해, A(z0), A(z1), · · · , A(z2n−2) 와 B(z0), B(z1), · · · , B(z2n−2) 를 안다면, C(z0), C(z1), · · · , C(z2n−2) 를 빠르게 계산할 수 있지 않을까? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Multiplication by FFT 서로 다른 2n − 1 개의 점 z0, z1, · · · , z2n−2 에 대해, A(z0), A(z1), · · · , A(z2n−2) 와 B(z0), B(z1), · · · , B(z2n−2) 를 안다면, C(z0), C(z1), · · · , C(z2n−2) 를 빠르게 계산할 수 있지 않을까? C(zk) = A(zk) · B(zk) k = 0, 1, · · · , 2n − 2 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Discrete Fourier Transform 다항식 A(x) = a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 을 생각하자. ω ∈ C 을 primitive root of unity (ωn = 1 라는 말) 라고 할 때, n개의 점 ω0, ω1, ω2, · · · , ωn−1 에서의 함수값 A(ωi) = n−1 j=0 aj(ωi)j 들을 모으면 n 개의 수가 얻어진다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Discrete Fourier Transform 다항식 A(x) = a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 을 생각하자. ω ∈ C 을 primitive root of unity (ωn = 1 라는 말) 라고 할 때, n개의 점 ω0, ω1, ω2, · · · , ωn−1 에서의 함수값 A(ωi) = n−1 j=0 aj(ωi)j 들을 모으면 n 개의 수가 얻어진다. 이 때 transform Cn → Cn (a0, a1, · · · , an−1) → (A(a0), A(a1), · · · , A(an−1)) 를 DFT (이산 푸리에 변환) 이라고 한다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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ω : primitive n-th root of unity ωn = 1 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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ω : primitive n-th root of unity ωn = 1 ω = e2πi n = cos(2π/n) + i sin(2π/n) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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ω : primitive n-th root of unity ωn = 1 ω = e2πi n = cos(2π/n) + i sin(2π/n) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Multiplication by DFT (a0, a1, · · · , an−1) →   n−1 j=0 aj(ω0)j, · · · , n−1 j=0 aj(ωn−1)j   (a0, · · · , an−1 을 계수로하는 다항식에 ω0, · · · , ωn−1을 넣음) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Multiplication by DFT (a0, a1, · · · , an−1) →   n−1 j=0 aj(ω0)j, · · · , n−1 j=0 aj(ωn−1)j   (a0, · · · , an−1 을 계수로하는 다항식에 ω0, · · · , ωn−1을 넣음) 그러면, C(z) = A(z)B(z)일 때, A(ωj) · B(ωj) = C(ωj) 인가? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Multiplication by DFT (a0, a1, · · · , an−1) →   n−1 j=0 aj(ω0)j, · · · , n−1 j=0 aj(ωn−1)j   (a0, · · · , an−1 을 계수로하는 다항식에 ω0, · · · , ωn−1을 넣음) 그러면, C(z) = A(z)B(z)일 때, A(ωj) · B(ωj) = C(ωj) 인가? · · · · · · · · · 너무 당연하다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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그래서 우리의 관심은 DFT 구하는 것, 즉 ω0, · · · , ωn−1 에서의 함수값 A(ω0), · · · , A(ωn−1) 을 모두 알아낼 수 있으면 OK. 얼마나 빨리? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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그래서 우리의 관심은 DFT 구하는 것, 즉 ω0, · · · , ωn−1 에서의 함수값 A(ω0), · · · , A(ωn−1) 을 모두 알아낼 수 있으면 OK. 얼마나 빨리? O(n log n) naive 하게 계산하면 O(n2) 인데 그러면 하나마나. