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化学プロセスシステム工学 第３回 2018年10月11日 (木) 0 理工学部 応用化学科 データ化学工学研究室 専任講師 ⾦⼦ 弘昌

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前回の復習 1

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制御とは︖ JIS (日本工業規格) の定義 [Z 8116] • 「ある目的に適合するように、制御対象に所要の操作を加えること」 2 望みのとおりになりそうなモノを、 何かすることで、望みどおりにすること 望みのとおりにならなそうなモノを、 何かすることで、望みどおりにすること 望みのとおりになりそうなモノを、 何もしないで、望みどおりにすること ✕ ✕

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化学工学・プロセスシステム・制御で大事なこと モデリング (モデル化) シミュレーション 最適化 3

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制御するためには、何が必要か︖ お湯の温度を、たとえば 40℃に、制御するために、 何が必要か考えてみよう︕ • ⾞の場合は︖ 4

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出⼒変数と⼊⼒変数との関係 モデルを求める方法は、大きく分けて３つある • 理論的に攻める方法 ⁃ 物質収支 (マスバランス、マテリアルバランス) ⁃ 熱収支 (ヒートバランス) • メリット︓実験しなくても求まる • デメリット︓数式として表せないといけない • 実験データを使う経験的な方法 ⁃ モデルの概形を決めて、ステップ応答などの実験(運転)で 得られたデータから計算 • メリット︓数式で表せないものもモデル化できる • デメリット︓実験しないといけない • 理論的に攻めながら、データも使う方法 5

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流体加熱プロセス︓問題設定 6 Q T, V, ρ, cP Fi , Ti Fo , T Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output

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熱収支 式変形 7 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − + 出⼒変数 (お湯の温度) と⼊⼒変数 (加熱量) との 間の関係を式で表せた︕モデリングできた︕

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熱収支 コンピュータシミュレーション 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P Q t t F T t T t t T T t t t V V c ρ   − ∆ = − ∆ + − − ∆ + ∆     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P T t T t t Q t t F T T t t t V V c ρ − − ∆ − ∆ = − − ∆ + ∆ 繰り返し計算によって、T(t) の時間変化を求めていく T(tーΔt) Q(tーΔt) T(t) Q(t) T(t+Δt) Q(t+Δt) T(t+2Δt) ・・・ ・・・

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流体加熱プロセスのシミュレーション F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 = 0.00005 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 = 20 [℃] V [m3]︓タンク内流体の体積 = 0.01 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 = 1000 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 = 4200 Q [J・s-1] (加熱量) の最大値 = 3000 Δt = 0.1 ヒーターを on にしてから加熱が始まるまで 60 s かかるとする ヒーターを最大にして、3000 s シミュレーションしてみよう︕ 9

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P制御 P・・・Proportional (⽐例動作) 出⼒変数 (温度) の目標値との差 e に⽐例するように ⼊⼒変数 (加熱量) を変化させる ⽐例動作︓P (Proportional) 制御 10 ( ) ( ) ( ) 0 P Q t K e t Q = + t [s]︓時刻 T(t) [K]︓時刻 t のときの水温 Ttarget [K]︓目標の温度 KP ︓⽐例ゲイン (定数) ( ) ( ) target e t T T t = −

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P制御の問題点は︖ P制御の問題点は何か考えてみよう︕ 11

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PI制御 出⼒変数の目標値との差 e をふまえて、⼊⼒変数の値をどうするか︖ ⽐例積分動作︓PI (Integral) 制御 • ただ実際は、コンピュータで⾏うので、 ⁃ 積分 → ⾯積の累積和 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 0 t P P K Q t K e t e r dr Q T = + +  TI ︓積分時間 (定数) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 I 1 0 t P r Q t K e t e r t Q T =   = + ∆ +     

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今日の内容 制御性能の指標 PID制御 実験データを使う経験的な方法 13

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良い制御︖ 良い制御ってどんな制御か、考えてみましょう︕ 14

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制御性能の指標 制御⾯積 1/2 絶対値制御⾯積 (Integral of Absolute Error, IAE) 二乗制御⾯積 (Integral of Square Error, ISE) • IAE も ISE も、値が小さいほど制御性能がよい 15 ( ) ( ) 0 0 T t IAE e t dt e t ∞ = = =   ( ) ( ) 2 2 0 0 T t ISE e t dt e t ∞ = = =   T︓ある程度 時間が経った あとの時刻

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制御性能の指標 制御⾯積 2/2 荷重絶対値制御⾯積 (Integral of Time Absolute Error, ITAE) 荷重二乗制御⾯積 (Integral of Time Square Error, ITSE) • 時間が経ったあとほど、 e(t) に重みをつける ⁃ 設定値変更や外乱発⽣の直後 ( t︓小) に e(t) が大きいのは 仕方ない • ITAE も ITSE も、値が小さいほど制御性能がよい 16 ( ) ( ) 0 0 T t ITAE t e t dt t e t ∞ = = =   ( ) ( ) 2 2 0 0 T t ISE te t dt te t ∞ = = =  

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制御性能の指標 整定時間 整定時間 (settling time) • 目標値の付近の ある範囲に⼊り、それからその範囲の外に 出なくなるまでの時間 ⁃ たとえば、目標値－5% 〜 目標値＋5% の範囲 値が小さいほど、制御性能がよい 17

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整定時間 18 目標温度 目標温度＋5% 目標温度ー5% 整定時間

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制御性能の指標 オーバーシュート(⾏き過ぎ) 設定値変更のとき、出⼒変数 (制御変数) が目標値を 越えてしまった (⾏き過ぎた) かどうか • プロセスによっては、越えてはいけない場合もある • 超えてもよいプロセスだったら、考えなくてもよい 19

