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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第1部・「無限」の理解 ／ 第4回 収束とは何か，ε-δ論法

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微分を習ったときの説明💡💡

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何かだまされている気がする🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱり h はゼロ 関数 f(x) = x2 の微分

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱり h はゼロ これっておかしく ありませんか？ 関数 f(x) = x2 の微分

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収束＝「限りなく近づく」ことの意味🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても， ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α α – ε α + ε ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても， ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 α α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 α α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る εをどんなに小さくしても α – ε α + ε ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN そういうNがある …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， an はみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， an はみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， an はみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， an はみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， an はみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，an はみな G より大きくなる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，an はみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，an はみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，an はみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる

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実数の連続性と収束🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 単調増加だから つねに増加していくが，収束する 数列{an}が　「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 　　　　　　　　「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する α

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する α α′ α より小さい α′ を考えると

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an α − α′ つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ α′ はどれだけ α に近くてもよい つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( > 0) と考えると つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( > 0) と考えると ε つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( > 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると 単調増加なので， α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α′ |α − an| < α − α′ α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( > 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり， {an} は α に収束する

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数列の収束に関する例題💡💡

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 16 a > 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 16 a > 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 16 a > 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について，

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 16 a > 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 16 a > 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( > 0) n > C ⋅ 2k ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( > 0) n > C ⋅ 2k ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( > 0) n > C ⋅ 2k ε an n! < ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 17 n > k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k > 2a なので an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( > 0) n > C ⋅ 2k ε an n! < ε つまり {an / n!} は 0 に収束する

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関数の極限🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x と a との隔たりが δ より小さいとき

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき f(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき f(x) と A との隔たりも ε より小さい f(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε ε – δ 論法

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε ε – δ 論法 ε も δ も，ただの正の数で，0ではないし， 0に「無限に」近づくわけでもない

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ ではなくて

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ ではなくて 収束する先が h = 0 を代入したときの値と同じ，というだけ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x A a B

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a+0 右極限

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a+0 右極限

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a−0 , 左極限 lim x→a+0 右極限

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関数の「連続」と「一様連続」🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) a で連続

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 右極限はf(a)で ない a で連続

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続 a で不連続

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続 a で不連続 区間 I のどの点でも連続なら「区間 I で連続」

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(a) ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには f(a) ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには f(a) ε ε a δ δ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ 同じ ε でも

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ δ δ b 同じ ε でも

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ δ δ b 同じ ε でも 要求される δ の「狭さ」は 異なる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい どの点でも「共通の δ 」を用いれば連続といえるとき［一様連続］という

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ 要求される δ の「狭さ」は いくらでも狭くなる

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ 要求される δ の「狭さ」は いくらでも狭くなる 区間内で「共通の δ 」は 存在しない

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関数列の収束🤔🤔

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) f(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) f(x) x

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x) f3(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x)

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが いくらでも右に行けば いつまでたっても収束しない

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1 (x), f2 (x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが いくらでも右に行けば いつまでたっても収束しない 各点収束ではあるが［一様収束］でない

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30 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 30 「限りなく近づく」とは， 「無限」ではない 求めに応じて 好きなだけ近くできること