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1xn−1 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1xn−1 = (a0 + a2x2 + a4x4 + · · · ) + (a1x + a3x3 + a5x5 + · · · ) = (a0 + a2x2 + a4x4 + · · · ) + x(a1 + a3x2 + a5x4 + · · · ) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1xn−1 = (a0 + a2x2 + a4x4 + · · · ) + (a1x + a3x3 + a5x5 + · · · ) = (a0 + a2x2 + a4x4 + · · · ) + x(a1 + a3x2 + a5x4 + · · · ) = Aeven(x2) + xAodd(x2) n이 짝수면.. Aeven(x) = a0 + a2x + a4x2 + · · · + an−2xn/2−1 Aodd(x) = a1 + a3x + a5x2 + · · · + an−1xn/2−1 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = Aeven(x2) + xAodd(x2) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = Aeven(x2) + xAodd(x2) 1 n/2개의 점 (ω0, ω2, · · · , ωn−2) 에서 두 다항식 Aeven, Aodd 에서의 함수값을 각각 구한다 (즉, DFT 한다). 원래와 동일한 모양의 문제: ω를 ω2로 두고 재귀ㄱㄱㄱ1 Aeven (ω0), Aeven (ω2), · · · , Aeven (ωn−2) Aodd (ω0), Aodd (ω2), · · · , Aodd (ωn−2) 1n/2 차 다항식에 대하여 (ω2)n/2 = 1 이므로 ω2가 primitive root of unity. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = Aeven(x2) + xAodd(x2) 1 n/2개의 점 (ω0, ω2, · · · , ωn−2) 에서 두 다항식 Aeven, Aodd 에서의 함수값을 각각 구한다 (즉, DFT 한다). 2 그러면 O(n) time 에 n개의 함수값 A(ωj)를 모조리 구할 수 있다.1 A(ωj) = Aeven(ω2j) + ωj · Aodd(ω2j) A(ωj+n/2) = Aeven(ω2j+n) + ωjωn/2 · Aodd(ω2j+n) = Aeven(ω2j) − ωj · Aodd(ω2j) for 0 ≤ j < n/2. 1Note that ωn = 1, ωn/2 = −1. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Divide-And-Conquer 다항식 A(x)가 있을 때, A(ω0), · · · , A(ωn−1)을 구하고 싶다. A(x) = Aeven(x2) + xAodd(x2) 1 n/2개의 점 (ω0, ω2, · · · , ωn−2) 에서 두 다항식 Aeven, Aodd 에서의 함수값을 각각 구한다 (즉, DFT 한다). 2 그러면 O(n) time 에 n개의 함수값 A(ωj)를 모조리 구할 수 있다. T(n) = 2T(n/2) + O(n) =⇒ T(n) = O(n log n) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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역변환 거꾸로, DFT의 결과를 알고 있을 때 원래 다항식을 구하는 방법은? 즉, 최대 2n차 다항식 C에 대해 C(ω0), C(ω1), · · · , C(ω2n−1) 를 알고 있을 때 (ω2n = 1) C의 계수 c0, c1, · · · , c2n−1 를 구하려면 어떻게 하는가? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 n − 1차 다항식 A(x) 에 대해 wn = 1이고, yk = A(wk) 를 모두 알고 있다고 하자. (k = 0, 1, 2, · · · , n − 1) yk = A(wk) = n−1 j=0 aj(wk)j Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 n − 1차 다항식 A(x) 에 대해 wn = 1이고, yk = A(wk) 를 모두 알고 있다고 하자. (k = 0, 1, 2, · · · , n − 1) yk = A(wk) = n−1 j=0 aj(wk)j        y0 y1 y2 . . . yn−1        =        1 1 1 · · · 1 1 ω ω2 · · · ωn−1 1 ω2 ω4 · · · ω2(n−1) . . . . . . . . . ... . . . 1 ωn−1 ω2(n−1) · · · ω(n−1)(n−1)               a0 a1 a2 . . . an−1        Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 역행렬을 구해서 풀면..        y0 y1 y2 . . . yn−1        =        1 1 1 · · · 1 1 ω ω2 · · · ωn−1 1 ω2 ω4 · · · ω2(n−1) . . . . . . . . . ... . . . 1 ωn−1 ω2(n−1) · · · ω(n−1)(n−1)               a0 a1 a2 . . . an−1               a0 a1 a2 . . . an−1        = 1 n        1 1 1 · · · 1 1 ω−1 ω−2 · · · ω−(n−1) 1 ω−2 ω−4 · · · ω−2(n−1) . . . . . . . . . ... . . . 1 ω−(n−1) ω−2(n−1) · · · ω−(n−1)(n−1)               y0 y1 y2 . . . yn−1       

