1/17 原子層物質の光吸収におけるバレー偏極 物性理論グループ ガラムカリ和 𝑘𝑦 𝑘𝑥 (Bi原子層の擬スピン偏極)

2/17 アウトライン • イントロダクション ・擬スピン偏極とバレー偏極 Y.Tatsumi,Kazu Ghalamkari, et al. PRB 94, 235408(2016) ・バレー偏極のエネルギーバンドギャップ依存性 Kazu Ghalamkari,et al. JPSJ 7,68501(2018) ・シリセンの紹介 • 研究目的とBi原子層の導入 • 計算方法 • Bi原子層のバレー偏極と擬スピン偏極

3/17 𝐴 𝐵 𝑦 𝑥 電子がA原子とB原子のどちらに局在するか 実空間 𝑘𝑦 𝐸 𝑲′ 𝑲 電子が𝑲バレーと𝑲′バレーのどちらにいるのか K-空間 𝐴 ≠ 𝐵 電子はエネルギーの低い原子に局在（擬スピン偏極） 擬スピン自由度 バレー自由度 𝐴 ≠ 𝐵 光吸収によって一方のバレーの電子が励起（バレー偏極） 擬スピン自由度とバレー自由度 Δ 𝐴 𝐵 Δ −Δ/2 Δ/2 Δ > 0

4/17 𝑦 𝑥 バレー偏極した光吸収 右円偏光 𝝈− 𝝈− 𝝈+ 電子 𝑘𝑦 𝐸 𝑲′ 𝑲 𝑧 バレー偏極なし(𝐴 = 𝐵) グラフェン(Δ=0) バレー偏極あり(𝐴 ≠ 𝐵) TMDs(Δ≠0) h-BN(Δ≠0) シリセン(Δ=0) 𝐴 𝐵 −Δ/2 Δ/2 擬スピン偏極もなし 擬スピン偏極もあり 左円偏光 𝝈+ Y.Tatsumi, Kazu Ghalamkari, PRB 94, 235408(2016) Δ

5/17 Δ = 0.5 Δ = 1.0 Δ = 0.25 Δ = 0.0 𝐾′ 𝐾 𝐾′ 𝐾′ 𝐾′ 𝐾′ 𝐾′ 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 右円偏光 左円偏光 𝜎− 𝜎+ 𝐾′ 𝐾′ 𝐾′ M バレー偏極なし eV M Kazu Ghalamkari,et al., J. Phys. Soc. Jpn. 87, 68501(2018) 六方格子に円偏光を入射したときの遷移行列要素 バレー偏極あり バレー偏極あり バレー偏極あり

6/17 𝑧 電場𝑬𝒛 𝑦 𝑥 シリセンのハミルトニアン λ𝑆𝑂 λR 𝑥 ケイ素原子Si 𝐴 𝐵 λ𝑆𝑂 λ𝑆𝑂 λR 𝐴 𝐵 λ𝑆𝑂 ：スピン軌道相互作用項 λR ：ラシュバ項 無視できる オンサイトエネルギーの差Δ = 𝑒𝑑E𝑧 𝑑 1230

7/17 シリセンのバンド反転とバレー偏極 トポロジカル絶縁体 金属 バンドギャップ絶縁体 𝑉 = 0 𝑉 < 𝑉 𝑐 𝑉 = 𝑉 𝑐 ↑ ↓ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝜎− 𝜎+ 𝜎+ 𝜎− 𝑉 𝑐 < 𝑉 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 𝑘𝑦 𝑘𝑦 𝐸 𝐸 バレー偏極なし 8meV Ezawa P.R.B 86, 161407(R) (2012) バレー選択則が反転！ ナノリボンのバンド図 ナノリボンのバンド図 擬スピン偏極も反転してるはず

8/17 シリセンのバンド反転と擬スピン偏極 B原子に局在した電子が占有 A原子に局在した電子が占有 𝑉 = 𝑉 𝑐 𝑉 = 𝑉 𝑐 4 𝑉 = 2𝑉 𝑐 バンド反転の前後で擬スピン偏極も反転 −1 +1 トポロジカル絶縁相 金属 バンドギャップ絶縁相 𝐴 𝐵 電場𝑬𝒛 𝑉 = E𝑧 𝑑

