2018年度化学プロセスシステム工学第１１回

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化学プロセスシステム工学第１１回 2018年12月20日 (木) 0 理工学部応用化学科データ化学工学研究室専任講師⾦⼦弘昌

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前回までの復習 制御したい対象があったとき、どうする︖ 1

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前回までの復習 ラプラス変換とは︖ 伝達関数とは︖ ブロック線図とは︖ 2

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流体加熱プロセス 3 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output

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連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A → B とする • 流⼊する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 4 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓⼊⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓⼊⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度

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タンクの液面高さ(液レベル)制御 5 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x

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少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 6 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２ 加熱量 Q で、タンク２の温度 T を制御

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設定値変更してみよう 2500 s・・・まで設定値 25℃ それ以降・・・設定値 30℃ 7

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外乱を加えてみよう 設定値︓ 25 ℃ 2500 s から F を 0.00003 に 8

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PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、⼊⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 9

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微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数

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⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数

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ラプラス変換 12 微分方程式など答え難しいラプラス変換普通の代数方程式式変形後ラプラス逆変換式変形やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界)

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⼀次遅れモデルまとめ 13 微分方程式など答え難しいラプラス変換普通の代数方程式式変形後ラプラス逆変換式変形やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          

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伝達関数 14 ( ) ( ) ( ) S C 1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を伝達関数と呼び、プロセスの⼊⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × ⼊⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換１次遅れモデル

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[練習] １次遅れ＋むだ時間モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 15 ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − １次遅れ+むだ時間モデルラプラス変換 ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − + ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = −

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[練習] ２次遅れモデルの伝達関数は︖ ２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素) 16 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +

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[練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 17 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数) ( ) ( ) ( ) I 1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +    

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ブロック線図 s 領域において、箱(伝達関数) と線 (⼊⼒・出⼒) で表したモノ メリット︓プロセスが複数あるとき、⾒通しがよくなる • プロセスシステム・・・単位操作のプロセス (工程) を組み合わせたもの • プラント・・・装置を組み合わせたもの 18 G(s) U(s) Y(s) ⼊⼒プロセス (伝達関数) 出⼒ Y(s) = G(s)U(s)

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PID制御のブロック線図外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) 19 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 P D I 1 1 K T s T s   + +     + + D(s)

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • PID制御 • 微分先⾏型PID制御 20 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U t K E t E t T sY t T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sE s T s   = + +    

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ 21 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 1 T s + P K D T s + − ( ) ( ) ( ) ( ) D I 1 P U t K E t E t T sY t T s   = + −    

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス これは何結合︖ 22 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス 23 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２

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[練習] 伝達関数を求めよう︕ 24 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + タンク１タンク２ mDIFF m i T T T = − として、 mDIFF mDIFF 1 1 P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − ( ) DIFF mDIFF DIFF 2 dT F T T dt V = − タンク１、タンク２の伝達関数をそれぞれ求めて、全体の伝達関数を求めてみよう︕

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[練習] 伝達関数 25 タンク１タンク２ ( ) ( ) ( ) mDIFF P 1 1 T s Q s c V s F ρ = + ( ) ( ) DIFF mDIFF 2 F T s T s V s F = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) DIFF P 1 2 2 2 P 1 2 P 1 2 P F T s Q s c V s F V s F F Q s c VV s c F V V s c F ρ ρ ρ ρ = + + = + + + ⾒たことは︖

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２次遅れモデル 26 ( ) ( ) S 2 2 F 2 1 K Y s U s a s D as = + + 少し複雑な流体加熱プロセスは二次遅れモデルの１つだった︕ 今回の系では、一次遅れ＋むだ時間モデルと似ている

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２次遅れモデルのPID制御のパラメータ ２次遅れモデルのPID制御のパラメータについて考える １次遅れモデル＋むだ時間モデルのパラメータ決定法はあったけど、２次遅れモデルは︖ 内部モデル制御 (Internal Model Control, IMC) 法 • ラプラス変換・伝達関数・ブロック線図を学んだ今ならできる︕ 27

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IMC法理想的な制御 理想的な制御を考える 28 GOptCon (s) T(s) Y(s) 理想的な制御 Gprocess (s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 Y(s) = Gprocess (s) GOptCon (s) T(s)

