トライとダブル配列の基礎 @kampersanda

キー検索と文字列照合 2

キー検索 3 ¨ 文字列のキーを検索して，レコードを取り出す ¤ 人間が辞書から検索するのと同じ ¤ 応用：辞書検索、かな漢字変換、etc… キー（読み） 内容（表記） レコード１ あっぷる アップル，etc… レコード２ こころ 心，ココロ，此処路，etc… レコード３ かお 顔，買お，^^;，∧( ’Θ’ )∧，etc… レコード４ ぴかちゅう ピカチュウ，光宙，etc…

代表的なキー検索手法 4 ¨ 線形探索（Linear Search） ¤ キー集合を探索 ¨ 二分探索（Binary Search） ¤ 整列済みのキー集合を探索 ¨ 二分探索木（Binary Search Tree） ¤ キーの大小関係に基いて二分木を構築 ¨ ハッシュ表（Hash Table） ¤ ハッシュ関数による分配 ¨ トライ（Trie） ¤ トライ木を用いた探索 O(mn) O(m lg n) O(m lg n) O(m) O(m) n：キー数、m：パターン長

文字列照合とは 5 ¨ テキストに含まれる特定のパターンを見つける ¤ 特定のパターン = キー ¤ 例）力任せのアルゴリズム O(mn) n m：パターン長、n：テキスト長 n テキスト： “ピーチボーイリバーサイド” n パターン： “リバー” ピ ー チ ボ ー イ リ バ ー サ イ ド リ バ ー ずらして照合していく

代表的な文字列照合手法 6 ¨ 状況による分類 ¤ 長いテキストから少数のキーを検索する場合 n 手法：接尾辞配列，接尾辞木，転置索引，etc… n 応用：全文検索，ウェブ検索，ゲノム解析，etc… ¤ 短いテキストから多数のキーを検索する場合 n 手法：トライ，AC法，etc… n 応用：形態素解析，フィルタリング，ウイルス検知，etc… ¨ 参考書籍 ¤ 情報検索アルゴリズム [北ら 02]

トライ 7

トライ 8 ¨ キー集合を表現するラベル付き木 ¤ キーの構成文字をラベルとする ¤ 例 n “嶺上開花”，“嶺上牌”，“四風連打”，“四槓子” 連 子 牌 開 上 風 槓 花 打 嶺 四

トライにおける検索 9 ¨ 根から葉までの移動 ¤ 入力された文字を辿る n 葉に到達 ➔ Found n 到達不可 ➔ Not Found 連 子 牌 開 上 風 槓 花 打 嶺 四

トライにおける検索 10 ¨ 根から葉までの移動 ¤ “嶺上開花”を検索 n 葉に到達 ➔ Found ¤ “四槓流れ”を検索 n 到達不可 ➔ Not Found 連 子 牌 開 上 風 槓 花 打 嶺 四

トライにおける終端文字 11 ¨ キーの終端を表す文字‘#’ ¤ 部分キーを判別するために用いることがある ¤ 例 n “嶺上”，“嶺上開花”，“嶺上牌”，“四風連打”，“四槓子” 連 子 牌 開 # 上 風 槓 打 # # 花 # # 嶺 四

トライの特徴 12 ¨ 時間効率 ¤ 理論的にはキー数の影響を受けない ¤ 該当キーの長さのみに影響を受ける ¨ 空間効率 ¤ 共通の接頭辞は共有される ¨ 機能 ¤ 入力文字列に含まれるキーの検出（形態素解析） ¤ 照合失敗位置の検出（スペルチェック） ¤ キーの補完（入力補完，文書校正）

トライの実装 13 ¨ 遷移関数 goto を実現する ¤ 節点 cur から節点 next への遷移が文字 label に対し て定義されている場合、goto(cur, label) = next ¤ そうでなければ、goto(cur, label) = –1 next cur label

代表的なトライのデータ構造 14 ¨ 行列 ¤ 時間効率 ➔ 良い O(m) ¤ 空間効率 ➔ 悪い O(nσ) ¨ 二分木 ¤ 時間効率 ➔ 悪い O(mσ) ¤ 空間効率 ➔ 良い O(n) ¨ ダブル配列 ¤ 時間効率 ➔ 良い O(m) ¤ 空間効率 ➔ 良い O(n) m：パターン長 n：節点数 σ：アルファベットサイズ

行列によるトライ 15 ¨ 次のノードへの参照を配列に格納 ¤ 遷移時間 O(1) n 高速 ¤ 空間効率 O(nσ) n 悪い（疎） ¨ def goto(cur, label) ¤ return M[cur][label] 7:牌 4:開 3:# 2:上 8:# 5:花 6:# 1:嶺 0: # 嶺 上 開 花 牌 0 1 1 2 2 3 4 7 … σ n

二分木によるトライ 16 ¨ 次のノードへの参照を連結リストに格納 ¤ 遷移時間 O(σ) n 低速 ¤ 空間効率 O(n) n 良い（密） id label child sib node structure 4 開 5 7 例 7:牌 4:開 3:# 2:上 8:# 5:花 6:# 1:嶺 0:

二分木によるトライの遷移 17 ¨ def goto(cur, label) ¤ next := cur.child ¤ loop n if next = –1 then return –1 n if next.label = label then return next n next := next.sib 3 # 4 4 開 5 7 7 牌 8 7:牌 4:開 3:# 2:上 2 上 3 child sib sib

