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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第3部・ＣＴスキャナ — 投影からの画像の 再構成 ／ 第10回 Radon変換と投影切断面定理

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20 2 CTスキャナとは🤔🤔

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 CTスキャナとは 3 CT(computed tomography) ＝ 計算断層撮影法 体の周囲からX線撮影を行い，そのデータから断面像を計算で求める （「わんパグ」http://kids.wanpug.com/illust234.html）

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 CTを実現するには 4 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s ある方向からX線を照射し， その方向での吸収率（投影）を調べる すべての方向からの投影がわかれば， 元の物体における吸収率分布がわかる

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線が 入射

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される X線が 入射

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影とは 5 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射 投影＝吸収率の線積分 直線上の吸収率の合計であって， どの点で吸収されたかはわからない

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) どうやって求めるかは，あとで説明します。

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 各方向からの投影のしかた 7

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる 物体の１点について考えれば，投影する順番が異なるだけで， 各方向の投影が得られるのは同じ

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20 8 Radon変換とray-sum🤔🤔

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ つまり

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 　積分する

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 　積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 　積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ディラックのデルタ関数δ(x) 10 x = 0 の１点以外すべてゼロ δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x こんなふうに表さざるを得ない 高さは，何だともいえない ∞ −∞ kδ(x)dx = k （「無限」でもない。なぜなら→

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 11 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 　 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では Radon変換 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u (x, y) を (s, u) で表す

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 ray-sum (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す

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20 14 投影切断面定理🤔🤔

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する 「スライス」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 16 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 16 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 16 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du ray-sum fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ)

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形 に書き戻す x, y

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形 に書き戻す x, y

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形 に書き戻す x, y

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形 に書き戻す x, y これらを変数と考える

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu 　 　 　 と の関係 (x, y) (s, u) s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形 に書き戻す x, y これらを変数と考える 方向のスライス θ

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 ２次元フーリエ変換の「すべてのスライス」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつのスライス 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換

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19 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx fy スライスは極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は精密な計算が難しかった →さてどうした？ fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換