9/17 研究の動機 ・シリセンのメリット 擬スピン偏極,バレー偏極,エネルギーギャップが電場によって変調可能 電場によって金属-絶縁体転移を起こす。 ・シリセンのデメリット エネルギーギャップが小さすぎる(8meV) 金属であるのは𝑉 = 𝑉 𝑐 の1点のみ 金属状態を維持できないか？ ギャップを大きくできないか？ 𝑉 = 𝑉 𝑐 𝑉 < 𝑉 𝑐 𝑉 𝑐 < 𝑉 0900

10/17 𝑘𝑦 𝑘𝑥 Γ D D′ ビスマスBi バレーが２つ存在する→バレー偏極の議論ができる？ 電場𝑬𝒛 本研究の目的 𝜃 Puckerd lattice上に重い原子を並べて擬スピン偏極・バレー偏極を電場によって変調する。 目的 スピン軌道相互作用が大きい！→ギャップ大？ Puckered lattice 電場によってオンサイトエネルギーを変調できる！

11/17 電場𝑬𝒛 計算方法 𝜃 𝐻 = ෍ 𝑖,𝑗,𝛼 𝑡𝑖𝑗 𝑐 𝑖𝛼 † 𝑐𝑗𝛼 + 𝑉 ෍ 𝑖,𝛼 𝑐 𝑖𝛼 † 𝑐𝑖𝛼 + 𝐻𝑆𝑂 とびうつり積分 電場 スピン軌道相互作用 𝐻𝑆𝑂 = −iλ𝑆𝑂 ෍ ≪𝑖𝑗≫𝛼𝛽 𝑣𝑖𝑗 𝑐 𝑖𝛼 † 𝜎𝑧 𝛼𝛽𝑐𝑖𝛼 −𝑖λ𝑅 ෍ ≪𝑖𝑗≫𝛼𝛽 𝑐 𝑖𝛼 † 𝒅𝒊 × 𝒅𝒋 0 || ⋅ 𝝈 || 𝛼𝛽𝑐𝑖𝛽 (スピン軌道相互作用項) (ラシュバ作用項) 𝜆𝑅 λ𝑆𝑂 𝑀 𝒌 = 𝑓 ℋopt 𝑖 ∝ 𝒆𝒑 ⋅ 𝑓 𝜵 𝑖 （１）ハミルトニアンから固有値を求める。 （２）固有関数から擬スピン偏極を調べる。 （３）固有関数から円偏光照射時の遷移確率を求める 𝝈|| = 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 0 𝒅𝒊 𝒅𝒋 無視できない ℋopt ∝ 𝒆𝒑 ⋅ 𝛁 =: D𝑖→𝑓 (𝒌) ダイポールベクトル

12/17 Bi原子層のエネルギー分散関係の電場依存性 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑉 = meV/Å 𝑘𝑦 軸上に2つのバレー バレーが分裂 𝑘𝑥 軸上に2つのバレー 0510

13/17 Bi原子層のエネルギー分散関係の電場依存性 V=0 meV/Å V=67 D D′ 165 meV V=92 V=336 V=131 𝑘𝑦 𝑘𝑥 V=404 金属 V=426 バンドギャップ絶縁体 トポロジカル絶縁体 𝑘𝑦 𝐸[eV] 𝑘𝑦 𝐸[eV] D D′ 𝑘𝑦 𝑘𝑥 kx方向で バンド反転 ky方向で バンド反転 F F′ 擬スピン偏極は？

14/17 電場𝑬𝒛 Bi原子層の擬スピン自由度 V=33 V=131 V=197 V=328 V=460 上鎖に局在 下鎖に局在 電場によってどちらの鎖に電子を局在させるかを変調できる D D′ 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘𝑦 価電子帯 meV/Å バンド反転 バンド反転

