Reais, racionais e o IEEE 754

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Reais, racionais e o IEEE 754/2008 Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ

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Sir Isaac Newton 1642 - 1726 Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 - 1716 Os criadores do Cálculo Diferencial e Integral

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Nas 1as linhas do Prefácio deste livro encontramos:

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Processos limite e convergência Integrais Na modelagem científica dos fenômenos físicos, são essenciais conceitos do cálculo diferencial e integral como:

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O conjunto dos números reais é um contínuo! Eles preenchem um intervalo como um líquido preenche continuamente um copo graduado Na base de tudo isso está conceito de número real.

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Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857 O conceito de limite com épisolons e deltas

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Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1815 – 1897 O número 2 é a sequência ( 1., 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,... )

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Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916) Os números reais, a reta e os “cortes” de Dedekind.

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Cortando a reta?

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O que significa ser contínuo? Professor ... A água parece ser contínua, mas é formada de moléculas de H 2 O – dois átomos de hidrogênio mais um de oxigênio, numa ligação ...

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Pois é, Surfista, por trás de sua fala está a ideia que os reais são enumeráveis. Você acertou num ponto - os reais constituem um conjunto infinito, já que todo racional também é real. Entretanto, nem mesmo com microscópios eletrônicos, conseguimos separar um número real de outro.

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É o que os Mestres estão afirmando Surfista. O infinito contínuo é maior que o infinito enumerável. Se os reais são infinitos e não conseguimos enumerá-los então só pode ser um novo infinito, maior que enumerável, já que todo racional é um real.

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Essa ideia estava subjacente, implícita, latente, nas construções de Descartes, Newton e Leibnitz. Sem ela as construções desses gênios seriam abortos – mortas antes de nascer! A continuidade dos reais é a abstração maior da Matemática.

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Professor, vamos assumir que podemos, de fato, enumerar os reais. Veremos que essa hipótese é tão absurda que conduz a uma contradição. E, portanto, só pode estar errada. Pois é, meus jovens, provaremos a seguir que é impossível contar os números reais.

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Só p’rá confirmar: se é uma enumeração, nenhum número real entre e 0 e 1 fica fora dessa lista! 0 ↔ x 0 1 ↔ x 1 2 ↔ x 2 3 ↔ x 3 . . . . . . . Ok Professora. Seja então a lista abaixo dos meus pés uma enumeração de todos os números reais entre 0 e 1. Inteiros Reais

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X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Sim Professora, como estamos assumindo que os reais em (0,1) são enumeráveis, minha lista contém todos eles! Veja a expressão decimal dos números reais da minha lista:

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Ora Surfista, a lista do Professor é infinita, em alguma posição eles vão aparecer! Ah, eu escreveria a lista de uma forma diferente. Além disso, não vi alguns números famosos como o π e o 2.

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X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Cantor marcou, como nós (em vermelho), os dígitos da diagonal.

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X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Em seguida afirmou: Seja x D número construído a partir da sequência diagonal, com as trocas: Em x 0  0 por 1 Em x 1  3 por 4 Em x 2  1 por 2 Em x 3  9 por 8 (?) Em x 4  3 por 4 Em x 5  2 por 3 Em x 6  4 por 5 E assim por diante ...

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Em x 0 : 0 por 1  x D ≠ x 0 Em x 1 : 3 por 4  x D ≠ x 1 Em x 2 : 1 por 2  x D ≠ x 2 Em x 3 : 9 por 8  x D ≠ x 3 Em x 4 : 3 por 4  x D ≠ x 4 Em x 5 : 2 por 3  x D ≠ x 5 Em x 6 : 4 por 5  x D ≠ x 6 E assim por diante ... É verdade Mestre. Sacada genial essa do Cantor! Portanto esse número, X D = 0, 1 4 2 8 3 5 ..., é diferente de todos os que estão na lista.