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DFT 역변환 역행렬을 구해서 풀면..        y0 y1 y2 . . . yn−1        =        1 1 1 · · · 1 1 ω ω2 · · · ωn−1 1 ω2 ω4 · · · ω2(n−1) . . . . . . . . . ... . . . 1 ωn−1 ω2(n−1) · · · ω(n−1)(n−1)               a0 a1 a2 . . . an−1               a0 a1 a2 . . . an−1        = 1 n        1 1 1 · · · 1 1 ω−1 ω−2 · · · ω−(n−1) 1 ω−2 ω−4 · · · ω−2(n−1) . . . . . . . . . ... . . . 1 ω−(n−1) ω−2(n−1) · · · ω−(n−1)(n−1)               y0 y1 y2 . . . yn−1        Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 즉, (y0, y1, · · · , yn−1) 를 DFT 하는데 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 즉, (y0, y1, · · · , yn−1) 를 DFT 하는데 ω를 ω−1 로 replace 하고 최종 결과를 n 으로 나누면 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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DFT 역변환 즉, (y0, y1, · · · , yn−1) 를 DFT 하는데 ω를 ω−1 로 replace 하고 최종 결과를 n 으로 나누면 (a0, a1, a2, · · · , an−1) 이 얻어진다. 즉 FFT 함수가 있으면 역변환 하는것도 바로 된다. O(n log n) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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FFT로 O(n log n) 곱셈하는 알고리즘 정리 A(z) = a0 +a1z+· · ·+an−1zn−1, B(z) = b0 +b1z+· · ·+bn−1zn−1 (image from Introduction to Algorithms; Corment et al.) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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FFT로 O(n log n) 곱셈하는 알고리즘 정리 (Cooley–Tukey FFT algorithm) A(z) = a0 +a1z+· · ·+an−1zn−1, B(z) = b0 +b1z+· · ·+bn−1zn−1 1 A, B를 2n − 1차 다항식으로 생각해서, (a0, a1, · · · , a2n−1)의 DFT (p0, p1, · · · , p2n−1)을 구하고 (b0, b1, · · · , b2n−1)의 DFT (q0, q1, · · · , q2n−1)을 구한다. FFT 두번 하므로 O(n log n) 걸린다. 2 구한 두 DFT 벡터의 pointwise 곱 (p0q0, · · · , p2n−1q2n−1)을 구한다. O(n) 3 이 녀석을 다시 DFT 하면, (2n · c0, 2n · c1, · · · , 2n · c2n−1) 이 얻어진다. O(n log n) 4 c0, c1, · · · , c2n−1 이 C(z) = A(z)B(z)의 계수이다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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Remark DFT 를 구할 때, FFT 계산 시 n을 2의 power라고 가정하고 있음. 실수 연산을 해야하기 때문에 실수 오차가 발생할 수 있다. (input 다항식의 계수가 정수라고 가정하면) 최종적으로 얻어진 cj 계수들이 정수가 아닐 수도 있는데, 가장 가까운 integer로 반올림하면 된다. (오차 0.5 미만이면 OK) 실수 연산 없이, finite field Zp (n | p − 1) 에서 ω의 역할을 하는 primitive root of unity 를 쓰면 정수 연산만으로도 되는데 (Number Theoretic Transform), 뭔가 엄청 복잡하고 실제로도 나눗셈 연산때문에 더 느림. (CRLS Problem 30-6 참고) FFT는 팀노트에 넣어가면 좋다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제. 두 n-length array A = (a0, · · · , an−1), B = (b0, · · · , bn−1) 가 있다. 이 때 A와 B의 convolution C = A ∗ B = (c0, · · · , cn−1) cj = j k=0 akbj−k 를 구하시오. 단, n은 무지무지 큼. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제. 두 n-length array A = (a0, · · · , an−1), B = (b0, · · · , bn−1) 가 있다. 이 때 A와 B의 convolution C = A ∗ B = (c0, · · · , cn−1) cj = j k=0 akbj−k 를 구하시오. 단, n은 무지무지 큼. 앞에서 배운 Fast Polynomial Multiplication 과 거의 똑같이 하면 된다(!). Exercise. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제 (SRM 518 Div1 Hard) 두 n-length array A = (a0, · · · , an−1), B = (b0, · · · , bn−1) 가 있다. 이 때 A와 B의 xor-convolution C = A ⊕ B = (c0, · · · , cn−1) ck = i xor j=k aibj 를 구하시오. 단, n은 무지무지 큼. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제 (SRM 518 Div1 Hard) O(n log n) 에 도전. FFT의 아이디어를 이용해서 풉니다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제 (SRM 518 Div1 Hard) O(n log n) 에 도전. FFT의 아이디어를 이용해서 풉니다. 