Tweet
Tweet

Slide 1

Slide 1 text

Tout le monde peut se tromper Petites histoires de probabilités pour le quotidien Roger Mansuy Communauté de communes Chinon Vienne Loire 28 avril 2022

Slide 2

Slide 2 text

Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m?

Slide 3

Slide 3 text

Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m? ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m sachant qu’Usain Bolt y participe?

Slide 4

Slide 4 text

Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m? ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m sachant qu’Usain Bolt y participe? Deux concepts mathématiques: P(A) probabilité que A advienne P(A|B) probabilité que A advienne sachant que l’on observe B

Slide 5

Slide 5 text

Une partie interrompue avec Blaise Pascal

Slide 6

Slide 6 text

Deux joueurs A et B jouent à un jeu de hasard au meilleur des cinq manches, chacun ayant initialement misé la même somme m. Le jeu est interrompu alors que le joueur A mène 2 manches à 1. Comment doit-on partager la totalité des mises, à savoir 2m?

Slide 7

Slide 7 text

2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 B. Pascal à P. Fermat, 29 juillet 1654

Slide 8

Slide 8 text

Score Gain de A Probabilité Victoire 3 − 1 2m 1 2 Victoire 3 − 2 2m 1 4 Défaite 2 − 3 0 1 4 L’espérance de gain du joueur A est donc 1 2 · 2m + 1 4 · 2m + 1 4 · 0 = 3m 2 . Le partage équitable est donc de 3m 2 pour le joueur A et m 2 pour le joueur B. B. Pascal à P. Fermat, 29 juillet 1654

Slide 9

Slide 9 text

Espérance de vie avec Antoine Deparcieux

Slide 10

Slide 10 text

On parvient à estimer pk , la probabilité de mourir à l’âge k sachant qu’on a atteint cet âge. Essai sur les probabilités de la durée de la vie humaine, Antoine Deparcieux, 1746

Slide 11

Slide 11 text

0 RIP 1 RIP 2 RIP 3 1 − p0 p0 1 − p1 p1 1 − p2 p2 · · ·

Slide 12

Slide 12 text

No content

Slide 13

Slide 13 text

France Info, 05/05/2015

Slide 14

Slide 14 text

Pile ou Face dans l’Encyclopédie avec Jean le Rond D’Alembert

Slide 15

Slide 15 text

Article Croix ou pile, vol. IV (1754), ENCCRE

Slide 16

Slide 16 text

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers? Probabilité Croix puis Croix 1 4 Croix puis Pile 1 4 Pile puis Croix 1 4 Pile puis Pile 1 4 La probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers est 3 4 .

Slide 17

Slide 17 text

Ne faut-il pas réduire à une les deux combinaisons qui donnent croix au premier coup. Car, dès que croix est venu, le jeu est fini, & le second coup est compté pour rien. [...] Donc il n’y a que 2 contre 1 à parier. Probabilité Croix 1 3 Pile puis Croix 1 3 Pile puis Pile 1 3 Selon D’Alembert, la probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers est 2 3 .

Slide 18

Slide 18 text

Efficacité des vaccins avec Daniel Bernoulli

Slide 19

Slide 19 text

vacciné non vacciné hospitalisé Données factices

Slide 20

Slide 20 text

• Une personne choisie au hasard est vaccinée avec probabilité P(être vacciné) = 90 100 = 0, 9 Données factices

Slide 21

Slide 21 text

• Une personne choisie au hasard est vaccinée avec probabilité P(être vacciné) = 90 100 = 0, 9 • Une personne choisie au hasard est hospitalisée avec probabilité P(être hospitalisé) = 9 100 = 0, 09 Données factices

Slide 22

Slide 22 text

• Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 Données factices

Slide 23

Slide 23 text

• Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est non vaccinée avec probabilité P(ne pas être vacciné|être hospitalisé) = 3 9 ≃ 0, 33 Données factices

Slide 24

Slide 24 text

• Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est non vaccinée avec probabilité P(ne pas être vacciné|être hospitalisé) = 3 9 ≃ 0, 33 Une personne vaccinée a-t-elle deux fois plus de risque d’être hospitalisée? Données factices

Slide 25

Slide 25 text

P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Données factices

Slide 26

Slide 26 text

P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Une personne vaccinée a 4,5 fois moins de risque d’être hospitalisée! Données factices

Slide 27

Slide 27 text

P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Une personne vaccinée a 4,5 fois moins de risque d’être hospitalisée! Confusion entre • P(être hospitalisé|être vacciné) • P(être vacciné|être hospitalisé) Données factices

Slide 28

Slide 28 text

vacciné non vacciné hospitalisé Données factices

Slide 29

Slide 29 text

Blinder les avions avec Abraham Wald

Slide 30

Slide 30 text

A Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors Statistical Research Group, CRC 432

Slide 31

Slide 31 text

No content

Slide 32

Slide 32 text

impact bénin impact grave de retour

Slide 33

Slide 33 text

No content

Slide 34

Slide 34 text

No content

Slide 35

Slide 35 text

No content

Slide 36

Slide 36 text

Social Science History Vol. 36, No. 1 (Spring 2012), pp. 23-54

Slide 37

Slide 37 text

No content

Slide 38

Slide 38 text

Pour un chat, les chutes d’une hauteur inférieure à six étages sont plus graves que les chutes depuis de plus grandes hauteurs.