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Em outras palavras, o número, X D = 0, 1 4 2 8 3 5 ... não está na lista. Mas se a lista tinha todos, temos aí uma contradição!

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Assim, temos uma nova categoria de infinitude: a continuidade, maior que a enumerabilidade. Pois é, meus jovens, acabamos de ver a prova feita pelo Cantor de que é impossível contar os números reais.

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Eis o gênio em carne e osso: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 - 1918

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Não existem números reais nos computadores, uma catástrofe! Agora, uma PÉSSIMA NOTÍCIA. Na computação temos um problema muito pior que o do transbordamento!

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Tá brincando! Só pode ser piada do Manuel! Pois é a mais pura verdade, ó gajo!

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É verdade meus jovens, estamos limitados a trabalhar com números racionais (frações) nos computadores. É pior que isto, professor, apenas com uma parte, um subconjunto finito, dos racionais!

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Senhores há algo de muito estranho nisso – o computador - maior instrumento tecnológico da humanidade obriga-nos a um retorno aos Pitagóricos. Lembrem-se, na Escola de Pitágoras só eram permitidas as frações, os incomensuráveis eram proibidos e, diz a lenda, eles mataram por isso.

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No sistema métrico decimal o fator de escala é 10: • 1 m = 100 cm = 1,000 mm • 1 km = 1.000 m Assim: • 3 m = 3∗102 cm = 3∗103 mm • 5,2 km = 5,2∗103 m = 5,2 ∗106 mm

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Qualquer número real y ≠ 0 pode ser representado sob a forma y = ± y 0 . y 1 ... y k ... ∗ 10 exp com 0 < y 0 < 10 Os . . . É possível provar que: Esses ... significam infinitas casas decimais

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Qualquer número real y ≠ 0 pode ser representado de forma única como y = ± y 0 . y 1 ... y k ... ∗ 10 exp y 0 ≠ 0 A normalização! Essa representação é única sob duas exigências: 1. y 0 ≠ 0, dita normalização; 2. São proibidas cadeias infinitas de 9’s.

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y = ± y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp com 0 < y 0 < 10 Sem esses ... O diabo é que, como nas réguas, num computador digital, os ... são impossíveis! Somos forçados a trabalhar com representações finitas!

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y = ± y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp Sinal Expoente Fração Fator de escala As quatro características fundamentais: Realmente trabalharemos com uma fração (número racional), pois o número de casas decimais é finito.

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y = ± y 0 . y 1 ... y k ∗ 2 exp Fração Expoente Sinal Fator de escala A diferença é que a fração e o expoente serão números binários. O fator de escala também será 2. No computador as quatro características fundamentais permanecem:

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Séries numéricas convergentes Somas finitas Nos computadores digitais: Expoentes restritos a uma faixa Frações de tamanho finito É a finitude no computador digital Representações finitas de cadeias de 0’s e 1’s, os bits. Tanto na fração como no expoente!

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Ponto-fixo, ponto-flutuante, etc. Agora vamos analisar em detalhe as representações numéricas no computador!

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Que coisa é essa de ponto-fixo e de ponto-flutuante?!

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x x x x x x Look at the floating point Ponto-flutuante porquê:

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Mas a notação de ponto-fixo é mais fácil! Sim! Quero ver você escrever a constante de Avogadro, 6.02214179(30)×1023 mol-1 em ponto-fixo!

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O IEEE 754/2008 é o padrão adotado atualmente para a representação computacional de ponto flutuante nas implementações tanto de software como de hardware. Vamos começar a estudar o Padrão IEEE 754/2008. Então vá vestir um smoking!

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• Formatos aritméticos; • Formatos para intercâmbio • Algoritmos para arredondamento; • Operações algébricas • Manipulação de exceções O padrão estabelece: Falta de respeito! Você deveria estar de smoking!