어떤 DFT F : Zn → Zn 를 찾자. F(A), F(B) 를 구한다. F(A), F(B) 를 pointwise 로 곱해서 F(A ⊕ B) 를 구한다. F(A ⊕ B) 에 F의 역변환을 끼얹어서 A ⊕ B 를 구한다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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예제 문제 (SRM 518 Div1 Hard) O(n log n) 에 도전. FFT의 아이디어를 이용해서 풉니다. 어떤 DFT F : Zn → Zn 를 찾자. F(A), F(B) 를 구한다. F(A), F(B) 를 pointwise 로 곱해서 F(A ⊕ B) 를 구한다. F(A ⊕ B) 에 F의 역변환을 끼얹어서 A ⊕ B 를 구한다. 그런 F 를 어떻게 찾지? Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). F(a, b) · F(c, d) = (a − b, a + b) · (c − d, c + d) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). F(a, b) · F(c, d) = (a − b, a + b) · (c − d, c + d) = ((a − b)(c − d), (a + b)(c + d)) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). F(a, b) · F(c, d) = (a − b, a + b) · (c − d, c + d) = ((a − b)(c − d), (a + b)(c + d)) = (ac − ad − bc + bd, ac + ad + bc + bd) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). F(a, b) · F(c, d) = (a − b, a + b) · (c − d, c + d) = ((a − b)(c − d), (a + b)(c + d)) = (ac − ad − bc + bd, ac + ad + bc + bd) = ((ac + bd) − (ad + bc), (ac + bd) + (ad + bc)) Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 2일 때를 가정해 보자. A = (a, b), B = (c, d) 라고 하면 A ⊕ B = (ac + bd, ad + bc) 이다. F(a, b) · F(c, d) = F(ac + bd, ad + bc) 가 되어야 한다. F(a, b) = (a − b, a + b) 라고 가정해보자(???). F(a, b) · F(c, d) = (a − b, a + b) · (c − d, c + d) = ((a − b)(c − d), (a + b)(c + d)) = (ac − ad − bc + bd, ac + ad + bc + bd) = ((ac + bd) − (ad + bc), (ac + bd) + (ad + bc)) = F(ac + bd, ad + bc) Olleh! Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 4일 때에는? 좀 복잡한 듯. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 4일 때에는? 좀 복잡한 듯. n = 2일 때 F(a, b) = (a − b, a + b) 였으니까, Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 4일 때에는? 좀 복잡한 듯. n = 2일 때 F(a, b) = (a − b, a + b) 였으니까, 느낌상 F(X Y ) = (F(X) − F(Y ) F(X) + F(Y )) 일 것 같다. (???) 세상은 원래 이렇게 아름다운 거에요 Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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통밥의 정석 n = 4일 때에는? 좀 복잡한 듯. n = 2일 때 F(a, b) = (a − b, a + b) 였으니까, 느낌상 F(X Y ) = (F(X) − F(Y ) F(X) + F(Y )) 일 것 같다. (???) 세상은 원래 이렇게 아름다운 거에요 사실 저 추측만 하면, 증명은 간단한 수학적 귀납법으로 어렵지 않다 (자세한 것은 editorial 참고). Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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역변환 F(X Y ) 가 주어질 때, X Y 를 찾을 수 있는가? 즉, X, Y 를 찾을 수 있는가? F(X Y ) = (F(X) − F(Y ) F(X) + F(Y )) 를 알고 있으므로, F(X) 와 F(Y ) 를 알 수 있다. 길이가 반으로 줄었으므로 재귀적으로 풀어서 X, Y 를 얻는다. X, Y 를 concatenate 시키면 끝. Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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FFT: 기타 응용 Fast Integer/Polynomial Multiplication Pattern Matching (Text Algorithms) Signal Processing Image Processing · · · Jongwook Choi Fast Fourier Transform

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The End Thank You Very Much Any Questions? Jongwook Choi Fast Fourier Transform