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IMC法モデルが得られて・・・ 29 GOptCon (s) = Gmodel (s)-1 とすれば、 Y(s) = Gprocess (s) GOptCon (s) T(s) = Gmodel (s) Gmodel (s)-1 T (s) = T(s) プロセスモデル Gmodel (s) を構築できた︕、とき Gmodel (s) = Gprocess (s) とする (完璧なモデル) Y を目標値に一致できる︕

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IMC法理想的な制御 30 プロセスモデル Gmodel (s) を作って、GOptCon (s) = Gmodel (s)-1 とすればいい︕ 外乱やモデル誤差があったら︖ プロセスとモデルを並列にして、それらの出⼒の差をフィードバックしよう︕ うまくいかない・・・

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IMC法ブロック線図 31 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) − + YM (s) Gmodel (s) = Gprocess (s) で外乱もなければ、Y(s) − YM (s) = 0 になるので、これまでとの整合性もとれる IMCコントローラ

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IMC法逆数の検討 32 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ たとえばむだ時間があると︖ ( ) exp D t s − ( ) exp D t s むだ時間(伝達関数) 未来の予測逆数・・・難しい︕

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IMC法逆数の検討 33 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ これまでのモデルの伝達関数を⾒てみよう︕ １次遅れモデル２次遅れモデル ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + + ( ) S model C 1 K G s T s = + 分⺟の s の次数の方が、分⼦のそれより大きい

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IMC法逆数の検討 34 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ GIMC (s) は︖ １次遅れモデル２次遅れモデル ( ) 2 2 F IMC S 2 1 a s D as G s K + + = ( ) C IMC S 1 T s G s K + = 分⼦の s の次数の方が、分⺟のそれより大きい制御としてあり︖

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IMC法逆数の検討 35 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ PID制御の伝達関数 (PIDコントローラ) を⾒てみよう︕ 分⼦の s の次数の方が、分⺟のそれより大きいということは︖ ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     積分動作できない︕ 微分動作の次数が大きい︕ ノイズに弱い制御として不安定

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IMC法逆数は難しい 36 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ 難しい 1. むだ時間の逆数にすると、未来予測しなければならない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になりうる 3. 微分動作の次数が大きく、積分動作できないため、ノイズに弱く、制御として不安定

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IMC法解決法 37 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ 難しい 1. むだ時間は逆数にしない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になる可能性があるときは、 GIMC (s) が不安定になるため、 0 になる部分とならない部分とに分ける (分け方に注意) 3. 二次以上の微分動作が含まれない (二乗以上の s がない) ように、コントローラ GIMC (s) を変換するどうする︖

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IMC法確認 2. の確認として、試しに、 38 ( ) IMC 1 0 1 G s s α α = > − をラプラス逆変換してみよう︕

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IMC法 2. について、たとえば 39 ( ) ( ) ( )( ) model 1 , , 0 1 1 K s G s s s α α β γ β γ − = > + + のとき、 ( ) ( ) ( )( ) model1 1 1 1 K s G s s s α β γ + = + + ( ) model2 1 1 s G s s α α − = + にわけ、 ( ) ( ) ( ) model model1 model2 G s G s G s = ( ) model1 G s のみ逆数にする

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IMC法 40 GIMC (s) = F(s) Gmodel (s)-1 ( ) ( ) 1 1 n F s s λ = + 低域通過フィルタ 1. むだ時間は逆数にしない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になる可能性があるときは、 GIMC (s) が不安定になるため、 0 になる部分とならない部分とに分ける (分け方に注意) 3. 二次以上の微分動作が含まれない (二乗以上の s がない) ように、コントローラ GIMC (s) を変換する安定性を求めて、⼀乗以上の s がないように n を決めることもある

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IMC法練習 ⼀次遅れモデルを対象として、IMCのコントローラ GIMC (s) を設計してみよう • ⼀次フィルタを用いる 41 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ただし、y(0) = 0 とする

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１次遅れモデルのラプラス変換 42 ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ( ) ( ) ( ) S model C 1 Y s K G s U s T s = = + ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + =

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１次遅れモデルのIMCコントローラ 43 ( ) ( ) 1 C IMC model S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + +

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IMC法練習 ⼀次遅れ＋むだ時間モデルを対象として、IMCのコントローラ GIMC (s) を設計してみよう • ⼀次フィルタを用いる 44 ただし、y(0) = 0 とする ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = −

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１次遅れ＋むだ時間モデルのラプラス変換 45 ( ) ( ) ( ) ( ) S model C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − + ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = −

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１次遅れ＋むだ時間モデルのIMCコントローラ 46 ( ) ( ) 1 C IMC model+ S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + + ( ) S model+ C 1 K G s T s = + ( ) ( ) ( ) model model+ model G s G s G s − = ( ) ( ) model exp D G s t s − = −

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内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御のブロック線図 47 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) − + YM (s) IMCコントローラ

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内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御と等価なフィードバック(FB)制御のブロック線図は︖ 48 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) YM (s) IMCコントローラ + +

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内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御と等価なフィードバック(FB)制御のブロック線図 49 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) YM (s) IMCコントローラ + + FBコントローラ GFB (s) GFB (s) を GIMC (s), Gmodel (s) で表してみよう︕

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内部モデル制御(IMC)とPID制御 50 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = −

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１次遅れモデルとPID制御 １次遅れモデルの IMC コントローラと、等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラになることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間を求めよう︕ 51

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１次遅れモデル IMC 前の課題より、 52 ( ) ( ) 1 C IMC model S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + + ( ) ( ) ( ) S model C 1 Y s K G s U s T s = = + ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) C FB S C 1 1 T G s K T s λ   = +     これは何か︖

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１次遅れモデル IMC 53 ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     ( ) C FB S C 1 1 T G s K T s λ   = +     よって、 C I C S , , 0 P D T K T T T K λ = = = IMC法によりPIDコントローラを設計できる︕

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二次遅れモデル IMCコントローラ 復習︓二次遅れモデルの伝達関数は︖ 以下のような特殊な二次遅れモデルを対象とする IMC コントローラを設計しよう︕ ただし、１次フィルタとする 54 ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + + ( ) ( )( ) S model 1 2 1 1 K G s s s τ τ = + +

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二次遅れモデル IMCコントローラ 55 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 IMC model S 1 1 1 1 1 1 s s G s G s s s K τ τ λ λ − + + = = + +

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二次遅れモデル FBコントローラ 求めた２次遅れモデルの IMC コントローラと、等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラになることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間を求めよう︕ 56

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二次遅れモデル FBコントローラ 57 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) 1 2 1 2 FB S 1 2 1 2 1 1 1 G s s K s τ τ τ τ λ τ τ τ τ   + = + +   + +   ( ) ( )( ) 1 2 IMC S 1 1 1 1 s s G s s K τ τ λ + + = + から、

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二次遅れモデル FBコントローラ 58 ( ) 1 2 1 2 FB S 1 2 1 2 1 1 1 G s s K s τ τ τ τ λ τ τ τ τ   + = + +   + +   ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     よって、 1 2 1 2 I 1 2 S 1 2 , , P D K T T K τ τ τ τ τ τ λ τ τ + = = + = + IMC法により二次遅れモデルでもPIDコントローラを設計できる

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⼀般的な二次遅れモデル IMCコントローラ ⼀般的な二次遅れモデルの伝達関数 IMC コントローラを設計しよう︕ ただし、１次フィルタとする 59 ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + +

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⼀般的な二次遅れモデル IMCコントローラ 60 ( ) ( ) 2 2 1 F IMC model S 2 1 1 1 1 1 a s D as G s G s s s K λ λ − + + = = + +

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⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 求めた２次遅れモデルの IMC コントローラと、等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラになることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間を求めよう︕ 61

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⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 62 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) F FB S F F 2 1 1 1 2 2 D a a G s s K D a s D λ   = + +     ( ) 2 2 F IMC S 2 1 1 1 a s D as G s s K λ + + = + から、

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⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 63 ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     よって、 F I F S F 2 , 2 , 2 P D D a a K T D a T K D λ = = = IMC法により二次遅れモデルでもPIDコントローラを設計できる ( ) F FB S F F 2 1 1 1 2 2 D a a G s s K D a s D λ   = + +    