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オーバーシュートの例 20

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制御性能 その他 ⼊⼒変数 (操作変数) の変化が小さいことが好まれる • コスト • 安全性 • 製品品質 出⼒変数だけでなく、⼊⼒変数の時間変化も必ずチェック︕ 21

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PI制御のパラメータ ISEが小さくなるようにパラメータを決めてみましょう 22

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PI制御の問題点は︖ PI制御の問題点は何か考えてみよう︕ 23

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PI制御の問題点 外乱 (⼊⼒変数と関係ない変動) への対応が遅くなってしまう どうしてでしょうか︖ どうしたらよいでしょうか︖ 24

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PID制御 (⽐例・積分・微分) 出⼒変数の目標値との差 e をふまえて、⼊⼒変数の値をどうするか︖ ⽐例積分微分動作︓PID (Derivative) 制御 25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 0 I 0 1 0 t P P P D t P D de t K Q t K e t e r dr K T Q T dt de t K e t e r dr T Q T dt = + + +   = + + +       TD [s]︓微分時間 (定数)

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PID制御 (⽐例・積分・微分) 出⼒変数の目標値との差 e をふまえて、⼊⼒変数の値をどうするか︖ ⽐例積分微分動作︓PID (Derivative) 制御 • ただ実際は、コンピュータで⾏うので、 ⁃ 微分 → 差分 / Δt 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 I 1 1 0 t P D r e t e t Q t K e t e r t T Q T t =   − − = + ∆ + +   ∆   

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PID制御をしてみましょう︕ 27

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微分時間の影響 微分時間 TD が大きいときと小さいときとでどう変わるか観察しよう 微分動作は、未来を予測したかのように振る舞う 28

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こんなパラメータの決め方もあります パラメータが、 • ⽐例ゲイン KP • 積分時間 TI • 微分時間 TD の３つになって最適化が大変 パラメータの最適化を自動化させましょう︕ どうやって自動化︖ • KP と TI と TD の候補をそれぞれ (たくさん) 決めて、 すべての組み合わせでPID制御をして、各指標の値がよくなる 組み合わせを選びましょう︕ ⁃ グリッドサーチ 29

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シミュレーションできたことのメリットを確認 モデリング シミュレーション 30

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理論的に攻める方法の問題点 理論的に攻める方法でPID制御のパラメータを最適化するときの 問題点について考えてみよう • モデル化できない現象がある • ノイズ (測定誤差など) が考慮されていない 31 PID制御のパラメータが強すぎてしまう → 実際のプロセスでは不安定に 理論的なモデル内のパラメータを少し変えたり、 あえてノイズ (乱数) を追加したりして改善する方法もある

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出⼒変数と⼊⼒変数との関係 モデルを求める方法は、大きく分けて３つある • 理論的に攻める方法 ⁃ 物質収支 (マスバランス、マテリアルバランス) ⁃ 熱収支 (ヒートバランス) • メリット︓実験しなくても求まる • デメリット︓数式として表せないといけない • 実験データを使う経験的な方法 ⁃ モデルの概形を決めて、ステップ応答などの実験(運転)で 得られたデータから計算 • メリット︓数式で表せないものもモデル化できる • デメリット︓実験しないといけない • 理論的に攻めながら、データも使う方法 32

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実験データを使う経験的な方法 ① 実験する ② モデルの概形を決める ③ PID制御の３つのパラメータを決める 33

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① 実験する 1/2 ⼊⼒変数をあえて大きく変化させて、出⼒変数の応答を⾒る • ステップ信号 • インパルス信号 34 • ランプ信号 時間 ⼊⼒変数 0 時間 ⼊⼒変数 0 時間 ⼊⼒変数 0

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① 実験する 2/2 ⼊⼒変数をあえて大きく変化させて、出⼒変数の応答を⾒る • ステップ信号 → ステップ応答 [最も一般的] • インパルス信号 → インパルス応答 • ランプ信号 → ランプ応答 35

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② モデルの概形を決める まずは、どのようなモデルの概形があるか確認します 36

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② モデルの概形 積分 積分モデル (積分系、積分プロセス、積分要素) 37 ( ) S y t K t = t︓時刻 y︓出⼒変数 KS ︓定常ゲイン (定数) ステップ応答のとき、

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② モデルの概形 １次遅れ １次遅れモデル (１次遅れ系、１次遅れプロセス、１次遅れ要素) y(∞) は︖ 38 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数 TC ︓時定数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ⼊⼒変数を0 → 1 としたステップ応答 (単位ステップ応答)のとき、 となります [後で詳しくやります]

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② モデルの概形 １次遅れ １次遅れモデル (１次遅れ系、 １次遅れ要素) 39 単位ステップ応答

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② [クイズ] 40 ( ) ( ) i 0 P 1 exp exp t F F T t T t t Q t dt V c V V ρ     = + −          加熱流体プロセス について、Q(t) を 0 → 1 としたステップ応答のとき、T(t) - Ti が ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           と表されることを確認し、KS , TC を求めてみよう

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② [クイズ 回答] 41 ( ) i 0 P P 0 P P 1 exp exp 1 exp exp 1 exp exp 1 1 1 exp t t F F T t T t t dt V c V V F V F t t V c V F V F V F t t V c V F V F t F c V ρ ρ ρ ρ     − = −               = −                     = − −                     = − −          Q(t) = 1 より、 S P 1 K F c ρ = よって、 C V T F =