15/17 電場𝑬𝒛 Bi原子層のバレー偏極 𝜃 原子層に垂直に円偏光を照射→バレー偏極は生じない 原子層に横から円偏光を照射→バレー偏極が生じる 右円偏光 𝜎− 左円偏光 𝜎+ （x-y平面に空間反転対称性がある）

16/17 V=33 V=67 V=99 V=131 V=197 D D′ V=164 V=426 𝑘𝑦 𝑘𝑥 meV/Å Bi原子層のバレー偏極 左円偏光 右円偏光 𝑀𝜎 𝒌 2 Large 0 D D′ D D′ 遷移確率が 異なる

17/17 物質 𝐴 = 𝐵 𝐴 ≠ 𝐵 Silicene with Ez Bi with Ez 擬スピン偏極 × ○ ◎ ◎ バレー偏極 × ○ ◎ ◎ エネルギーギャップ × ○ ◎ ◎ まとめ ・Bi原子層の特徴 165meVのエネルギーギャップ 電場によってバレー偏極,擬スピン偏極,エネルギーギャップが変調可能 電場によってトポロジカル絶縁体-金属-バンドギャップ絶縁体と変化 × なし ○ あり ◎ 変調可能

18/17

19/17 シリセンのバレー選択則が反転する理由 𝑉 = 0 𝑉 < 𝑉 𝑐 𝑉 = 𝑉 𝑐 ↑ ↓ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝐊 𝐊′ 𝜎− 𝜎+ 𝜎+ 𝜎− 𝑉 𝑐 < 𝑉 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 8meV 𝑫 = 𝑞 𝛁 𝑝 𝑫 = 𝑝 𝛁 𝑞 複素共役とって負号をつけた関係 𝑀𝑖→𝑓 = 𝑓 ℋopt 𝑖 ∝ 𝒆𝒑 ⋅ 𝑓 𝜵 𝑖 =: D𝑖→𝑓 (𝒌) ダイポールベクトル ℋopt = 𝑖ℏ𝑒 𝑚 𝑨 ⋅ 𝛁 ∝ 𝒆𝒑 ⋅ 𝛁 𝒆𝒑 : 偏光ベクトル 𝒆𝒑+ = 1 2 1 𝑖 𝒆𝒑− = 1 2 1 −𝑖 右円偏光 𝜎− 左円偏光 𝜎+ フェルミの黄金律（時間発展の摂動論） 質問用

20/17 スピン軌道相互作用 質問用 𝐻𝑆𝑂 ∝ 1 𝑟 𝑑Φ 𝑟 𝑑𝑟 𝑳 ⋅ 𝑺 = 1 𝑟 𝑑Φ 𝑟 𝑑𝑟 𝒓 × 𝒑 ⋅ 𝑺 = 𝛁Φ(r) × 𝒑 ⋅ 𝑺 = −𝑭 × 𝒑 ⋅ 𝑺 = −𝑭∥ × 𝒑 ⋅ 𝑺 + −𝑭⊥ × 𝒑 ⋅ 𝑺 𝑧 𝑦 𝑥 𝑭∥ 𝑭⊥ 𝑥 ケイ素原子Si 𝐴 𝐵 𝑭∥ 𝑭∥ 𝑭⊥ −𝑭∥ × 𝒑 ⋅ 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 = λ𝑆𝑂 𝜎𝑧 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 −𝑭⊥ × 𝒑 ⋅ (𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 ) = λ𝑅 (𝑝𝑦 𝜎𝑥 − 𝑝𝑥 𝜎𝑦 ) Φ ∶ 原子のつくるクーロンポテンシャル

