最⼤流問題と最⼩費⽤流問題 ⼤阪⼤学 ⼤学院情報科学研究科 梅⾕ 俊治 2022年4⽉27⽇

ネットワークフロー問題 • 交通網，通信網，ライフラインなど現実世界のネットワークで， ⾞両，データ，⽔，ガス，電気などを効率良く流す問題は，ネッ トワークフロー問題に定式化できる． • 多くのネットワークフロー問題は線形計画問題に定式化できるた め，単体法や内点法を⽤れば効率的に最適解を求められる． • ネットワークの持つ構造を利⽤することで，より効率的なアルゴ リズムを開発できる． ü最⼤流問題 → 増加路法，プリフロー・プッシュ法など ü最⼩費⽤流問題 → 負閉路消去法，最短路繰り返し法，ネッ トワーク単体法など ü割当問題 → ハンガリー法など 2

最⼤流問題 • 有向グラフ ，各辺 の容量 が与えられる． • ⼊⼝ から出⼝ に流れるフローの総量 を最⼤にするには︖ ü⼊⼝ から流出する量＝出⼝ に流⼊する量 ü 以外の頂点 から流出する量＝頂点 に流⼊する量 ü各辺 の流量は容量 以下 3 * は頂点 を始点とする辺集合， は頂点 を終点とする辺集合． 流量保存制約 辺 の容量(定数) 辺 のフロー量(変数) フロー量 容量

最⼤流の判定 • 最⼤流かどうかを効率良く判定するには︖ • ⼀部の辺でフローを押し戻す操作でフローの総量が増えることも多い． 4

残余ネットワーク • 各辺の可能な残りフロー量を表すネットワーク． • 各辺 に対して逆向き辺 を⽤意し，押し戻しが 可能なフロー量を表す． • 増加路︓残余ネットワークの頂点 から頂点 にいたる路． ü増加路が存在する → フローの総量を増加できる ü増加路が存在しない → フローの総量は増加できない(最⼤流) 5 実⾏可能なフロー 残余ネットワーク

増加路法 • 現在の実⾏可能フローに対する残余ネットワークを求める． • 増加路を1つ求めて実⾏可能フローを更新する*． 6 *グラフに対する幅優先探索などを⽤いれば増加路を求められる．

増加路法 7 * 辺数， 頂点数， 容量の最⼤値． * 問題例の⼊⼒サイズは なので擬多項式時間アルゴリズムである． 増加路なし 反復回数 総流量の最⼤値 増加路を⾒つけるのに 時間 時間

s-t カット • 最⼤流を求める際のネットワークのボトルネックは︖ • カット ︓⼊⼝ を含み出⼝ を含まない頂点集合 のカット． • カット の容量︓ から に向かう辺の容量の総和． 8 フローの総量 より フローの総量 カットの容量 カット容量 45

最⼤フロー最⼩カット定理 • 増加路法が最⼤流を求めることを⽰したい． • 残余ネットワークで頂点 から到達可能な頂点集合を とすると， は最⼩カットで 最⼤フローの総量 最⼩カットの容量 9 *辺の容量いっぱいにフローを流すと残余ネットワークでは逆向きの辺しか残らないことに注意する． 残余ネットワークにおいて から に向かう辺はない* 元のネットワークにおいて から に向かう辺では から に向かう辺では

最⼩費⽤流問題 • 有向グラフ ，各辺 の容量 ，単位フロー量 当たりのコスト ，各頂点 から流出するフロー量 が与え られる*．総費⽤を最⼩にする実⾏可能なフローは︖ • 最短路問題，最⼤流問題は最⼩費⽤流問題の特殊ケース 10 * 頂点 にフローが流⼊するときは ．また， と仮定する． 費⽤ 容量 流出 辺 の容量(定数) 辺 の費⽤(定数) 頂点 の流出量(定数) 辺 のフロー量(変数) 流量保存制約 流⼊

