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0 中心極限定理 2023-07-07 第51回NearMe技術勉強会 Futo Ueno

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1 Introduction ● 中心極限定理は、統計学において極めて重要である ● 中身は意外と難しい ● 定理を完全に理解し、必要になったときに安心して使えるようにする

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2 定理の主張 中心極限定理 ([倉田, 星野]「入門統計解析」より引用)

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3 定理の主張 中心極限定理 このままでも実用上は特に困らないが・・・

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4 定理の主張 (気になる点①) 中心極限定理 このままでも実用上は特に困らないが・・・ ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？

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5 分布収束 定義

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6 分布収束 定義 ※ 確率密度関数を使うのはどうか？

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7 分布収束 定義 ※ 確率密度関数を使うのはどうか？ → 存在しない場合がある

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8 定理の主張 (気になる点①) 中心極限定理 このままでも実用上は特に困らないが・・・ ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？ → done

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9 定理の主張 (気になる点②) 中心極限定理 このままでも実用上は特に困らないが・・・ ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？ → done ・収束先がnに依存しているようにみえるのが少々気持ち悪い

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10 修正(直観)

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11 修正(直観) n大

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12 修正(直観) n大 スライド

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13 修正(直観) n大 スライド √n 倍

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14 修正(式)

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15 定理の主張 中心極限定理 中心極限定理 (厳密ver.)

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16 定理の主張 中心極限定理 中心極限定理 (厳密ver.) ？

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17 中心極限定理の証明

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18 準備1 : 特性関数 定義

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19 準備1 : 特性関数 定義 (cf.) モーメント母関数

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20 準備1 : 特性関数の例

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21 準備1 : 特性関数の例 (ほぼ)ガウス関数→

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22 準備2 : 特性関数の性質

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23 準備2 : 特性関数の性質 分布関数と特性関数が1対1対応！！！

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24 準備2 : 特性関数の性質 分布関数と特性関数が1対1対応！！！ (→ 分布関数を考えたくないときに特性関数に逃げることが可能)

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25 準備3 : Lévyの連続性定理

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26 準備3 : Lévyの連続性定理 対応 対応

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27 準備3 : Lévyの連続性定理 連続？

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28 準備3 : Lévyの連続性定理 連続？

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29 準備3 : Lévyの連続性定理 連続？

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30 準備3 : Lévyの連続性定理 連続？ ※イメージ

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31 証明の方針

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32 証明の方針 対応

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33 証明の方針 対応

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34 証明の方針 対応 対応(?)

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35 証明の方針 Lévyの連続性定理 対応 対応(?)

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36 証明の方針 Lévyの連続性定理 対応 対応(?)

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37 証明 (cf.)

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38 証明

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39 証明

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40 証明 (cf.)

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41 証明 (cf.)

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42 準備1 : 特性関数の例(再掲) (ほぼ)ガウス関数→

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43 証明 (cf.)

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44 証明 (cf.)

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45 証明の方針(再掲) 対応 対応(?)

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46 証明の方針(再掲) 対応 対応(?) → 対応！

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47 証明の方針(再掲) Lévyの連続性定理 対応 対応(?) → 対応！

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48 証明の方針(再掲) Lévyの連続性定理 対応 対応(?) → 対応！

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49 証明の方針(再掲) Lévyの連続性定理 対応 対応(?) → 対応！

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50 参考文献 ・佐藤坦：「はじめての確率論 測度から確率へ」. 共立出版, 1994. ・倉田博史, 星野崇弘：「入門統計解析」. 新世社, 2009.

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51 Thank you