ダブル配列 18

コンセプト 19 ¨ 疎な行列をうまく畳み込む # 嶺 上 開 花 牌 0 1 1 2 2 3 6 8 3 4 4 5 5 6 7 7 8

# 嶺 上 開 花 牌 0 1 1 2 2 3 6 8 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 コンセプト 20 ¨ 疎な行列をうまく畳み込む +3 +5 +7 上下で衝突しないようにスライド

# 嶺 上 開 花 牌 0 1 1 2 2 3 6 8 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 コンセプト 21 ¨ 疎な行列をうまく畳み込む +3 +5 +7 上下で衝突しないようにスライド 畳み込むとダブル配列になる

畳み込みのご様子 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE CHECK ?:牌 ?:開 ?:# ?:上 ?:# ?:花 ?:# ?:嶺 0: # 嶺 上 開 花 牌 0 ✔ +0 0 1

畳み込みのご様子 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE 0 CHECK 0 ?:牌 ?:開 ?:# ?:上 ?:# ?:花 ?:# 1:嶺 0: # 嶺 上 開 花 牌 1 ✔ +0 1 2

畳み込みのご様子 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE 0 0 CHECK 0 1 ?:牌 ?:開 ?:# 2:上 ?:# ?:花 ?:# 1:嶺 0: # 嶺 上 開 花 牌 2 ✔ ✔ ✔

畳み込みのご様子 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE 0 0 CHECK 0 1 # 嶺 上 開 花 牌 2 ✔ ✔ ✔ +3 2 2 2 ?:牌 ?:開 ?:# 2:上 ?:# ?:花 ?:# 1:嶺 0: 3 6 8

ダブル配列 26 ¨ BASE, CHECKという２つの配列によるトライ表現 ¤ 遷移時間 O(1) ➔ 高速 ¤ 空間効率 O(n) ➔ 良い 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE 0 0 3 5 0 7 CHECK 0 1 2 6 4 2 8 2 8:牌 6:開 3:# 2:上 7:# 4:花 5:# 1:嶺 0:

ダブル配列における遷移 27 ¨ def goto(cur, label) ¤ next := BASE[cur] + label ¤ if CHECK[next] = cur n return next ¤ return -1 # 嶺 上 0 1 2 8:牌 6:開 3:# 2:上 0 1 2 3 4 5 6 7 8 BASE 0 0 3 5 0 7 CHECK 0 1 2 6 4 2 8 2 6 := BASE[2] + 開 = 3 + 3 開 花 牌 3 4 5 CHECK[6] = 2

ダブル配列の構築 28 ¨ 静的 ¤ ソート済みのキー集合から構築 ¤ 他の構築済みのトライから変形 ¨ 動的 ¤ ずらして挿入 ¨ 詳細は略 ¤ 効率的なダブル配列の構築はめんどくさい ¤ とりわけ動的は職人芸

トライの比較 29 ¨ 時間効率 ¤ ダブル配列 >= 行列 > 二分木 ¨ 空間効率 ¤ ダブル配列 > 二分木 > 行列 ¨ 実装難度 ¤ ダブル配列 > 二分木 > 行列 ¨ 結論 ¤ ダブル配列は優秀 ¤ 多くのケースで十分に小さく、十分に高速

ダブル配列の応用例 30 ¨ 辞書検索 ¤ Darts、Darts-clone ¨ 形態素解析 ¤ ChaSen，MeCab ¨ 係り受け解析 ¤ CaboCha ¨ ウイルス検知 ¤ ClamAV ¨ Nグラム言語モデル ¤ DALM ¨ 全文検索エンジン ¤ groonga ¨ オンラインテキスト処理 ¤ Cedar ¨ 圧縮文字列辞書 ¤ Xcdat

ダブル配列の圧縮 31

ダブル配列の圧縮 32 ¨ ポインタベースなデータ構造なので、簡潔データ 構造と比べるとさすがに大きい ¤ ダブル配列: Ω(n lg n) ビット ¤ LOUDS: 2n + n lg σ + o(n) ビット ¨ 圧縮方策 ¤ 節点削減：冗長な節点を削減する ¤ 要素圧縮：要素あたりのメモリ消費を抑える

CHECKの圧縮 [Yata+ 07] 33 ¨ CHECKに親番号ではなく遷移文字を記入する ¤ CHECKが log n から log σ に ¤ BASE[i] ≠ BASE[i’] for any i ≠ i’ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BASE 0 2 3 7 1 9 CHECK 嶺 # 上 花 開 # 牌 # 6 := BASE[4] + 開 = 3 + 3 CHECK[6] = 開 # 嶺 上 0 1 2 開 花 牌 3 4 5 6:開 4:上 親の参照はできない！！

BASE、CHECKの圧縮 [Kanda+ 17] 34 ¨ 基本的なアイデア ¤ 遷移条件さえ満たせば節点は自由に配置できる ¤ BASE値とCHECK値が、その要素番号と近くなるように節点 を配置し、その差分を代用する ¤ ランダムアクセス可能な可変長符号で配列を表現 0 50000 100000 150000 200000 250000 0 50000 100000 150000 200000 250000 CHECK[i] XOR i Address: i XOR ほとんどの値が 1バイトで表せる 0 50000 100000 150000 200000 250000 0 50000 100000 150000 200000 250000 CHECK[i] Address: i 親の参照もできます