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5 分ではわからない
HM 型推論
in わいわいswiftcオンライン
Biacco42
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4/17 に行われた
型システム祭りオンライン
での LT 発表の拡大版になります。
https://opt.connpass.com/event/169724/
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プログラミング言語の基礎概念
[五十嵐淳 サイエンス社 2011]
だいたいこれの 8 章 〜 10 章
https://amzn.to/2XOsC4N
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お話すること
● 型システムの具体的実装例であ
ることが多い ML の構文の
ごく簡単な説明
● 型システムに関する表現の
ごく簡単な説明
● HM 型推論のざっくりした
アルゴリズム
● let 多相の実現法の概念
● ML の導出・推論規則
● 定理と証明
● 具体的な実装
しないこと
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お話すること
● 型システムの具体的実装例であ
ることが多い ML の構文の
ごく簡単な説明
● 型システムに関する表現の
ごく簡単な説明
● HM 型推論のざっくりした
アルゴリズム
● let 多相の実現法の概念
● ML の導出・推論規則
● 定理と証明
● 具体的な実装
しないこと
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5 分では説明しようがなかった
なのでだいぶ天下り・省略した説明をして
ML や型システムに関する文章が
雰囲気で読めるところを目指す
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
ML 風の式
全ては式でありある値に評価できる
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
変数宣言みたいなやつ
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
in の後ろで別名が使える
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
関数定義
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
引数
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
問：この式の返す値の型は？
本体 (式)
引数をパラメタとして使える
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
`+` は int -> int -> int => x: int
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
`+` は int -> int -> int => x: int
`x + 1` より fun x -> x + 1: int -> int
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問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
`+` は int -> int -> int => x: int
`x + 1` より fun x -> x + 1: int -> int
`fun x -> x + 1` よりこの式全体の型は f: int -> int
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問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
問：この式の返す値の型は？
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問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
`id` は bool -> bool
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問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
`id` は bool -> bool `id` は bool -> bool
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
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？？？？？？？
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
項 (Exp) の表現
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
項 (Exp) の表現 型変数 (型推論中の仮説)
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
項 (Exp) の表現 型変数 (型推論中の仮説)
型環境と型付け
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
項 (Exp) の表現 型変数 (型推論中の仮説)
型環境と型付け
型代入 (Substitution)
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型推論の定式化
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
項 (Exp) の表現 型変数 (型推論中の仮説)
型環境と型付け
型代入 (Substitution)
これがしたい
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型変数と型スキームと型環境
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
型環境 Γ のもとで
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型変数と型スキームと型環境
型環境 Γ のもとで項 e が型変数 σ に型付けできる
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型変数と型スキームと型環境
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型変数と型スキームと型環境
σ は τ (型変数・型コンストラクタ) or
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型変数と型スキームと型環境
σ は τ (型変数・型コンストラクタ) or
型スキーム
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補：型スキーム
α は全称量化された型変数
型スキームの引数のようなもの
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補：型スキーム
σ は型スキームの実体
ex: α -> α
つまりはだいたい λ 抽象と同じ
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型変数と型スキームと型環境
σ は τ (型変数・型コンストラクタ) or
型スキーム
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型変数と型スキームと型環境
Γ は空集合 or σ は τ (型変数・型コンストラクタ) or
型スキーム
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型変数と型スキームと型環境
Γ は空集合 or
Γ に x: σ の型スキームを
加えたもの (再帰的定義)
σ は τ (型変数・型コンストラクタ) or
型スキーム
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型変数と型スキームと型環境
項 e は型環境 Γ によって提供されるある型変数 x を
型スキーム σ’ として与えた場合に
型 (スキーム) σ に評価できる
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σ って具体的な型なの？
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型代入 (Substitution)
型代入 S は型環境や型スキーム中の
型変数を τ
i
に置き換える
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型代入 (Substitution)
型代入 S は型環境や型スキーム中の
型変数を τ
i
に置き換える
型環境に型代入 S を適用した型環境では
項 e が型代入 S を適用した型 (スキーム)
Sσ に型付けできる
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型代入 (Substitution)
型代入 S は型環境や型スキーム中の
型変数を τ
i
に置き換える
型環境に型代入 S を適用した型環境では
項 e が型代入 S を適用した型 (スキーム)
Sσ に型付けできる
いい感じの型代入 S を見つけると具体的な型が定まる
