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7.1.3 GPLVMの学習
これを𝑛′ = 1, … , 𝑁について並べる
𝜕𝑘 𝑥𝑛
, 𝑥1
𝜕𝑥𝑛𝑗
, … ,
𝜕𝑘 𝑥𝑛
, 𝑥𝑁
𝜕𝑥𝑛𝑗
= −2 ∗ 𝐾 𝑛, : ∗. 𝑋 𝑛, 𝑗 − 𝑋 : , 𝑗 𝑇
/𝜎
𝐾 𝑛, : : Kのn番目の行ベクトル, 𝐾 : , 𝑗 : Kのj番目の列ベクトル
*. : ベクトル要素ごとの掛け算
𝑋 𝑛, 𝑗 − 𝑋 : , 𝑗 : 𝑋 𝑛, 𝑗 から𝑋 : , 𝑗 の各要素を引いたベクトル
𝜕𝐿
𝜕𝐾𝑋
= 1
2
(𝐾𝑋
−1𝑌𝑌𝑇𝐾𝑋
−1 − 𝐷𝐾𝑋
−1)を行列Gとおくと,
𝜕𝑳
𝜕𝑥𝑛𝑗
= 𝜕𝑳
𝜕𝑲
𝜕𝑲
𝜕𝑥𝑛𝑗
= σ𝑚=1
𝑁 𝜕𝐿
𝜕𝑲 𝑛𝑚
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑛𝑗 𝑚𝑗
= σ𝑚=1
𝑁 𝐺𝑛𝑚
𝜕𝑘(𝑥𝑛,𝑥
𝑛′)
𝜕𝑥𝑛𝑗
= −4 σ𝑚=1
𝑁 (𝐺 𝑛, 𝑚 ∗ 𝐾 𝑛, 𝑚 ∗ 𝑋 𝑛, 𝑗 − 𝑋 𝑚, 𝑗 /𝜎)
カーネルのハイパーパラメータ𝜃 = (𝜏, 𝜌, 𝜂)も同様に
計算可能
Kは行列なので
2回現れる?
𝑥𝑛
1 n
𝑥𝑛
1 n
j
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