21/17 𝐻 = λ𝑆𝑂 + 𝑉 𝑡 λ𝑅 0 𝑡∗ −λ𝑆𝑂 − 𝑉 0 −λ𝑅 λ𝑅 ∗ 0 −λ𝑆𝑂 + 𝑉 𝑡 0 −λ𝑅 ∗ 𝑡∗ λ𝑆𝑂 − 𝑉 A↑ B↑ A↓ B↓ A↑ B↑ A↓ B↓ 𝑧 電場𝑬𝒛 𝑦 𝑥 シリセンのハミルトニアン λ𝑆𝑂 λR 𝑥 ケイ素原子Si 𝐴 𝐵 𝑡 とびうつり積分 V 電場の効果 λ𝑆𝑂 スピン軌道相互作用 λ𝑅 ラシュバ項←無視できる 𝑉 = 𝑒𝐸𝑧 𝑑 λ𝑆𝑂 λ𝑆𝑂 λR 𝐴 𝐵 𝐻 = 𝑡 ෍ 𝑖,𝑗 ,𝛼 𝑐 𝑖𝛼 † 𝑐𝑗𝛼 + 𝑖 λ𝑆𝑂 3 3 ෍ ≪𝑖𝑗≫𝛼𝛽 𝑣𝑖𝑗 𝑐 𝑖𝛼 † 𝜎𝑧 𝛼𝛽𝑐𝑖𝛼 − 𝑖 2λ𝑅 3 ෍ ≪𝑖𝑗≫𝛼𝛽 𝜇𝑖𝑗 𝑐 𝑖𝛼 † 𝝈 × 𝒅𝒊𝒋 𝒛 𝛼𝛽 𝑐𝑗𝛽 +𝑉 ෍ 𝑖,𝛼 𝜁𝑖 𝑐 𝑖𝛼 † 𝑐𝑖𝛼

22/17 シリセンのバンド反転 𝐻(𝑲) = λ𝑆𝑂 + 𝑉 0 0 0 0 −λ𝑆𝑂 − 𝑉 0 0 0 0 −λ𝑆𝑂 + 𝑉 0 0 0 0 λ𝑆𝑂 − 𝑉 𝐸 𝑲 = ±λ𝑆𝑂 ± 𝑉 （複合任意） A↑ B↑ A↓ B↓ A↑ B↑ A↓ B↓ 𝑉 = 0 0 < 𝑉 < λ𝑆𝑂 𝑉 = 𝑉 𝑐 = λ𝑆𝑂 0 < λ𝑆𝑂 < 𝑉 λ𝑆𝑂 −λ𝑆𝑂 λ𝑆𝑂 + 𝑉 −λ𝑆𝑂 − 𝑉 −λ𝑆𝑂 + 𝑉 λ𝑆𝑂 − 𝑉 λ𝑆𝑂 + 𝑉 −λ𝑆𝑂 − 𝑉 λ𝑆𝑂 + 𝑉 −λ𝑆𝑂 − 𝑉 λ𝑆𝑂 − 𝑉 −λ𝑆𝑂 + 𝑉 −λ𝑆𝑂 λ𝑆𝑂 ↑ ↓ 𝜎− 𝜎+ 𝜎+ 𝜎− 𝜎− 𝜎− 𝜎− 2λ𝑆𝑂 2(λ𝑆𝑂 − 𝑉) 2(𝑉 − λ𝑆𝑂 ) 𝑲 𝑲 𝑲 𝑲 𝑫 = 𝑞 𝛁 𝑝 𝑫 = 𝑝 𝛁 𝑞 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 複素共役とって負号をつけた関係 λ𝑆𝑂 スピン軌道相互作用 𝑉 = 𝑒𝐸𝑧 𝑑 質問用

23/17 𝐸[eV] ビスマス原子層の第一原理計算との比較 第3近接まで考慮したTB法 DFT 𝐸[eV] 赤： pz 軌道 緑： px 軌道 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑀 𝑋1 Γ 𝑋1 𝑀 𝑀 𝑀 𝑋2 𝑋2 npj Computational Materials (2016) 2, 16011 質問用 -2 +2 -2 +2

24/17 ビスマス原子層の第一原理計算との比較 DFT 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑀 𝑋1 Γ 𝑋1 𝑀 𝑀 𝑀 𝑋2 𝑋2 npj Computational Materials (2016) 2, 16011 質問用 pz 軌道 -2 0 +2 E[eV]

25/17 𝑘𝑦 𝑘𝑥 Γ D D′ リンF ヒ素As アンチモンSb ビスマスBi バレーは１つのみ バレーが２つ存在する 電場𝑬𝒛 𝑘𝑦 𝑘𝑥 Γ Puckered latticeを安定して形成する原子 𝜃 質問用