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【再掲】問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
`+` は int -> int -> int => x: int
`x + 1` より fun x -> x + 1: int -> int
`fun x -> x + 1` よりこの式全体の型は f: int -> int
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【再掲】問題：自動で型をつけたい
let f = fun x -> x + 1 in f
`+` は int -> int -> int => x: int
`x + 1` より fun x -> x + 1: int -> int
`fun x -> x + 1` よりこの式全体の型は f: int -> int
型に関する連立方程式としてみれる
= 型の仮定を置き換えていく
= 連立方程式を解く型代入 S をさがす！
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型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {}
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {}
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {}
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {}
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型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {} 型変数
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {}
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {}
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {}
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Slide 46 text
型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {} 型変数
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {} ラムダ式
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {}
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {}
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型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {} 型変数
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {} ラムダ式
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {} 関数適用
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {}
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型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {} 型変数
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {} ラムダ式
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {} 関数適用
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {} let 式
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型付けのアルゴリズム：項の定義
abstract class Term {}
case class Var(x: String) extends Term {} 型変数
case class Lam(x: String, e: Term) extends Term {} ラムダ式
case class App(f: Term, e: Term) extends Term {} 関数適用
case class Let(x: String, e: Term, f: Term) extends Term {} let 式
ex: λx. cons x nil
= Lam("x", App(App(Var("cons"), Var("x")), Var("nil")))
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
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Slide 51 text
型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
式の AST を手繰る
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
再帰的な項の探索
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
連立方程式
e1: a -> t の導入
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Slide 54 text
型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
単一化 再帰的な項の探索
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単一化？
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
単一化 = 連立方程式の両辺が等しくなる解を探す
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単一化：HM 型システムの中心
def unifier(t: Type, u: Type, s: Subst): Subst = (s(t), s(u)) match {
case (Tyvar(a), Tyvar(b)) if (a == b) => s
case (Tyvar(a), _) if !(tyvars(u) contains a) =>
s.extend(Tyvar(a), u)
case (_, Tyvar(a)) =>
unifier(u, t, s)
}
case (Arrow(t1, t2), Arrow(u1, u2)) =>
unifier(t1, u1, unifier(t2, u2, s))
case (Tycon(k1, ts), Tycon(k2, us)) if (k1 == k2) =>
(ts zip us).foldLeft(s)((s, tu) => unifier(tu._1, tu._2, s))
case _ => throw new TypeError
型代入 S の元で型変数 t と u が同じになるような
より拡張した型代入 S’ を探す
= 単一化
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単一化：HM 型システムの中心
def unifier(t: Type, u: Type, s: Subst): Subst = (s(t), s(u)) match {
case (Tyvar(a), Tyvar(b)) if (a == b) => s
case (Tyvar(a), _) if !(tyvars(u) contains a) =>
s.extend(Tyvar(a), u)
case (_, Tyvar(a)) =>
unifier(u, t, s)
}
case (Arrow(t1, t2), Arrow(u1, u2)) =>
unifier(t1, u1, unifier(t2, u2, s))
case (Tycon(k1, ts), Tycon(k2, us)) if (k1 == k2) =>
(ts zip us).foldLeft(s)((s, tu) => unifier(tu._1, tu._2, s))
case _ => throw new TypeError
同じ型変数ならなにもしない
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単一化：HM 型システムの中心
def unifier(t: Type, u: Type, s: Subst): Subst = (s(t), s(u)) match {
case (Tyvar(a), Tyvar(b)) if (a == b) => s
case (Tyvar(a), _) if !(tyvars(u) contains a) =>
s.extend(Tyvar(a), u)
case (_, Tyvar(a)) =>
unifier(u, t, s)
}
case (Arrow(t1, t2), Arrow(u1, u2)) =>
unifier(t1, u1, unifier(t2, u2, s))
case (Tycon(k1, ts), Tycon(k2, us)) if (k1 == k2) =>