Slide 39

Slide 39 text

Soupçon de sexisme à Berkeley avec Edward H. Simpson

Slide 40

Slide 40 text

Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 Données arrangées

Slide 41

Slide 41 text

Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 La probabilité qu’une femme soit recrutée est 180 400 = 9 20 = 0, 45. Données arrangées

Slide 42

Slide 42 text

Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 La probabilité qu’une femme soit recrutée est 180 400 = 9 20 = 0, 45. De même, la probabilité qu’un homme soit recruté est 420 600 = 14 20 = 0, 70. Données arrangées

Slide 43

Slide 43 text

L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 Données arrangées

Slide 44

Slide 44 text

L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 En commission Sciences, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 100 = 9 10 contre 400 500 = 8 10 pour un homme. Données arrangées

Slide 45

Slide 45 text

L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 En commission Sciences, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 100 = 9 10 contre 400 500 = 8 10 pour un homme. En commission Lettres, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 300 = 3 10 contre 20 100 = 2 10 pour un homme. Données arrangées

Slide 46

Slide 46 text

100 100 Admis Candidats Sciences Données arrangées

Slide 47

Slide 47 text

100 100 Admis Candidats Lettres Données arrangées

Slide 48

Slide 48 text

100 100 Admis Candidats Total Données arrangées

Slide 49

Slide 49 text

Science. 1975 Feb 7;187(4175):398-404

Slide 50

Slide 50 text

Morts Non vaccinés Vaccinés moins de 50 ans 70 126 50 ans ou plus 552 1675 • Taux de vaccination des moins de 50 ans: 50% • Taux de vaccination des plus de 50 ans: 95% • Taux de vaccination dans l’ensemble de la population: 67% Données britanniques entre le 21 juin et le 12 septembre 2021

Slide 51

Slide 51 text

▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna

Slide 52

Slide 52 text

▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Chez les plus de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 6, 3 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna

Slide 53

Slide 53 text

▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Chez les plus de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 6, 3 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Au total, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 3 plus petite que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna

Slide 54

Slide 54 text

Expertises dans l’affaire Dreyfus avec Henri Poincaré

Slide 55

Slide 55 text

No content

Slide 56

Slide 56 text

No content

Slide 57

Slide 57 text

Rapport de MM les experts Darboux, Appel, et Poincaré (1904) Nous en avons dit assez pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solides. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont cherché, pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques. Ils ont distingué la probabilité des effets et la probabilité des causes.

Slide 58

Slide 58 text

Des tests médicaux imparfaits avec Thomas Bayes

Slide 59

Slide 59 text

Considérons le test d’un dépistage d’une maladie courante (1% de la population) dont voici les caractéristiques: • 2% des patients malades sont déclarés sains, • 5% des patients sains sont déclarés malades. Données arrangées

Slide 60

Slide 60 text

Considérons le test d’un dépistage d’une maladie courante (1% de la population) dont voici les caractéristiques: • 2% des patients malades sont déclarés sains, • 5% des patients sains sont déclarés malades. Je viens de recevoir un test positif; quelle est la probabilité que je sois malade? Données arrangées

Slide 61

Slide 61 text

dans les locaux de l’entreprise Autonomy

Slide 62

Slide 62 text

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) .

Slide 63

Slide 63 text

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) . P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A) .

Slide 64

Slide 64 text

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) . P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A) . On exprime la probabilité P(A|B) en fonction de P(B|A) et P(B|A).

Slide 65

Slide 65 text

Notons • T pour ”le test est positif” • M pour ”le patient est malade”. Alors, P(M|T) = P(T|M)P(M) P(T|M)P(M) + P(T|M)P(M) = 0, 05 × 0, 99 0, 05 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 01 Données arrangées

Slide 66

Slide 66 text

Notons • T pour ”le test est positif” • M pour ”le patient est malade”. Alors, P(M|T) = P(T|M)P(M) P(T|M)P(M) + P(T|M)P(M) = 0, 05 × 0, 99 0, 05 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 01 ≃ 0, 835. En conclusion, environ 83, 5% des patients déclarés malades sont sains. Données arrangées

Slide 67

Slide 67 text

No content

Slide 68

Slide 68 text

Hypothèses de travail (pire des cas prévu par la norme): • 5% de la population touchée par COVID (estimation Institut Pasteur, printemps 2020) • 20% des patients malades sont déclarés sains, • 1% des patients sains sont déclarés malades.

Slide 69

Slide 69 text

Hypothèses de travail (pire des cas prévu par la norme): • 5% de la population touchée par COVID (estimation Institut Pasteur, printemps 2020) • 20% des patients malades sont déclarés sains, • 1% des patients sains sont déclarés malades. Résultats des calculs: • P(M|T) ≃ 0, 19 • P(M|T) ≃ 0, 99

Slide 70

Slide 70 text

Je choisis au hasard l’une des deux pièces dont on dispose: • la pièce A est une pièce de deux euros ordinaire, • la pièce B est une pièce factice avec deux côtés Pile. Ensuite, je joue à Pile ou Face et vous devez deviner quelle est la pièce choisie.

Slide 71

Slide 71 text

Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est 0

Slide 72

Slide 72 text

Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 8 9 ≃ 0, 89

Slide 73

Slide 73 text

Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 16 17 ≃ 0, 94

Slide 74

Slide 74 text

Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 32 33 ≃ 0, 97

Slide 75

Slide 75 text

Pour poursuivre... • Les Maths au tribunal, Leïla Schneps et Coralie Colmez, Seuil, 2015 • L’art de ne pas dire n’importe quoi, Jordan Ellenberg, Cassini, 2018 • La Formule du Savoir, Lê Nguyên Hoang, EDP Sciences, 2018