26/17 Bi(110)のハミルトニアン行列 𝐻 = −𝑀 𝜀𝑆𝑂 𝑄1 𝑄2 0 𝜀𝑅 0 0 𝜀𝑆𝑂 +𝑀 𝑄2 𝑄1 −𝜀𝑅 0 0 0 𝑄1 ∗ 𝑄2 ∗ +𝑀 −𝜀𝑆𝑂 0 0 0 𝜀𝑅 𝑄2 ∗ 𝑄1 ∗ −𝜀𝑆𝑂 −𝑀 0 0 −𝜀𝑅 0 0 −𝜀𝑅 ∗ 0 0 −𝑀 −𝜀𝑆𝑂 𝑄1 𝑄2 𝜀𝑅 ∗ 0 0 0 −𝜀𝑆𝑂 +𝑀 𝑄2 𝑄1 0 0 0 −𝜀𝑅 ∗ 𝑄1 ∗ 𝑄2 ∗ +𝑀 𝜀𝑆𝑂 0 0 𝜀𝑅 ∗ 0 𝑄2 ∗ 𝑄1 ∗ 𝜀𝑆𝑂 −𝑀 𝐵𝐿 ↑ 𝐵𝑈 ↑ 𝐴𝑈 ↑ 𝐴𝐿 ↑ 𝐵𝐿 ↓ 𝐵𝑈 ↓ 𝐴𝑈 ↓ 𝐴𝐿 ↓ 𝐵𝐿 ↑ 𝐵𝑈 ↑ 𝐴𝑈 ↑ 𝐴𝐿 ↑ 𝐵𝐿 ↓ 𝐵𝑈 ↓ 𝐴𝑈 ↓ 𝐴𝐿 ↓ 𝐸 𝒌 = ± 𝑀2 + 𝑄1 2 + 𝑄2 2 + 𝜀𝑅 2 + 𝜀𝑆𝑂 2 ± 4Re 𝑄1 𝑄2 ∗ 2 + 4𝑀2 𝑄2 2 + 4 𝜀𝑅 2𝜀𝑆𝑂 2 ± 8 𝜀𝑅 𝑀 𝑄2 2𝜀𝑆𝑂 2 − Im 𝑄1 𝑄2 ∗ 2 解析的に固有値が求まった。 𝑪 = 𝐶 𝐵𝐿 ↑ λ 𝐶 𝐵𝑈 ↑ λ 𝐶 𝐴𝑈 ↑ λ 𝐶 𝐴𝐿 ↑ λ 𝐶 𝐵𝐿 ↓ λ 𝐶 𝐵𝑈 ↓ λ 𝐶 𝐴𝑈 ↓ λ 𝐶 𝐴𝐿 ↓ λ 𝐵𝑈 𝐴𝑈 𝐵𝑈 𝐴𝐿 𝐵𝐿 𝐴𝐿 𝐵𝐿 𝐴𝐿 𝐴𝐿 質問用

27/17 h-BNの擬スピン偏極度による彩色 𝜇λ 𝒌 = 𝐶𝐴 λ 𝒌 2 − 𝐶𝐵 λ 𝒌 2 𝐶𝐴 λ 𝒌 2 + 𝐶𝐵 λ 𝒌 2 定義：擬スピン偏極度 Δ = 0.5 Δ = 1.0 Δ = 1.8 Δ = 2.2 𝜇が小さい 𝜇が大きい Bサイトが観測されやすい Aサイトが観測されやすい λ ： band Index −1 +1 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 質問用