(ts zip us).foldLeft(s)((s, tu) => unifier(tu._1, tu._2, s))
case _ => throw new TypeError
片方が型変数のときそれを相手の型での置き換えるように
型環境を拡張する
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単一化：HM 型システムの中心
def unifier(t: Type, u: Type, s: Subst): Subst = (s(t), s(u)) match {
case (Tyvar(a), Tyvar(b)) if (a == b) => s
case (Tyvar(a), _) if !(tyvars(u) contains a) =>
s.extend(Tyvar(a), u)
case (_, Tyvar(a)) =>
unifier(u, t, s)
}
case (Arrow(t1, t2), Arrow(u1, u2)) =>
unifier(t1, u1, unifier(t2, u2, s))
case (Tycon(k1, ts), Tycon(k2, us)) if (k1 == k2) =>
(ts zip us).foldLeft(s)((s, tu) => unifier(tu._1, tu._2, s))
case _ => throw new TypeError
関数適用ならそれぞれの引数と返り値が同じになるように
型代入を拡張する
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単一化：HM 型システムの中心
def unifier(t: Type, u: Type, s: Subst): Subst = (s(t), s(u)) match {
case (Tyvar(a), Tyvar(b)) if (a == b) => s
case (Tyvar(a), _) if !(tyvars(u) contains a) =>
s.extend(Tyvar(a), u)
case (_, Tyvar(a)) =>
unifier(u, t, s)
}
case (Arrow(t1, t2), Arrow(u1, u2)) =>
unifier(t1, u1, unifier(t2, u2, s))
case (Tycon(k1, ts), Tycon(k2, us)) if (k1 == k2) =>
(ts zip us).foldLeft(s)((s, tu) => unifier(tu._1, tu._2, s))
case _ => throw new TypeError
型コンストラクタならそれぞれの要素の型が同一になるよう
型環境を拡張
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【再掲】型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
単一化 再帰的な項の探索
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
項を手繰りながら
連立方程式を立てつつ => 単一化で再帰的に解く
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【再掲】問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
`id` は bool -> bool `id` は bool -> bool
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let 多相
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
let 式においてのみ型変数の多相性の伝搬を許す
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let 多相
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
let 式においてのみ型変数の多相性の伝搬を許す
=> 実はすでに登場している型スキーマの
全称量化された型変数がこれ
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let 多相
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
let 式においてのみ型変数の多相性の伝搬を許す
=> 実はすでに登場している型スキーマの
全称量化された型変数がこれ
'a -> 'a ==> ∀α.α -> α
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型スキームのインスタンス化
全称量化された型変数に具体的な型を適用すること
∀α.α -> α => 'a -> 'a とか
∀α.α -> α => int -> int
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型スキームのインスタンス化 (2)
Γ が ∀α.α -> 'b のもとで S {α -> τ} のとき SΓ は？
∀α.α -> 'b => ∀τ.τ -> 'b ？
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型スキームのインスタンス化 (2)
Γ が ∀α.α -> 'b のもとで S {α -> τ} のとき SΓ は？
∀α.α -> 'b => ∀τ.τ -> 'b ？
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型スキームのインスタンス化 (2)
Γ が ∀α.α -> 'b のもとで S {α -> τ} のとき SΓ は？
S{α -> τ} ∀α.α -> 'b => S{'a -> τ} ∀'a.'a -> 'b
=> S{'a -> τ} 'a -> 'b
=> τ -> 'b
置き換える型変数の名前を変更しても意味は変わらない
=> α変換
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
型スキームのインスタンス化
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型付けのアルゴリズム：S を探す
def tp(env: Env, e: Term, t: Type, s: Subst): Subst = {
e match {
case Var(x) => // 型変数の場合
val u = lookup(env, x)
unifier(u.newInstance, t, s)
case Lam(x, e1) => // ラムダ式
val a, b = newTyvar()
val s1 = unifier(t, Arrow(a, b), s)
val env1 = {x, TypeScheme(List(), a)} :: env
tp(env1, e1, b, s1)
}
case App(e1, e2) => // 関数適用
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, Arrow(a, t), s)
tp(env, e2, a, s1)
case Let(x, e1, e2) => // let 式
val a = newTyvar()
val s1 = tp(env, e1, a, s)
tp({x, gen(env, s1(a))} :: env, e2, t, s1)
newInstance は全称量化された型変数を
ある型変数に固定したコピーを作ってからから単一化する
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問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
`id instance #1` は
'a -> 'a
`id instance #2` は
'b -> 'b
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問題：自動で型をつけたい (2)
let id = fun x -> x in
If id false then 1 else id 2
`id instance #1` は
'a -> 'a => bool -> bool
`id instance #2` は
'b -> 'b => int -> int
twemoji by Twitter CC BY 4.0
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Ref
プログラミング言語の基礎概念 [五十嵐淳 サイエンス社 2011]
Hindley–Milner type system - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system#Substitution_in_typings
第 16 章 Hindley/Milner 型推論 - プログラミング言語 Scala 日本語情報サイト
https://sites.google.com/site/scalajp/home/documentation/scala-by-example/chapter16
Hindley-Milner型推論アルゴリズムを Groovyで書いてみた
http://uehaj.hatenablog.com/entry/2014/02/01/183039
人でもわかる型推論
https://qiita.com/uint256_t/items/7d8c8feeffc03b388825
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end
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@Biacco42