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Single: (1,8,23) Double: (1,11,52) Quad: (1,15,112) O padrão estabelece três formatos: Acrescente o bit escondido na fração! O padrão IEEE 754/2008:

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Sinal de X Expoente de X Fração de X A representação binária de um número X é armazenada em três campos: Representação IEEE 754/2008

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A normalização exige que o primeiro bit da fração seja positivo. Na base 2, ser ≠ 0 significa ser = 1. Portanto não há necessidade de representá-lo. Ganha-se 1 bit com isto. Ainda tem o “hiden” bit:

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1 bit para o sinal 16 bytes 15 bits para o expoente 112 bits para a fração O padrão Quad

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1 bit para o sinal 8 bytes 11 bits para o expoente 52 bits para a fração O padrão Double

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1 bit para o sinal 4 bytes 8 bits para o expoente 23 bits para a fração O padrão Single

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s e f O campo do sinal nos 3 padrões: Single, Double e Quad: s = 0 se x > 0 1 se x < 0

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É armazenada uma sequência de 8 bits: o complemento a 2 do número, somado com um desvio de 127 10 = 0111111 2 . s e f O campo do expoente no padrão Single

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s e f O campo do expoente no padrão Double É armazenada uma sequência de 11 bits: o complemento a 2 do número, somado com um desvio de 1023 10 = 011.1111.1111 2 . 10

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Por exemplo, se o expoente é 3 (positivo) seu complemento a 2 é ele mesmo: 0000 0011. O que é armazenado em Single é 0000 0011 + 0111 1111 = 1000 0010. É o mesmo que converter 130 = 127+3, para a base 2. Já, se o expoente é -3, seu complemento a 2 é 1111 1101. Então em Single é armazenado 1111 1101 + 0111 1111 = 0111 1100. É o mesmo que converter 124 = 127 – 3 para a base 2 (que tem só 7 dígitos) e acrescentar um 0 na frente.

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s e f O campo da fração no padrão Single É armazenada uma sequência de 23 bits, f 1 f 2 ... f 23 , dada pela fração decimal f 1 ∗ 2-1 + f 2 ∗ 2-2 + ... + f 23 ∗ 2-23 obtida a partir de x.

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(-1)s ∗ 2e-127 ∗ (1.f) ..... se 0 < e < 255 (-1)s ∗ 2e-126 ∗ (0.f) .... se e = 0 e f ≠ 0 (-1)s ∗ 0 ....................... se e = 0 e f = 0 (-1)s ∗ Inf ................... se e = 255 e f = 0 NaN ............................ se e = 255 e f ≠ 0 x = s e f O padrão Single

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(-1)s ∗ 2e-1023 ∗ (1.f) .... se 0 < e < 2047 (-1)s ∗ 2e-1022 ∗ (0.f) ... se e = 0 e f ≠ 0 (-1)s ∗ 0 ....................... se e = 0 e f = 0 (-1)s ∗ Inf ................... se e = 2047 e f = 0 NaN ............................ se e = 2047 e f ≠ 0 x = s e f O padrão Double

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-127  0000-0000 -126  0000-0001 ... -2  0111-1101 -1  0111-1110 -0  0111-1111 +0  0111-1111 +1  1000-0000 +2  1000-0001 ... +127  1111-1110 +128  1111-1111 Base 10 Faixa normal Excessão Desnormalização Padrão IEEE 754/2008. A ordenação dos expoentes em Single

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Faixa dos NaN negat. Faixas positiva e negativa dos desnormalizados Faixa normal negativa Faixa normal positiva  + Faixa dos NaN posit. Esta é a reta “real” nos computadores.

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No padrão IEEE 754/2008, existem 232 = 4.294.967.296 números Single. No padrão IEEE 754/2008, existem 264 = 18.446.744.073.709.551.616 números Double.

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Lembrem-se, É impossível contar os números da reta real, trata-se de um infinito contínuo!

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Há problemas na conversão base 10  base 2

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O código ASCII, considerando símbolos de 7 bits.