28/17 入射エネルギー 𝐸𝐿 = 2λ𝑆𝑂 でのバレー偏極 𝜌𝜎 (V) 𝑉 𝑐 V シリセンのバレー偏極度の電場依存性 𝜌𝜎 (V) = 𝐼𝜎 [𝐾] − 𝐼𝜎 [𝐾′] 𝐼𝜎 [𝐾] + 𝐼𝜎 [𝐾′] 定義：バレー偏極度 𝜌− 𝑉 𝜌+ 𝑉 𝐸𝐿 = 2λ𝑆𝑂 ・ ギャップなしでバレー偏極なし ・ ギャップが閉じる前後で逆転 M.Ezawa Phys.Rev. B 86, 161407(2012) ・ 電場があるorなしで不連続に変化 バレー偏極度の特徴 𝐼𝜎 𝐾 = න 𝐾 𝑀𝜎 𝒌 2 𝛿(𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 − 𝐸𝐿 )𝑑𝒌 𝐼𝜎 𝐾′ = න 𝐾′ 𝑀𝜎 𝒌 2 𝛿(𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 − 𝐸𝐿 )𝑑𝒌 質問用

29/17 Bi原子層においてラシュバ項が０だと・・・ V=0 V=328 V=460 V=591 V=414 𝑘𝑦 𝑘𝑥 質問用 D D′ Γ meV/Å

30/17 Bi原子層においてスピン軌道相互作用項が０だと・・・ V=0 𝑘𝑦 𝑘𝑥 質問用 Γ V=328 V=460 V=591 V=414 meV/Å

31/17 シリセンのスピン軌道相互作用の導出 𝒅𝒋 𝒅𝒊 𝒅𝒊 + 𝒅𝒋 𝑭 ∝ 𝒅𝒊 − 𝒅𝒋 𝑥 𝑦 𝐻𝑆𝑂 ∝ 1 𝑟 𝑑Φ 𝑟 𝑑𝑟 𝑳 ⋅ 𝑺 = −𝑭 × 𝒑 ⋅ 𝑺 = 𝒅𝒊 + 𝒅𝒋 × 𝒅𝒊 − 𝒅𝒋 ⋅ 𝑺 = 𝒅𝒊 × 𝒅𝒋 ⋅ 𝑺 = 𝒅𝒊 × 𝒅𝒋 𝑧 𝜎𝑧 + 𝒅𝒊 × 𝒅𝒋 || ⋅ 𝝈|| 𝝈|| = 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 0 = 𝜆𝑆𝑂 𝜎𝑧 + 𝜆𝑅 𝒅𝒊 × 𝒅𝒋 0 || ⋅ 𝝈|| 質問用

32/17 Bi原子層に電場を加えたときと似たふるまいをする物質 𝑚 相転移を制御するパラメータ 例： LaBi1−x Sbx Te3 LuBi1−x Sbx Te3 HgTex S1−x の組成xを変える。 に圧力を加える Murakami Shuichi Sci Adv. (2017) 3(5) 質問用

33/17 ダイポールベクトル（バレー偏極の起源） 𝑘𝑦 𝑘𝑥 グラフェン(Δ=0) Gapped グラフェン(Δ≠0) 𝑘𝑥 青：実部 紫：虚部 𝑘𝑦 Raman Spectroscopy in Graphene Related Systems(R. Saito et al.) 質問用

34/17 Gapped グラフェン(Δ ≠ 0) 青：実部 紫：虚部 𝑲′点直上 D𝑖→𝑓 (𝑲′) ∝ 1 −𝑖 Re -90° Im 𝑲点直上 D𝑖→𝑓 (𝑲) ∝ 1 𝑖 𝒆𝒑+ ⋅ D𝑖→𝑓 𝑲′ ∝ 1 𝑖 ⋅ 1 −𝑖 = 0 𝒆𝒑− ⋅ D𝑖→𝑓 𝑲′ ∝ 1 −𝑖 ⋅ 1 −𝑖 = 1 左円偏光 右円偏光 左円偏光 右円偏光 𝒆𝒑+ ⋅ D𝑖→𝑓 𝑲 ∝ 1 𝑖 ⋅ 1 𝑖 = 1 𝒆𝒑− ⋅ D𝑖→𝑓 𝑲′ ∝ 1 −𝑖 ⋅ 1 𝑖 = 0 ポテンシャルの差Δによってバレー偏極が生じた。 +90° Re Im ダイポールベクトル（バレー偏極の起源） 𝑘𝑥 𝑘𝑦 質問用