残余ネットワークを⽤いた最⼩費⽤流の判定 • 最⼩費⽤流かどうかを効率良く判定するには︖ • ⼀部の辺でフローを押し戻す操作で全体の費⽤が減ることも多い． • 残余ネットワークの負閉路に着⽬する． ü負閉路が存在する→フローの総費⽤を減少できる ü負閉路が存在しない→フローの総費⽤を減少できない(最⼩費⽤流) 11 フロー量 /容量 費⽤ 費⽤ 実⾏可能なフロー 残余ネットワーク 容量 費⽤

負閉路消去法 • 現在の実⾏可能フローに対する残余ネットワークを求める． • 負閉路を1つ求めて実⾏可能フローを更新する． 12 *残余ネットワーク上の負閉路は，最短路問題に対するベルマン・フォード法などで求められる． ⾃明な初期実⾏可 能解を与えるため に頂点と辺を追加

負閉路消去法 • 現在の実⾏可能フローに対する残余ネットワークを求める． • 負閉路を1つ求めて実⾏可能フローを更新する． 13 原問題の 初期実⾏可能フロー

負閉路消去法 14 負閉路なし 反復回数 費⽤の最⼤値 負閉路を⾒つけるのに 時間 時間 * 費⽤の最⼤値．

(被約費⽤)とおくと 最短路繰り返し法 • 最⼩費⽤流問題は線形計画問題に定式化できる． • 主双対法︓双対問題の制約条件と相補性条件を満たしつつ， 主問題の制約条件の違反量を繰り返し減少して最適解を求める． 15 主問題 双対問題 相補性条件 主問題の実⾏可能解 と 双対問題の実⾏可能解 が 最適解となるための必要⼗分条件 反復のたびに違反量を減少

最短路繰り返し法 最⼩費⽤流問題の最適性条件 最⼩費⽤流問題の実⾏可能なフロー が最適であるための必要 ⼗分は，残余ネットワークの全ての辺に対して となる が存在することである． 16 ある辺 において ならば， より ならば， より ならば， より . これらの条件の対偶より得られる． 最⼩費⽤流問題の相補性条件 最⼩費⽤流問題の実⾏可能なフロー が最適であるための必要⼗分 条件は，全ての辺 に対して となる が存在することである． 残余ネットワークでは逆向き 辺のみ残るので，全ての辺で が成り⽴つ ポテンシャルと呼ぶ

最短路繰り返し法 • 流量保存制約を満たさない頂点間 の最短路にフローを流す． ⼿続きを繰り返す．ただし，辺 の⻑さを被約費⽤ とする． • 頂点 のポテンシャル を最短路の⻑さ だけ増やす． 17 違反量 容量 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 ¯ ce (y)

最短路繰り返し法 • 流量保存制約を満たさない頂点間の最短路に沿ってフローを流す ⼿続きを繰り返す． 18 反復回数 違反量の総和 最短路を⾒つけるのに 時間 時間 更新されたポテンシャル の下での被約費⽤ 最短路の⻑さは三⾓不等式を満たすので したがって，常に が成り⽴つ． 違反なし

割当問題 • ⼈の学⽣を 個のクラスに割り当てる．各クラス の受講者の 上限を ，各学⽣ を各クラス に割り当てたときの満⾜度を とする．学⽣の満⾜度を最⼤にするクラス編成は︖ 19 学⽣ をクラス に割り当てる(変数) 学⽣ クラス 学⽣ のクラス に対する満⾜度(定数) クラス の受講者数の上限(定数)

割当問題→最⼩費⽤流問題 • 各学⽣に対応する頂点 ，各クラスに対応する頂点 • 頂点 から各学⽣ への辺 容量1, 費⽤0 • 各クラス から頂点 への辺 容量 ，費⽤0 • 各学⽣ から各クラス への辺︓容量1，費⽤ 20 学⽣ クラス 容量 費⽤ 実⾏可能流 定員を満たす割当て 実⾏可能流の費⽤ 学⽣の満⾜度の合計

参考⽂献 • 久野誉⼈，繁野⿇⾐⼦，後藤順哉，数理最適化，オーム社，2012． • 繁野⿇⾐⼦，ネットワーク最適化とアルゴリズム，朝倉書店，2010． • R.A.Ahuja, T.L.Mangnanti and J.BOrlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Peason Education, 2014. 21