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O código ASCII, ampliado para símbolos de 8 bits.

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O UNICODE, com símbolos de 16 bits.

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Ao pressionar uma tecla fecha-se o circuito e é transmitido um sinal elétrico para um chip, que o transforma em código ASCII ou UNICODE. Teclado: 3 folhas de laminado plástico. Duas com circuitos impressos. A 3ª isola essas duas e possui furos sob cada tecla Numa “fios” direção; na outra os fios são transversais

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Professor, explique-nos como as coisas ocorrem de forma transparente aos usuários. • Passo 1 – O usuário digita um número pelo teclado que é recebido pelo chip; • Passo 2 – O processador recebe a cadeia alfa-numérica ASCII codificada pelo chip; • Passo 3 – A Python Virtual Machine, PVM, recebe essa cadeia do processador e a transforma em um número decimal; • Passo 4 – Em seguida a PVM converte-o para sua representação binária IEEE 754.

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Indo direto ao ponto: o algoritmo para obtenção da representação na base 2 de um número entre 0 e 1, escrito na base 10, pode ser descrito por: Multiplique o número dado sucessivamente por 2 e vá coletando os “vai 0” ou “vai 1”. Algoritmo?

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Nesse exemplo eu mostro como converter 0.3 para a base 2. 0.3 = 0. 0.3 ∗ 2 0.6 0 0.6 ∗ 2 1.2 1 0.2 ∗ 2 0.4 0 0.4 ∗ 2 0.8 0 0.8 ∗ 2 1.6 1 0.6 ∗ 2 1.2 1 1 0 0 . . .

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Em todos os outros casos, a representação na base 2, do número racional é uma seqüência periódica – uma “bí”zima periódica Para números racionais, o algoritmo de conversão descrito na transparência anterior só termina em um número finito de passos quando o número é uma potência (negativa) de 2 ou uma soma de potências (negativas) de 2. Gerando “bi”zimas periódicas.

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80% dos números decimais com apenas 1 dígito após a vírgula geram dízimas periódicas na base 2 Construí um programa Python que recebe um número entre zero e um, escrito na base 10, com apenas uma casa decimal após a vírgula, e o converte para a base dois. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

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0.00 0.01 ... 0.24 0.25 0.26 ... 0.49 0.50 0.51 ... 0.74 0.75 0.76 ... 0.99 Confira que 96% dos números decimais com apenas 2 dígito após a vírgula geram dízimas periódicas na base 2

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Repita isso para números com 3, 4, 5, 6, 7 casas decimais após a vírgula ... Depois dê uma olhada na próxima transparência!

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Sete é algum número mágico Mestra?! Não minha Loirinha querida! É que no padrão Single, temos 24 = 23 + 1 bits de precisão.

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É só responder à pergunta: “24 casas binárias correspondem a quantas casas decimais?” Em matemática: qual o valor de K para o qual: 10-K = 2-24 Continuo não entendendo! Resolvendo a equação acima encontramos K = 24*log10(2) = 7.224719 ≅ 7

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0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 80% 0.00 0.01 ... 0.24 0.25 0.26 ... 0.49 0.50 0.51 ... 0.74 0.75 0.76 ... 0.99 96% 0.000 0.001 ... 0.124 0.125 0.126 ... 0.499 0.500 0.501 ... 0.874 0.875 0.876 ... 0.999 99.2% 0.0000000 0.0000001 ... 0.xxxxxxx 0.xxxxxxx 0.xxxxxxx ... 0.4999999 0.5000000 0.5000001 ... 0.xxxxxxx 0.xxxxxxx 0.xxxxxxx ... 0.9999999 99.9936% A grande maioria é “bi”zima periódica. No padrão Single: 99,99 %.

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A consequência é funesta para o cálculo de funções ... São apenas 274.877, de números corretos, do total de 4.294.967.296, no caso dos Single.